山東省濟寧市鄒城市2024-2025學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考場、座號、姓名、班級填（涂）寫在答題卡上，將條形碼粘貼在”貼條形碼區(qū)”.
2.作選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標號.
3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.否則，該答題無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫力求字體工整、符號規(guī)范、筆跡清楚.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.
1. 已知空間兩點，則兩點間的距離是（）
A. 2B. 3C. 4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由距離公式計算．
【詳解】由題意，
故選：B．
2. 若直線經(jīng)過點，則直線的斜率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)斜率公式計算．
【詳解】由題意，
故選：D．
3. 甲、乙兩人比賽下棋，下成和棋的概率是，甲獲勝的概率的是，則乙不輸?shù)母怕适牵? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得乙不輸與甲勝是對立事件，再由對立事件的概率和為1求解即可；
【詳解】乙不輸與甲勝是對立事件，則乙不輸?shù)母怕适牵?br>故選：C.
4. 已知直線與圓相交于兩點，則（）
A. B. 4C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用幾何法即可求得弦的長.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
則弦的長
故選：A
5. 已知空間三點，則點到直線的距離是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先表示出，，再根據(jù)點到直線的距離計算可得.
【詳解】因為，
所以，，則，，
所以點到直線的距離.
故選：D
6. 甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進入電梯，假設(shè)每個人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出樣本空間包含的樣本點個數(shù)，所求事件包含的樣本點個數(shù)，再用古典概型概率計算公式求解即可.
【詳解】將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對，組成種等可能的結(jié)果，用表格表示如下：
記事件“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是9”，
則事件A的可能結(jié)果有6種，即，
所以事件A的概率為：，
故選：C.
7. 在正三棱柱中，為棱的中點，與交于點，若，則與所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接，取中點，連接，證明是與所成的角或其補角，設(shè)，解三角形可得．
【詳解】連接，取中點，連接，則，，所以是與所成的角或其補角，
正棱柱中所有側(cè)棱都與底面上的任意直線垂直，
設(shè)，則，所以，
，
等邊三角形中，，
，
，在等腰中，，
,
中，,
所以與所成角的余弦值是，
故選：B．
8. 若過直線上一點作圓的兩條切線，切點為，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓的幾何性質(zhì)，將化為，再求得兩點間距離的最小值，進而求得的最小值.
【詳解】圓的圓心，半徑
四邊形中，，
則，整理得，
又，
PC最小值即為圓心到直線的距離，
則
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)直線的交點為，則（）
A. 恒過定點0,2
B.
C. 的最大值為
D. 點到直線的距離的最大值為5
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直線過定點即可判斷A，由兩直線垂直列出方程即可判斷B，聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標，代入計算即可判斷C，結(jié)合題意可知點到直線的距離的最大值即為點到定點0,2的距離，即可判斷D.
【詳解】對于選項A，因為直線，即，
令，解得，所以恒過定點0,2，故A正確；
對于選項B，因為直線滿足，
所以，故B正確；
對于選項C，聯(lián)立兩直線方程，解得，
所以，
則
，
令，則，所以，
且在上單調(diào)遞增，當時，，
所以，故C錯誤；
對于選項D，由A可知，直線恒過定點0,2，
則點到直線的距離的最大值即為點到定點0,2的距離，
即，故D正確；
故選：ABD
10. 某學校數(shù)學、物理兩興趣小組各有3名男生、3名女生，假設(shè)物理興趣小組的3名女生為甲、乙、丙，現(xiàn)從數(shù)學、物理兩興趣小組各隨機選出1名同學參加比賽.設(shè)事件為“從數(shù)學興趣小組中選出的是男生”；事件為“從物理興趣小組選出的是女生乙”；事件為“從兩興趣小組選出的都是男生”；事件為“從兩興趣小組中選出的是1名男生和1名女生”，則（）
A. B.
C. 與相互獨立D. 與互斥
【答案】BC
【解析】
【分析】由古典概率可得A錯誤；由古典概率和相互獨立事件的概率可得B正確；由相互獨立事件的概率關(guān)系可得C正確；由互斥事件的性質(zhì)可得D錯誤；
【詳解】A，由題意可得，故A錯誤；
B，由題意可得，故B正確；
C，由題意可得，，所以與相互獨立，故C正確；
D，事件與可能同時發(fā)生，所以不互斥，故D錯誤；
故選：BC.
11. 已知正方體的棱長為2，點滿足，其中，則（）
A. 存在唯一點，使得平面
B. 存在唯一點，使得平面
C. 當時，點到平面的距離的最小值為
D. 當時，三棱錐的體積的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】以為原點，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標系，由平面，利用向量法可得，從而得唯一確定，即可判斷A；由平面，可得，從而得不唯一，即可判斷B；找出點的軌跡，結(jié)合由等體積法判斷C，D.
【詳解】解：以為原點，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標系，如圖所示：

則
對于A，因為，
所以，，
所以，
又因為，，
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，
取，則，
又因為平面，
所以，
所以，
所以，唯一確定，故正確；
對于B，因為，
要使平面，
則，
所以，
所以，
故點不唯一，故錯誤；
對于C，因為，所以三點共線，

因為,
設(shè)點到平面的距離為，
則有，所以，
設(shè)到的距離為，
則，
當與重合時，，
所以，故C正確；
對于D，因為，所以點在以為圓心，為半徑的圓弧上，

設(shè)到的距離為
因為，
當點位于圓弧中點時，.
所以，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：利用空間向量解決空間角度、距離及位置關(guān)系是常用方法.
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 若實數(shù)滿足方程，則的最小值為___.
【答案】
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，進而求得的最小值.
【詳解】由實數(shù)滿足方程，可得，則
，
則的最小值為.
故答案為：
13. 某商場調(diào)查500名顧客的滿意度情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：
若，則滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可知，寫出樣本空間包含樣本點，然后寫出“滿意的顧客中男性顧客不少于
女性顧客”事件的樣本點，最后計算概率即可.
【詳解】由題可知：，又因為，
所以樣本空間包含樣本點為，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，共個，
設(shè)“滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客”為事件，則事件包含的樣本點為
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，共個，所以，
所以滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為.
故答案為：.
14. 已知正四棱柱為對角線的中點，過點的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得．
【詳解】為的中點，即為正四棱柱的中心，由對稱性，為的中點，
則，
，，，所以，
所以，
故答案為：．

四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，長方體中，，設(shè).
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求兩個平面所成角的余弦.
【小問1詳解】
連接，設(shè)，連接，如圖：
則，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以平面平面
故平面.
【小問2詳解】
以為坐標原點，方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為，所以，
，
.
設(shè)平面的法向量n=x,y,z，
則，即
令，解得
，
設(shè)平面的一個法向量，
則，即令，解得，
.
設(shè)平面與平面的夾角為，
故平面與平面夾角的余弦值為.
16. 在某電視民間歌手挑戰(zhàn)賽活動中，有4位民間歌手參加比賽，由現(xiàn)場觀眾投票選出最受歡迎的歌手，各位觀眾須彼此獨立地在選票上選2名歌手.其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另外在其他歌手中隨機選1名；觀眾乙、丙對4位歌手沒有偏愛，因此，乙、丙在4名歌手中隨機選2名歌手.
（1）求觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選2號歌手的概率；
（2）設(shè)3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的選票數(shù)之和為，求的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由獨立事件的乘法公式計算即可；
（2）設(shè)事件A，B，C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號歌手，由題意得到，，再由獨立事件乘法公式計算即可；
【小問1詳解】
設(shè)事件D表示“觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選2號歌手”，
觀眾甲選2號歌手的概率為，觀眾乙未選2號歌手的概率為，
從而，
故觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選3號歌手的概率為，
【小問2詳解】
設(shè)事件A，B，C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號歌手”，
由題意得：，，
所以
故的概率為.
17. 已知直線經(jīng)過直線的交點，且A3,2?兩點到直線的距離相等.
（1）求直線的一般式方程；
（2）若點在直線的同側(cè)，且為直線上一個動點，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分類討論所求直線與直線平行或過的中點，結(jié)合直線點斜式方程運算求解；
（2）求點關(guān)于直線的對稱點為，結(jié)合幾何性質(zhì)可得，即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由，解得，所以交點
①當所求直線與直線平行時，直線的斜率為，
則所求直線的方程為，即；
②當所求直線過的中點時，線段的中點坐標為1,0，
則所求直線垂直于軸，故所求直線方程為，即；
綜上所述，所求直線方程為或.
【小問2詳解】
因為點在直線的同側(cè)，所以直線的方程為，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，
解得，即點，
因，
當三點共線時等號取到，
故最小值為.
18. 如圖，在矩形中，，沿將折起，點到達點的位置，使點在平面的射影落在邊上.
（1）證明：；
（2）求點到平面的距離；
（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，即可證明；
（2）根據(jù)題意，作，垂足為，由線面垂直的判定定理可得平面，即可得到點到面的距離；
（3）點為坐標原點，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算以及線面角的公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由點在平面的射影落在邊上可得：平面，
又平面，所以，
又，且平面平面，
所以平面，又平面，故.
【小問2詳解】
作，垂足為，
由已知得：且平面平面，
從而平面，且平面，所以平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，即即為點到平面的距離，
在直角三角形中，，所以，
故點到平面的距離為.
小問3詳解】
在直角三角形中可得，，以點為坐標原點，
分別以所在直線為軸，以過點且垂直于平面的直線為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
因為，
所以，從而，
易知，
設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，
所以，解得：，
又直線的方向向量為，
因此可得
故直線與平面所成角的正弦值為.
19. 在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過原點和點，并且圓心在軸上.
（1）求圓的標準方程；
（2）設(shè)為圓的動弦，且不經(jīng)過點，記分別為弦的斜率.
（i）若，求面積的最大值；
（ii）若，請判斷動弦是否過定點？若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【答案】（1）
（2）（i），（ii）過定點，
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓的標準方程，代入已知條件求解；
（2）（i）由得，是直徑，由基本不等式可求得面積的最大值；
（ii）設(shè)直線的方程為，代入圓方程，應用韋達定理得，代入，得出關(guān)系，然后觀察直線方程可得定點坐標．
【小問1詳解】
設(shè)圓的標準方程為，
由已知可得：
解得：，
所以圓的標準方程為
【小問2詳解】
（2）（i）因為，所以，
從而直線經(jīng)過圓心，是直角三角形，且，
設(shè)，則，
又，所以，當且僅當時取等號，
所以.
（ii）由已知得：直線的斜率必存在，
設(shè)直線方程為，
由，消去得：，
，（※）
又，
即，
代入（※）得：，
即，
解得：，或，
當時，此時直線的方程為，過定點（舍去），.
當時，此時直線的方程為，過定點，
故當，動弦過定點.

甲
乙
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
不滿意
一般
滿意
女性
25
64
男性
15
36

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多