考點(diǎn)1：弦長(zhǎng)、周長(zhǎng)問題
1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．
【解析】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，
故.
（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，
則,令，
同理令，且，則，
設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱性不妨設(shè)，，
則，易知
則令,
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，
故,即.
當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,
得證.
法二：不妨設(shè)在上，且，
依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，
直線的方程為，
則聯(lián)立得，
，則
則，
同理，
令，則，設(shè)，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，
，
但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.
法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.
設(shè) , 根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè) .
則 , 由于 , 則 .
由于 , 且 介于 之間,
則 . 令 ,
,則,從而
故
①當(dāng)時(shí),
②當(dāng) 時(shí),由于,從而,
從而又,
故,由此
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.
2．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．
【解析】（1）依題意可得，，又，
所以，所以橢圓方程為；
（2）依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直線的方程為，令，解得，
直線的方程為，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
3．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
(2)求的最小值．
【解析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.
（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，
因?yàn)橹本€與直線交于,
則,同理可得,.則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.
考點(diǎn)2：斜率問題
4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
【解析】（1）由題意，從而，
所以橢圓方程為，離心率為；
（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，
從而設(shè)，，
聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，
由題意，即應(yīng)滿足，
所以，
若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，
所以，在直線方程中令，
得，
所以，
此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，
綜上所述，滿足題意，此時(shí)或.
5．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價(jià)于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,則,
設(shè),
則條件③等價(jià)于,
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上，等價(jià)于；
條件②等價(jià)于；
條件③等價(jià)于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
考點(diǎn)3：面積及面積比問題
6．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．
【解析】（1）由題意得，解得，
所以.
（2）法一：，則直線的方程為，即，
，由（1）知，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，
此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
設(shè)該平行線的方程為：，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，
即或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，
，此時(shí)該直線與橢圓無交點(diǎn).
綜上直線的方程為或.
法二：同法一得到直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)，則，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)，其中，則有，
聯(lián)立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，
，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，
解得或，，，
令，則，則
同法一得到直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離，
則，解得，
此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，
綜上直線的方程為或.
法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，
此時(shí)不滿足條件.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直線距離，
或，均滿足題意，或，即或.
法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，
此時(shí)不滿足條件.
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，
設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，
聯(lián)立，則有，
，
其中，且，
則，
則，解的或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.
則直線為或，即或.
7．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．
(1)求；
(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．
【解析】（1）設(shè)，
由可得，，所以，
所以，
即，因?yàn)?，解得：?br>（2）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線：，，
由可得，，所以，，
，
因?yàn)?，所以?br>即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
而或，所以，
當(dāng)時(shí)，的面積．
8．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【解析】（1）如圖，
由題意得，解得，所以，
所以橢圓的方程為，離心率為.
（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去整理得：，
由韋達(dá)定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直線的方程為.
9．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．
易知直線l的斜率存在，設(shè)，，
聯(lián)立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化簡(jiǎn)得，，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化
不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，由?）知，，
當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，
即，解得（負(fù)值舍去）
此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，
因?yàn)?，所以，即?br>即，解得（負(fù)值舍去），
于是，直線，直線，
聯(lián)立可得，，
因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，
同理可得，，．
所以，，點(diǎn)到直線的距離，
故的面積為．
［方法二］：
設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，
由，得，即，
聯(lián)立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．
10．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】（1），
離心率為.
（2）由（1）可知橢圓的方程為，
易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
11．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
(1)若，求；
(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.
【解析】（1）
由已知有，故的方程為.
當(dāng)時(shí)，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.
解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.
故，從而，.
（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.
展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.
從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.
所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.
所以.
這就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）
證明：
.
證畢，回到原題.
由于上一小問已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
而又有，，
故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得
.
這就表明的取值是與無關(guān)的定值，所以.
方法二：由于上一小問已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
這就得到，
以及.
兩式相減，即得.
移項(xiàng)得到.
故.
而，.
所以和平行，這就得到，即.
考點(diǎn)4：定直線問題
12．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.
【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設(shè)，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).
13．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由 得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡(jiǎn)得，
反之，若,可得MN過定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；
法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；
法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法．
考點(diǎn)5：向量問題
14．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知橢圓橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．
(1)求橢圓方程．
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，
所以，故，
故，所以，，故橢圓方程為：.
（2）
若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，
設(shè)，
由可得，
故且
而，
故
，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解?
若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，
此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.
綜上，存在，使得恒成立.
15．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)若離心率時(shí)，求的值．
(2)若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，則，．
（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，
因?yàn)闉榈妊切?，則
①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；
②當(dāng)以為底時(shí)，，
設(shè)，則 , 聯(lián)立解得或或，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；
（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；
③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，
則有，解得，即．
綜上所述：.
（3）由題知，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，
則設(shè)直線，
設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長(zhǎng)線交雙曲線于點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知，
聯(lián)立有，
顯然二次項(xiàng)系數(shù)，
其中，
①，②，
，
則，因?yàn)樵谥本€上，
則，，
即，即，
將①②代入有，
即
化簡(jiǎn)得，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且，解得，又因?yàn)?，則，
綜上知，，．
考點(diǎn)6：共線與平行問題
16．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
【解析】（1）依題意，得，則，
又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，
所以，即，則，
所以橢圓的方程為.
（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，
因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，
易得，則直線的方程為，
，則直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即，
而，則直線的方程為，
令，則，解得，即，
又，則，，
所以
，
又，即，
顯然，與不重合，所以.
考點(diǎn)7：設(shè)點(diǎn)設(shè)線問題
17．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．
【解析】（1）設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，
故橢圓方程為.
（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直線，故，
所以
，
故，即軸.
考點(diǎn)8：定點(diǎn)定值問題
18．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)?，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).
19．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)橢圓E的方程為，過，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過點(diǎn).
②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過定點(diǎn)
考點(diǎn)
三年考情（2022-2024）
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1：弦長(zhǎng)、周長(zhǎng)問題
2023年全國(guó)Ⅰ卷
2022年北京卷
2022年浙江卷
從近三年的高考卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)．直線與圓錐曲線綜合問題是高考的熱點(diǎn)，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系中的求弦長(zhǎng)、面積及弦中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值、參數(shù)取值范圍和最值等問題，多屬于解答中的綜合問題．近兩年難度上有上升的趨勢(shì)，但更趨于靈活．
考點(diǎn)2：斜率問題
2024年北京卷
2022年全國(guó)II卷
考點(diǎn)3：面積及面積比問題
2024年全國(guó)Ⅰ卷
2023年全國(guó)甲卷（理）
2023年天津卷
2022年全國(guó)I卷
2022年天津卷
2024年全國(guó)Ⅱ卷
考點(diǎn)4：定直線問題
2023年全國(guó)Ⅱ卷
2022年全國(guó)甲卷（理）
考點(diǎn)5：向量問題
2024年天津卷
2024年上海卷
考點(diǎn)6：共線與平行問題
2023年北京卷
考點(diǎn)7：設(shè)點(diǎn)設(shè)線問題
2024年全國(guó)甲卷（理）
考點(diǎn)8：定點(diǎn)定值問題
2023年全國(guó)乙卷（理）
2022年全國(guó)乙卷（理）

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