1．（4分）北京時(shí)間2024年8月12日，巴黎奧運(yùn)會(huì)閉幕，經(jīng)過(guò)激烈的角逐，中國(guó)奧運(yùn)代表團(tuán)實(shí)現(xiàn)了境外奧運(yùn)歷史上金牌總數(shù)的突破，讓我們來(lái)找找下列奧運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)標(biāo)識(shí)中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．籃球B．射擊
C．拳擊D．游泳
2．（4分）下列四組小棒，能圍成三角形的是（ ）
A．4，7，3B．4，7，12C．4，7，11D．4，7，4
3．（4分）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果為a6的是（ ）
A．a(chǎn)3?a3B．（a3）3C．a(chǎn)3+a3D．a(chǎn)12÷a2
4．（4分）如圖，花瓣圖案中的正六邊形ABCDEF的內(nèi)角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．360°
5．（4分）若圖中的兩個(gè)三角形全等，則依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)可得（ ）
A．α＝50°B．α＝60°C．x＝18D．x＝20
6．（4分）同學(xué)們學(xué)習(xí)完“三角形全等”的知識(shí)后，數(shù)學(xué)王老師在多媒體上出示了一道試題，下面四個(gè)選項(xiàng)分別是四位同學(xué)的答案，其中錯(cuò)誤的是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．AC＝DBD．∠ABC＝∠DCB
7．（4分）如圖，△ABC中，∠B＝60°，BA＝7，BC＝5，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BC邊上，且AE＝AC．則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．2.5B．3.5C．2D．3
8．（4分）如圖（1），銳角△ABC中，AB＞BC＞AC，要用尺規(guī)作圖的方法在AB邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，關(guān)于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．甲、乙、丙都正確B．甲、丙正確，乙錯(cuò)誤
C．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤D．只有甲正確
9．（4分）若（x+a）（x+b）＝x2﹣3x﹣45，則實(shí)數(shù)a、b的符號(hào)為（ ）
A．a(chǎn)、b同為正
B．a(chǎn)、b同為負(fù)
C．a(chǎn)、b異號(hào)且絕對(duì)值大的為正
D．a(chǎn)、b異號(hào)且絕對(duì)值大的為負(fù)
10．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝5，△BED≌△BAC，且A，B，D在同一條直線上，點(diǎn)P在直線BE上，連接AP，則AP+CP的最小值為（ ）
A．10B．12.5C．15D．17.5
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）計(jì)算：＝ ．
12．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
13．（4分）如圖，一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達(dá)C地，則A、C兩地相距 海里．
14．（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠CAB+∠ACB＝ ．
15．（4分）如圖，將兩塊大小完全相同的等腰直角三角板的直角邊分別貼緊角∠AOB的兩邊，45°角的頂點(diǎn)與∠AOB的頂點(diǎn)互相重合，另外兩條直角邊相交于P點(diǎn)，做射線OP，則射線OP是∠AOB的角平分線，其中的原理利用了全等三角形的性質(zhì)，那么判定△OMP≌△ONP的依據(jù)是 ．
16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，連接BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)F恰好在AD上，且AF＝DF，若△ACF的面積為3，則DF的長(zhǎng)為 ．
三、解答題（本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）（1）（2x2）3﹣2x9÷x3；
（2）（m﹣n）（m+3n）+n（m﹣n）．
18．（8分）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB．
求證：點(diǎn)E為AC中點(diǎn)．
19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．
（1）請(qǐng)分別畫出△ABC的邊AC上的中線BE和邊AB上的高CF，并直接寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)為E（ ），F(xiàn)（ ）；
（2）畫出與△ABC關(guān)于直線AB對(duì)稱的圖形△ABD，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
20．（8分）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF．
求證：AD垂直平分EF．
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：在AC上求作一個(gè)點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到AB的距離等于DC．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若AD＝BD，BC＝3，求AB的長(zhǎng)．
22．（10分）小陳網(wǎng)購(gòu)了一批總長(zhǎng)為（4m+20）米柵欄，準(zhǔn)備在自己家后面的空地上圍一個(gè)長(zhǎng)比寬多2米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地養(yǎng)兔子，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b．
（1）求a和b的長(zhǎng)；（結(jié)果用含m的式子表示）
（2）若用這批總長(zhǎng)相同的柵欄圍成一個(gè)正方形場(chǎng)地，請(qǐng)你判斷所圍的正方形場(chǎng)地與小陳所圍的長(zhǎng)方形場(chǎng)地哪個(gè)面積大？并說(shuō)明理由．
23．（10分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，0），B（0，4），射線OM在第一象限內(nèi)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AC⊥OM于點(diǎn)C，BD⊥OM于點(diǎn)D．
（1）求證：△AOC≌△BOD；
（2）若∠AOM＝60°，，求點(diǎn)D坐標(biāo)．
24．（12分）如圖，△ABC是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A的直線l交BC于點(diǎn)D，設(shè)∠CAD＝α（0°＜α＜30°），線段AE與線段AC關(guān)于直線l對(duì)稱，連接BE并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)G，連接EC交直線l于點(diǎn)F．
（1）求∠AGB的度數(shù)；
（2）求證：AG＝BG+2GF．
25．（14分）【教材呈現(xiàn)】如圖為人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第P39頁(yè)的部分內(nèi)容．
（1）【應(yīng)用發(fā)現(xiàn)】
小明通過(guò)以上思考得到結(jié)論：有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等（即“SSA”對(duì)應(yīng)相等）的兩個(gè)三角形不一定全等．同時(shí)他受此啟發(fā)，展開了以下探究：
如圖1，如果△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，AC＝DF，∠C+∠F＝180°（∠C＜∠F）則可證AB＝DE．
證明：在BC上取一點(diǎn)G，使AG＝AC．
∵AG＝AC，
∴∠C＝① ．
又∵∠C+∠F＝180°，
而∠AGC+∠AGB＝180°，
∴∠AGB＝② ．
∵AC＝DF，
∴AG＝③ ．
又∵∠B＝∠E．
∴△ABG≌△DEF（AAS）．
∴AB＝DE．
小紅提出：如圖2，若在EF的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使DG＝DF，也可證得結(jié)論．
請(qǐng)補(bǔ)全小明證明中①②③所缺的內(nèi)容．
總結(jié)發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)三角形中，當(dāng)一角和它所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等，另一組對(duì)應(yīng)角互補(bǔ)時(shí)，此時(shí)這兩個(gè)三角形不全等，但可通過(guò)“割大或補(bǔ)小”構(gòu)造全等三角形．
（2）【拓展探究】
△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段AC上，連接DE交BC于點(diǎn)F．
①如圖3，若BD＝CE，求證：點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)；
②若△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足∠EGC＝∠ADE，請(qǐng)直接寫出的值．
2024-2025學(xué)年福建省福州市連江縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
詳細(xì)答案
一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．【解答】解：A，C，D選項(xiàng)中的字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
B選項(xiàng)中的字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：B．
2．【解答】解：A、4+3＝7，4，7，3不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、4+7＝11＜12，4，7，12不能夠組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、4+7＝11，4，7，11不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、4+4＝8＞7，4，7，4能組成三角形，故本選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
3．【解答】解：A．a(chǎn)3?a3＝a6，故本選項(xiàng)符合題意；
B．（a3）3＝a9，故本選項(xiàng)不合題意；
C．a(chǎn)3+a3＝2a3，故本選項(xiàng)不合題意；
D．a(chǎn)12÷a2＝a10，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
4．【解答】解：正六邊形ABCDEF的內(nèi)角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
故選：A．
5．【解答】解：由題意得，50°角對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為10，
∴α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴70°角對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為20，
∴x＝20．
故選：D．
6．【解答】解：∵∵∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，
A、添加的條件是：AB＝DC，無(wú)法判斷△ABC≌△DCB，符合題意；
B、添加的條件是：∠A＝∠D，根據(jù)AAS可證明△ABC≌△DCB，不符合題意；
C、添加的條件是：AC＝DB，根據(jù)SAS可證明△ABC≌△DCB，不符合題意；
D、添加的條件是：∠ABC＝∠DCB，根據(jù)ASA可證明△ABC≌△DCB，不符合題意，
故選：A．
7．【解答】解：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝60°，BA＝7，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AB＝×7＝3.5，
∵BC＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3.5＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
∴BE＝BD﹣DE＝3.5﹣1.5＝2，
故選：C．
8．【解答】解：甲，根據(jù)作圖過(guò)程可知：AC＝AD，所以△ACD為等腰三角形，甲的方法正確；
乙，根據(jù)線段的垂直平分線作圖過(guò)程可知：CD＝AD，所以△ACD為等腰三角形，乙的方法正確；
丙，根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的過(guò)程可知：∠ACD＝∠A，所以CD＝AD，所以△ACD為等腰三角形，丙的方法正確；
綜上所述：甲、乙、丙都正確，
故選：A．
9．【解答】解：根據(jù)題意可得a+b＝﹣3，ab＝﹣45，
∴a、b異號(hào)且絕對(duì)值大的為負(fù)，
故選：D．
10．【解答】解：如圖，連接PD．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝5，
∴AB＝2BC＝10，∠CBA＝60°．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到∠DBE＝∠CBA＝60°，BC＝BD＝5，
∴∠CBP＝∠DBP＝60°，
∵在△BCP和△BDP中，
，
∴△BCP≌△BDP（SAS）．
∴PC＝PD．
∴AP+CP＝AP+DP≥AD，
∴AP+CP有最小值為AD的長(zhǎng)．
∴PA+CP的最小值＝AB+BD＝10+5＝15．
故選：C．
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．【解答】解：原式＝（）2024×22024
＝（×2）2024
＝12024
＝1．
故答案為：1．
12．【解答】解：∵點(diǎn)（﹣3，2）關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣2）．
故答案為（﹣3，﹣2）．
13．【解答】解：由題意得∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝40海里．
故答案為：40．
14．【解答】解：如圖，作AD⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于D，
又∵AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
故答案為：45°．
15．【解答】解：∵兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角形，
∴OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌△RtONP（HL），
∴判定△OMP≌△ONP的依據(jù)是HL．
故答案為：HL．
16．【解答】解：連接BF，如圖所示：

設(shè)∠ACF＝α，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝45°+α，
∵點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)F恰好在AD上，
∴DF＝DC，BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝45°+α，
∴∠CBF＝180°﹣（∠BFC+∠BCF）＝90°﹣2α，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∵AB＝BC，BC＝BF，
∴AB＝BF，
∴∠BFA＝∠BAF＝（180°﹣∠ABF）＝90°﹣α，
∴∠AFC＝∠BFA+∠BFC＝90°﹣α+45°+α＝135°，
∴∠DFC＝180°﹣∠AFC＝45°，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∴∠FDC＝180°﹣（∠DFC+∠DCF）＝90°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∵AF＝DF，△ACF的面積為3，
∴△DFC的面積為3，
∴DF?DC＝3，
∴DF2＝6，
∵DF＞0，
∴DF＝．
三、解答題（本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．【解答】解：（1）原式＝8x6﹣2x6
＝6x6；
（2）原式＝m2+3mn﹣mn﹣3n2+mn﹣n2
＝m2+3mn﹣4n2．
18．【解答】證明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴AE＝CE，
∴點(diǎn)E為AC中點(diǎn)．
19．【解答】解：（1）如圖，BE，CF即為所求．
由圖可得，E（﹣1，1），F(xiàn)（﹣3，﹣2）．
故答案為：﹣1，1；﹣3，﹣2．
（2）如圖，△ABD即為所求．
由圖可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣7，﹣2）．
20．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AD垂直平分EF．
21．【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)D為所求作的點(diǎn)；
（2）由（1）得，點(diǎn)D到AB的距離等于DC，
∴BD平分∠ABC，即∠CBD＝∠ABD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝3，
∴AB＝2BC＝6．
22．【解答】解：（1）根據(jù)題意，a＝b+2（米），
則2（b+2+b）＝4m+20，
∴b＝m+4，
∴a＝b+2＝m+6．
答：a的長(zhǎng)是（m+6）米，b的長(zhǎng)是（m+4）米．
（2）圍成的正方形場(chǎng)地的面積大．理由如下：
圍成的正方形場(chǎng)地的面積為（）2＝（m+5）2＝m2+10m+25（平方米）
圍成的長(zhǎng)方形場(chǎng)地的面積為ab＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24（平方米），
∵m2+10m+25＞m2+10m+24，
∴圍成的正方形場(chǎng)地的面積大．
23．【解答】（1）證明：∵BD⊥OM，AC⊥OM，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
又∵∠AOC+∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS）；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB于點(diǎn)E，如圖所示：
由（1）知：△AOC≌△BOD，
∴AC＝OD＝，
∵∠AOM＝60°，
∴∠BOM＝90°﹣∠AOM＝30°，
在Rt△ODE中，∠BOM＝30°，OD＝，
∴DE＝OD＝，
由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是．
24．【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵線段AE與線段AC關(guān)于直線l對(duì)稱，且∠CAD＝α（0°＜α＜30°），
∴∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，
∴∠BAE＝60°﹣α，AB＝AE，
∴∠AEB＝×（180°﹣∠BAE）＝60°+α，
∵∠AEB＝∠AGB+∠EAD＝∠AGB+α，
∴∠AGB+α＝60°+α，
∴∠AGB＝60°；
（2）證明：在GA上取一點(diǎn)H，使GH＝GC，連接CH，如圖所示：
∵線段AE與線段AC關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴∠AGC＝∠AGB＝60°，AG⊥CE，
∴△GHC是等邊三角形，
∴HC＝GC，∠GCH＝60°，
∴∠ACB＝∠GCH＝60°，
∴∠ACH+∠HCD＝∠HCD+∠BCG＝60°，
∴∠ACH＝∠BCG，
在△ACH和△BCG中，
，
∴△ACH≌△BCG（SAS），
∴AH＝BG，
∴AG＝AH+GH＝BG+GH，
∵△GHC是等邊三角形，AG⊥CE，
∴GF＝FH，
∴GH＝2GF，
∴AG＝BG+2GF．
25．【解答】（1）證明：在BC上取一點(diǎn)G，使AG＝AC．
∵AG＝AC，
∴∠C＝∠AGC．
又∵∠C+∠F＝180°，
而∠AGC+∠AGB＝180°，
∴∠AGB＝∠F．
∵AC＝DF，
∴AG＝DF．
又∵∠B＝∠E．
∴△ABG≌△DEF（AAS）．
∴AB＝DE．
故答案為：①∠AGC，②∠F，③DF；
（2）證明：在BC上取一點(diǎn)G，使得EG＝EC，則∠EGC＝∠C，
∵BD＝EC，
∴EG＝BD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠EGC，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠EGC 即∠DBF＝∠EGF，
在△DBF與△EGF中，
，
∴△DBF≌△EGF（AAS），
∴DF＝EF，
∴點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)；
（3）解：．
依題意畫出圖形如圖所示，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝60°，∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
在AB上取點(diǎn)P使得EP＝EA，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠APE＝60°，AP＝AE，
∴∠DPE＝180°﹣∠APE＝120°，∠GCE＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠DPE＝∠GCE，
又∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
∴PE＝CE，
在△DPE與△GCE中，
，
∴△DPE≌△GCE（AAS），
∴DP＝GC，
又∵，
∴，
∴．
∵∠ACB＝∠DBC，______（添加一個(gè)條件，使結(jié)論成立），BC＝CB．
∴△ABC≌△DCB．

思考：如圖，把一長(zhǎng)一短的兩根木板的一端固定在一起，擺出△ABC．固定住長(zhǎng)木棍，轉(zhuǎn)動(dòng)短木板，得到△ABD，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了什么？

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