山西省太原市常青藤中學校、李林中學2024-2025學年高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題

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卷面分數(shù)：150分 答題時間：120分鐘
參考答案：
1．B
【分析】求出集合，結(jié)合交集運算性質(zhì)計算即可.
【詳解】由集合，解得，故.
故選：B
2．D
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標運算計算可得結(jié)果.
【詳解】由可得，即，
也即，解得.
故選：D
3．C
【分析】由等比數(shù)列通項公式直接求解即可.
【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，，解得：.
故選：C.
4．A
【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性列式求解即得.
【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)，
則，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A
5．D
【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故選：D.
6．C
【分析】根據(jù)與的正負關(guān)系，即可排除選項，再根據(jù)的值，排除選項，即可判斷.
【詳解】當時，若，則 ； 若，則 .
當時，若，則；若，則，排除 A， D.
，顯然 不恒等于 0，故 不是奇函數(shù)，排除 B.
故選：C
7．B
【分析】設(shè)出切點坐標，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進而求出的范圍.
【詳解】依題意，設(shè)切點坐標為，由，求導(dǎo)得，
則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，
由切線過點，得，
令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，
，當或時，，當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)取得極小值，而當時，恒有，
又，因此當時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點處的切線斜率，切點未知，設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵.
8．D
【分析】輔助角公式得，取為銳角且，由得，，則，求值即可.
【詳解】因為，取為銳角且，，
所以，由題意可得.
因為，不妨設(shè)，
由，有，，即，
所以，
.
故選：D.
【點睛】思路點睛：
輔助角公式的作用之一是將含有正弦、余弦兩種三角函數(shù)的表達式合并為只含有一種三角函數(shù)的表達式，兩個角的正弦值相等，則這兩個角終邊重合或終邊關(guān)于軸對稱.
9．ABD
【分析】對于A，用替換中的 ，求出的解析式，即可判斷；對于B，由題意可得，再由，即可得的解析式，即可判斷；對于C，設(shè)，根據(jù)題意求出的值，即可判斷；對于D，用替換中的，由兩式中消去，可得的解析式，即可判斷.
【詳解】解：對于A，因為，
所以，故正確；
對于B，因為，
因為，
所以，故正確；
對于C，設(shè)，
則，
所以，解得或，
所以或，故錯誤；
對于D，因為定義在上的函數(shù)滿足①，
所以②，
由①+②，得，
所以，故正確.
故選：ABD.
10．ABC
【分析】選項A，根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到，即可判斷選項A的正誤；選項B，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運算及模的定義，即可判斷選項B的正誤；選項C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，得到，即可求解；選項D，根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運算律，得到，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為為非零向量，若，則，故，所以選項A正確，
對于選項B，若，故，所以選項В正確，
對于選項C，，
故，所以選項C正確，
對于選項D，若，則，
得到，不能確定，所以選項D錯誤，
故選：ABC．
11．AD
【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即可判斷A；；利用即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可判斷B.利用即可判斷D
【詳解】，
因為的最小正周期為，的最小正周期為，
所以的最小正周期為，故A正確；
，
又，令，
因為的周期為，所以只需討論內(nèi)的的最大值，
此時當時，，當時，，
故當即時，有極大值，
又，
因為，
所以直線不是圖象的對稱軸，故B錯誤，C錯誤.
，
所以點是圖象的對稱點，故D正確；
故選：AD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題D選項的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，方可求出最大值.
12．
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式即可得解.
【詳解】由存在量詞命題的否定形式可知：
命題“，”的否定是“”.
故答案為：
13．
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用在內(nèi)有解即可.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
由函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，得不等式在內(nèi)有解，
不等式，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，因此，
所以的取值范圍是.
故答案為：
14．2
【分析】根據(jù)已知，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征可得是的極小值點，借助導(dǎo)數(shù)及函數(shù)零點可得的關(guān)系，由不等式的解集求出.
【詳解】因三次函數(shù)有一個極大值點，
則該函數(shù)必有一個極小值點，且極小值點大于，
又恰有兩個零點，且，因此是的極小值點，
求導(dǎo)得：，即是方程的二根，
有，即，
顯然，
則，整理得，
兩邊平方得：，因成等比數(shù)列，即，
于是得，即，
而，有，顯然有，
，
因的解集為，則5是方程的根，
即有，整理得：，解得或，
當時，，，
不等式，
解得，符合題意，函數(shù)的極大值為，
當時，，，
不等式，解得，不符合題意，舍去，
所以.
故答案為：2.
【點睛】方法點睛：可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號不同.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求得；
（2）由向量的數(shù)量積等于0列出方程，可求得角，利用三角函數(shù)的定義求得邊，最后運用三角形面積公式計算即得.
【詳解】（1）由余弦定理，，????4分
因，則；????6分
（2）由，????7分
因，則，
因，且，則，故， ???? 9分
因，則， ????11分
則的面積為.????13分
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義得到數(shù)列an為以3為公差的等差數(shù)列，進而求得其通項公式；
（2）由（1）求得，結(jié)合裂項法求和，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，數(shù)列an滿足，即，
由等差數(shù)列的定義，可得數(shù)列an是以3為公差的等差數(shù)列，????4分
因為，可得，
所以數(shù)列an的通項公式為. ????7分
解：由（1），
可得，????11分
所以數(shù)列bn的前項和為：.????15分
17．(1)答案見解析；
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）根據(jù)給定條件，將不等式分離參數(shù)得，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可.
【詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得，????1分
由，得，
當時，，當且僅當時取等號，
函數(shù)在上單調(diào)遞減；???3分
當時，，當且僅當時取等號，
函數(shù)在上單調(diào)遞增； ????5分
當時，由，得；由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，????6分
所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.????7分
依題意，不等式在時有解，
即在時有解，????9分
令，，
求導(dǎo)得，
由，得；由，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，????12
當時，函數(shù)取得最大值，因此，????14
所以實數(shù)的取值范圍是.????15
【點睛】關(guān)鍵點睛：導(dǎo)數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標準的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點、零點存在時零點是否在給定的范圍內(nèi)及零點在給定范圍內(nèi)時兩個零點的大小關(guān)系來分層討論.
18．(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，從而得證；
②在中，利用三角函數(shù)恒等變換可得所以，在中，由，可解問題；
（2）由，兩邊平方的，再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為，化簡利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）①因為，，所以，
在中，由正弦定理可得，????1分
所以；????3分
②設(shè)，則，
因為，所以，????4分
設(shè)，因為，所以，
在中，，
由①知，
所以，????6分
所以，
整理得，又因為，，
所以，
因為，所以，????8分
在中，因為，，
所以，所以，
則，????10分
所以；????11分
（2）記的內(nèi)角為，所對邊為，
因為，
所以，????12分
所以，????13分
在中，因為，
所以由余弦定理可得，
整理得，
因為，所以，
所以，
所以
，????15分
當且僅當時取等號，????16分
所以AD的最小值為4.????17分
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，由平面向量得，兩邊平方的，再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為，利用三角函數(shù)恒等變換化簡，并利用基本不等式求最值.
19．(1)（i）；（ii）；
(2)證明見解析.
【分析】（1）（i）先由點在曲線y=fx上求出點A，再利用導(dǎo)數(shù)工具求出即可由直線的點斜式方程得解；（ii）先由反函數(shù)性質(zhì)依次得出y=fx的反函數(shù)和A關(guān)于直線對稱的點為D，從而得和，再由題意以及圖象特征得和，進而得直線的方程，接著聯(lián)立求出點C即可得，從而計算即可得解.
（2）先由題意設(shè)關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱得，進而設(shè)得，再由已知信息結(jié)合得到，接著建立函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性從而由和得，從而借助的單調(diào)性得證.
【詳解】
（i）因為點在曲線上，
所以，即，????1分
由，得，則，????2分
所以曲線y=fx在點A處的切線方程為即.????4分
（ii）由（1），由得其反函數(shù)為，????5分
則函數(shù)和圖象關(guān)于直線對稱，設(shè)A關(guān)于直線對稱的點為D，
則D在曲線上，且，
，
則，????7分
由題意以及由圖象特征可知，則，直線的方程為，
聯(lián)立方程組解得或（舍去），
則，????9分
則該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.????10分
（2）證明：由fx=lnx得其反函數(shù)為，
所以和圖象關(guān)于直線對稱，且由其性質(zhì)可知，????11分
根據(jù)對稱性可設(shè)關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱，則，
設(shè)，其中，
則，，因為“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，
所以，，
所以，
由，得，所以，????13分
所以由得即.
對于函數(shù)，則，
故函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，故即，
令，
則且，
則?x在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，
所以，因為，????15分
令，則，當x∈0,+∞時，單調(diào)遞增，
則，????16分
從而. ????17分
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵1是正確處理四點的關(guān)系，從而根據(jù)四點之間的關(guān)系結(jié)合得到，關(guān)鍵點2是建立函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性從而由和得，從而借助的單調(diào)性得證.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
A
D
C
B
D
ABD
ABC
題號
11









答案
AD