1．（2分）隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，我國(guó)涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國(guó)家核電、華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個(gè)企業(yè)的標(biāo)志是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）若x＝3是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一個(gè)根，則m的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
3．（2分）拋物線y＝3（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）
4．（2分）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
5．（2分）已知點(diǎn)A（1，y1），B（﹣4，y2）都在二次函數(shù)y＝﹣x2+3圖象上，則y1，y2大小關(guān)系為（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．無法確定
6．（2分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是（ ）
A．120°B．100°C．80°D．60°
7．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)是12π，則正六邊形的邊長(zhǎng)是（ ）
A．B．3C．6D．
8．（2分）我們將滿足等式x2+y2＝1+|x|y的每組x，y的值在平面直角坐標(biāo)系中畫出，便會(huì)得到如圖所示的“心形”圖形．下面三個(gè)結(jié)論中，①“心形”圖形是軸對(duì)稱圖形；②“心形”圖形所圍成的面積一定大于2；③“心形”圖形上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于．其中正確結(jié)論有（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
二、填空題（每題2分，共16分）
9．（2分）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A到圓心O距離是4，則點(diǎn)A在⊙O .（填“內(nèi)”、“上”或“外”）
10．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）的二次函數(shù)的表達(dá)式 ．
11．（2分）二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象可以由函數(shù)y＝2x2向 平移 個(gè)單位得到．
12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△DEC，若∠A＝30°，則∠EFC的度數(shù)為 °．
13．（2分）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，AE＝4cm，則AC的長(zhǎng)為 cm．
14．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，PA＝6，則BC的長(zhǎng)為 ．
15．（2分）下列關(guān)于拋物線y＝x2+bx﹣2．
①拋物線的開口方向向下；
②拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣2）；
③當(dāng)b＞0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；
④對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．
其中正確的說法是 ．（填寫正確的序號(hào)）
16．（2分）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，⊙C的半徑為2，點(diǎn)G為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值為 ．
三、解答題（共68分：17題至22題，每題5分；23題至26題，每題6分；27、28題每題7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．
18．（5分）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：
（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，則B1的坐標(biāo)為 ；
（2）畫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2；
（3）△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)為 ．
19．（5分）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡(jiǎn)單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面寬AB＝0.8m，求水的最大深度．
20．（5分）下面是小立設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：⊙O及圓上一點(diǎn)A．
求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．
作法：如圖2，
①連接OA并延長(zhǎng)到點(diǎn)C；
②分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在直線OA上方）；
③以點(diǎn)D為圓心，DA長(zhǎng)為半徑作⊙D；
④連接CD并延長(zhǎng)，交⊙D于點(diǎn)B，作直線AB．
直線AB就是所求作的直線．
根據(jù)小立設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下面的證明．（說明：括號(hào)里填推理的依據(jù)）
證明：連接AD．
∵ ＝AD
∴點(diǎn)C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直徑．
∴ ＝90°．（ ）
∴AB⊥ ．
∵OA是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線．（ ）
21．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為符合條件的最大整數(shù)，求此時(shí)方程的根．
22．（5分）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組借助如圖所示的直角墻角（墻角兩邊DC和DA足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB和BC兩邊），設(shè)AB＝x m，則S矩形ABCD＝y(tǒng) m2．
（1）求y與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)AB多長(zhǎng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大？最大面積是多少？
23．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)y＞﹣3時(shí)，直接寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)﹣3≤x＜2時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 ax2+bx+c﹣t＝0 有實(shí)根，則t的取值范圍是 ．
24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，直線PQ經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)E，AC⊥PQ于點(diǎn)C，交⊙O于D，AE平分∠BAC．
（1）求證：直線PQ是⊙O的切線；
（2）若AD＝6，EC＝2，求CD的長(zhǎng)．
25．（6分）廣場(chǎng)修建了一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個(gè)噴水頭，記噴出的水與池中心的水平距離為x米，距地面的高度為y米．測(cè)量得到如表數(shù)值：
小慶根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，并對(duì)y隨x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小慶的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y），并畫出函數(shù)的圖象；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，出水口距地面的高度為 米，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為 米；
（3）若圓形噴水池半徑為5米，為了使水柱落地點(diǎn)在池內(nèi)且與水池邊水平距離不小于1.5米，若只調(diào)整水管高度，其他條件不變，結(jié)合函數(shù)圖象，估計(jì)出水口至少需要 （填“升高”或“降低”） 米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y2的值；
②若對(duì)于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
27．（7分）已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直線AC上取一點(diǎn)D，連接BD，線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BD′，連接CD′交直線AB于G．
（1）喜歡思考問題的小捷同學(xué)，想探索圖中線段CG和線段D′G的數(shù)量關(guān)系．于是他畫了圖1所示當(dāng)D在AC邊上時(shí)的圖形，并通過測(cè)量得到了線段CG與D′G的數(shù)量關(guān)系．你認(rèn)為小捷的猜想是CG D′G（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）當(dāng)D在AC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)請(qǐng)你根據(jù)題目要求補(bǔ)全圖2，
①在補(bǔ)全的圖2中找出與∠BDC相等的角
②在圖2中探索（1）中小捷的猜想是否成立，若成立證明你的結(jié)論，若不成立，請(qǐng)你說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)D在邊AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出CA，CD，CD′的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）．
28．（7分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W上任意一點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q，使得∠OQP是直角，則稱點(diǎn)Q是圖形W的“直角點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)A（6，8），在點(diǎn)Q1（3，9），Q2（﹣4，2），Q3（0，8）中， 是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；
（2）已知點(diǎn)B（﹣4，3），C（3，3），若點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)n的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)D（t，0），E（t+1，0），以線段DE為邊在x軸上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．
2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題2分，共16分）
1．（2分）隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，我國(guó)涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國(guó)家核電、華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個(gè)企業(yè)的標(biāo)志是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；
C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
2．（2分）若x＝3是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一個(gè)根，則m的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
【分析】直接把x＝3代入一元二次方程得到關(guān)于m的方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0，
解得m＝3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
3．（2分）拋物線y＝3（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）
【分析】已知拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．
【解答】解：∵拋物線y＝3（x﹣1）2+2是頂點(diǎn)式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線的頂點(diǎn)式寫出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，比較容易．
4．（2分）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．
【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
5．（2分）已知點(diǎn)A（1，y1），B（﹣4，y2）都在二次函數(shù)y＝﹣x2+3圖象上，則y1，y2大小關(guān)系為（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．無法確定
【分析】根據(jù)解析式求得開口方向和對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性即可判斷．
【解答】解：∵y＝﹣x2+3，
∴拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而減小，
∵A（﹣4，y2）與點(diǎn)（4，y2）關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，且0＜1＜4，
∴y1＞y2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
6．（2分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是（ ）
A．120°B．100°C．80°D．60°
【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半可得∠A＝60°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠BCD的度數(shù)．
【解答】解∵在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°＝120°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
7．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)是12π，則正六邊形的邊長(zhǎng)是（ ）
A．B．3C．6D．
【分析】連接OB、OC，根據(jù)⊙O的周長(zhǎng)等于12π，可得⊙O的半徑OB＝OC＝6，而六邊形ABCDEF是正六邊形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等邊三角形，即可得正六邊形的邊長(zhǎng)為6．
【解答】解：連接OB、OC，如圖：
∵⊙O的周長(zhǎng)等于12π，
∴⊙O的半徑OB＝OC＝＝6，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝OC＝6，
即正六邊形的邊長(zhǎng)為6，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形中心角等于60°，從而得到△BOC是等邊三角形．
8．（2分）我們將滿足等式x2+y2＝1+|x|y的每組x，y的值在平面直角坐標(biāo)系中畫出，便會(huì)得到如圖所示的“心形”圖形．下面三個(gè)結(jié)論中，①“心形”圖形是軸對(duì)稱圖形；②“心形”圖形所圍成的面積一定大于2；③“心形”圖形上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于．其中正確結(jié)論有（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【分析】觀察圖象“心形”圖形恰好經(jīng)過（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），利用圖象法一一判斷即可．
【解答】解：如圖，根據(jù)題意得E（﹣1，1），F(xiàn)（1，1），G（﹣1，0），H（1，0），T（0，﹣1）．
觀察圖象可知，“心形”圖形是軸對(duì)稱圖形，故①正確，
∵“心形”圖形所圍成的面積＞五邊形EFHTG的面積，
∴“心形”圖形所圍成的面積＞3，故②正確，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，x2+y2＝1+|x|y≤1+（x2+y2），
∴x2+y2≤2，
∴“心形”圖形上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于等于，故③錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱圖形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
二、填空題（每題2分，共16分）
9．（2分）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A到圓心O距離是4，則點(diǎn)A在⊙O 外 .（填“內(nèi)”、“上”或“外”）
【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；若設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
【解答】解：∵⊙O的半徑為2，點(diǎn)A到圓心O的距離為4，
∵4＞2，
∴點(diǎn)A在⊙O外．
故答案為：外．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．解決此類題目的關(guān)鍵是首先確定點(diǎn)與圓心的距離，然后與半徑進(jìn)行比較，進(jìn)而得出結(jié)論．
10．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）的二次函數(shù)的表達(dá)式 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，注意本題答案不唯一．
【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），
∴a＜0，
∴該函數(shù)圖象可以是y＝﹣x2+1，
故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
11．（2分）二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象可以由函數(shù)y＝2x2向 右 平移 1 個(gè)單位得到．
【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”平移規(guī)律即可解決．
【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，可知：
函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象可以由函數(shù)y＝2x2的圖象向右平移1個(gè)單位得到；
故答案為：右，1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△DEC，若∠A＝30°，則∠EFC的度數(shù)為 70 °．
【分析】將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△DEC，得∠ACD＝40°，∠A＝∠D＝30°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△DEC，
∴∠ACD＝40°，∠A＝∠D＝30°，
∴∠EFC＝∠ACD+∠D＝40°+30°＝70°，
故答案為：70．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，AE＝4cm，則AC的長(zhǎng)為 12 cm．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AC＝12，
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，PA＝6，則BC的長(zhǎng)為 2 ．
【分析】連接AB，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAC＝90°，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．
【解答】解：連接AB，
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAC＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AB?tan∠CAB＝6×＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）下列關(guān)于拋物線y＝x2+bx﹣2．
①拋物線的開口方向向下；
②拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣2）；
③當(dāng)b＞0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；
④對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．
其中正確的說法是 ②④ ．（填寫正確的序號(hào)）
【分析】利用拋物線的性質(zhì)對(duì)每個(gè)說法進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴拋物線的開口方向向上．
∴①說法錯(cuò)誤；
令x＝0則y＝﹣2，
∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣2）．
∴②說法正確；
∵拋物線y＝x2+bx﹣2的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，
∴當(dāng)b＞0時(shí)，﹣＜0，
∴當(dāng)b＞0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
∴③說法錯(cuò)誤；
令y＝0，則x2+bx﹣2＝0，
∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，
∴對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．
∴④說法正確；
綜上，說法正確的有：②④，
故答案為：②④．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，拋物線與x軸的交點(diǎn)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，⊙C的半徑為2，點(diǎn)G為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值為 3.5 ．
【分析】如圖，連接BG．利用三角形的中位線定理證明DP＝BG，求出BG的最大值，即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接BG．
∵AP＝PG，AD＝DB，
∴DP＝BG，
∴當(dāng)BG的值最大時(shí)，DP的值最大，
∵y＝﹣（x﹣1）（x﹣9）＝﹣（x﹣5）2+3，
∴C（5，3），B（9，0），
∴BC＝＝5，
當(dāng)點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BG的值最大，最大值＝5+2＝7，
∴DP的最大值為3.5，
故答案為：3.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（共68分：17題至22題，每題5分；23題至26題，每題6分；27、28題每題7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】先計(jì)算出△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6，然后代入一元二次方程的求根公式進(jìn)行求解．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的求根公式為x＝（b2﹣4ac≥0）．
18．（5分）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：
（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，則B1的坐標(biāo)為 （1，4） ；
（2）畫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2；
（3）△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)為 （﹣3，﹣3） ．
【分析】（1）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；
（2）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；
（3）作AB、AC的中垂線，交點(diǎn)即為所求．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，B1的坐標(biāo)為（1，4）；
故答案為：（1，4）；
（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求．
（3）如圖所示，△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)及三角形的外接圓．
19．（5分）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡(jiǎn)單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面寬AB＝0.8m，求水的最大深度．
【分析】過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC＝0.4，再在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理可求出OC，進(jìn)而即可求解．
【解答】解：如圖，作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，
∵∠ACO＝90°，，
∵AB＝0.8，
∴AC＝0.4，
在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理，得，
∴0.3+0.5＝0.8，
∴水的最大深度為0.8m．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）下面是小立設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：⊙O及圓上一點(diǎn)A．
求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．
作法：如圖2，
①連接OA并延長(zhǎng)到點(diǎn)C；
②分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在直線OA上方）；
③以點(diǎn)D為圓心，DA長(zhǎng)為半徑作⊙D；
④連接CD并延長(zhǎng)，交⊙D于點(diǎn)B，作直線AB．
直線AB就是所求作的直線．
根據(jù)小立設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下面的證明．（說明：括號(hào)里填推理的依據(jù)）
證明：連接AD．
∵ CD ＝AD
∴點(diǎn)C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直徑．
∴ ∠BAC ＝90°．（ 直徑所對(duì)的圓周角是90° ）
∴AB⊥ AC ．
∵OA是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線．（ 過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線 ）
【分析】根據(jù)題中的過程，結(jié)合圖形進(jìn)行合情推理．
【解答】證明：如圖：連接AD，
∵CD＝AD
∴點(diǎn)C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直徑．
∴∠BAC＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是90°），
∴AB⊥AC，
∵OA是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線，（過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線），
故答案為：CD，∠BAC，直徑所對(duì)的圓周角是90°，OA，過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖的證明，掌握?qǐng)A的切線的判定是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為符合條件的最大整數(shù)，求此時(shí)方程的根．
【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到Δ＝1﹣4m＞0，然后解不等式即可得到m的范圍；
（2）在（1）中m的取值范圍內(nèi)確定滿足條件的m的值，再解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（2m﹣1）＝20﹣8m＞0，
解得m＜．
（2）∵m＜，
∴m的最大整數(shù)為2，
此時(shí)方程變形為x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
22．（5分）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組借助如圖所示的直角墻角（墻角兩邊DC和DA足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB和BC兩邊），設(shè)AB＝x m，則S矩形ABCD＝y(tǒng) m2．
（1）求y與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)AB多長(zhǎng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大？最大面積是多少？
【分析】（1）根據(jù)矩形面積＝長(zhǎng)×寬求解；
（2）把（1）中解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】解：（1）∵AB＝x m，
∴BC＝（28﹣x）m，
∴y＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，
∵28﹣x＞0，
∴x＜28，
∴y與x的關(guān)系式為y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）；
（2）y＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵﹣1＜0，0＜x＜28，
∴當(dāng)x＝14時(shí)，y有最大值，最大值為196，
答：當(dāng)AB＝14m時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積是196m2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式．
23．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)y＞﹣3時(shí)，直接寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)﹣3≤x＜2時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 ax2+bx+c﹣t＝0 有實(shí)根，則t的取值范圍是 ﹣4≤t＜5 ．
【分析】（1）利用兩根式求解可得結(jié)論；
（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，利用圖象即可求解；
（3）利用圖象法判斷即可．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（﹣3，0）和 （1，0），
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1），
將（0，﹣3）代入得：﹣3＝a（0+3）（0﹣1），
解得：a＝1，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）函數(shù)圖象如圖所示：
觀察圖象可知，當(dāng)y＞﹣3時(shí)，x＜﹣2或x＞0；
（3）觀察圖象可知，當(dāng)﹣3≤x＜2時(shí)，﹣4≤t＜5．
故答案為：﹣4≤t＜5
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決問題．
24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，直線PQ經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)E，AC⊥PQ于點(diǎn)C，交⊙O于D，AE平分∠BAC．
（1）求證：直線PQ是⊙O的切線；
（2）若AD＝6，EC＝2，求CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OE，由∠BAE＝∠OEA，∠BAE＝∠CAE，得∠OEA＝∠CAE，則OE∥AC，所以∠OEP＝∠ACP＝90°，即可證明直線PQ是⊙O的切線；
（2）連接BE、CE，則∠B+∠ADE＝180°，而∠EDC+∠ADE＝180°，所以∠B＝∠EDC，再證明∠EDC＝∠AEC，而∠ECD＝∠ACE，則△ECD∽△ACE，得＝，則CD（CD+6）＝22，求得CD＝﹣3．
【解答】（1）證明：連接OE，則OE＝OA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
∵AC⊥PQ于點(diǎn)C，
∴∠OEP＝∠ACP＝90°，
∵OC是⊙O的直徑，且PQ⊥OC，
∴直線PQ是⊙O的切線．
（2）解：連接BE、CE，則∠B+∠ADE＝180°，
∵∠EDC+∠ADE＝180°，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠B＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠CAE＝∠AEC，
∴∠EDC＝∠AEC，
∵∠ECD＝∠ACE，
∴△ECD∽△ACE，
∴＝，
∴CD?AC＝EC2，
∵AD＝6，EC＝2，
∴CD（CD+6）＝22，
解得CD＝﹣3或CD＝﹣﹣3（不符合題意，舍去），
∴CD的長(zhǎng)是﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
25．（6分）廣場(chǎng)修建了一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個(gè)噴水頭，記噴出的水與池中心的水平距離為x米，距地面的高度為y米．測(cè)量得到如表數(shù)值：
小慶根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，并對(duì)y隨x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小慶的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y），并畫出函數(shù)的圖象；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，出水口距地面的高度為 2.5 米，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為 1.5 米；
（3）若圓形噴水池半徑為5米，為了使水柱落地點(diǎn)在池內(nèi)且與水池邊水平距離不小于1.5米，若只調(diào)整水管高度，其他條件不變，結(jié)合函數(shù)圖象，估計(jì)出水口至少需要 降低 （填“升高”或“降低”） 1.8 米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
【分析】（1）根據(jù)表格描點(diǎn)，連線即可得到函數(shù)圖象；
（2）觀察圖象可得答案；
（3）求出函數(shù)解析式，令x＝3.5即可得到答案．
【解答】解：（1）畫出函數(shù)的圖象如下：
（2）由已知可得，x＝0時(shí)，y＝2.5，
∴出水口距地面的高度為2.5米，
由圖象可得，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為1.5米，
故答案為：2.5，1.5；
（3）設(shè)y＝ax2+bx+c，
把（0，2.5）（1，3.3）（2，3.3）代入可得，
，
解得，
∴y與x的關(guān)系式為y＝﹣0.4x2+1.2x+2.5，
∵5﹣1.5＝3.5，
∴當(dāng)x＝3.5時(shí)，y＝﹣0.4×3.52+1.2×3.5+2.5＝1.8，
∴估計(jì)出水口至少需要降低1.8米，
故答案為：降低，1.8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)畫出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y2的值；
②若對(duì)于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
【分析】（1）將拋物線的解析式配成頂點(diǎn)式，即可寫成答案；
（2）①先確定出當(dāng)x＝t時(shí)，y1的最小值為t，進(jìn)而求出t，再判斷出當(dāng)x＝t+2時(shí)，y1取最大值，即可求出答案；
②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分兩種情況，利用t﹣2≤x1≤t+1，x2＝1﹣t，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t）；
（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝t，
∵1＞0，
∴拋物線開口向上，
∵t﹣2≤x1≤t+1，
∴當(dāng)x＝t時(shí)，y1的最小值為﹣t，
∵y1的最小值是﹣2，
∴t＝2，
∴x2＝1﹣t＝﹣1，拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣4x+2，
∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7；
②∵點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線y＝（x﹣t）2﹣t上，
∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，
∵對(duì)于x1，x2，都有y1＜y2，
∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，
∴或，
Ⅰ、當(dāng)時(shí)，
∵x2﹣x1＞0，
∴x2＞x1，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴1﹣t≥t+1，
∴t≤0，
∵x2+x﹣2t＞0，
∴x2+x1＞2t，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴﹣1＜x2+x1＜2，
∴2t≤﹣1，
∴t≤﹣，
即t≤﹣；
Ⅱ、當(dāng)時(shí)，
由x2﹣x1＜0得：x2＜x1，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴1﹣t≤t﹣2，
∴t≥，
由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t，
∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，
∴﹣1＜x2+x1＜2，
∴2t≥2，
∴t≥1，
即t；
即滿足條件的t的取值范圍為t≤﹣或t≥．
【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了配方法，函數(shù)極值的確定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
27．（7分）已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直線AC上取一點(diǎn)D，連接BD，線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BD′，連接CD′交直線AB于G．
（1）喜歡思考問題的小捷同學(xué)，想探索圖中線段CG和線段D′G的數(shù)量關(guān)系．于是他畫了圖1所示當(dāng)D在AC邊上時(shí)的圖形，并通過測(cè)量得到了線段CG與D′G的數(shù)量關(guān)系．你認(rèn)為小捷的猜想是CG ＝ D′G（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）當(dāng)D在AC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)請(qǐng)你根據(jù)題目要求補(bǔ)全圖2，
①在補(bǔ)全的圖2中找出與∠BDC相等的角 ∠ABD′
②在圖2中探索（1）中小捷的猜想是否成立，若成立證明你的結(jié)論，若不成立，請(qǐng)你說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)D在邊AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出CA，CD，CD′的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）．
【分析】（1）過D′作D'E⊥AB于點(diǎn)E，證明△EBD′≌△ADB（AAS），得D'E＝AB，再證明△AGC≌△D'GE（AAS），可得CG＝ D'G；
（2）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
②過D′作D'H⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明△ABD≌△HD'B（AAS），得AB＝HD'＝AC，再證明△D'HG≌△CAG （AAS），可得CG＝ D'G；
（3）過D′作D'M⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明△D'BM≌△BDA（AAS），得D'M＝AB＝AC，BM＝AD，得AM＝CD，過點(diǎn)C作CN⊥D'M，交D'M的延長(zhǎng)線于N，證明四邊形AMNC是矩形，再利用勾股定理即可解決問題．
【解答】解：（1）CG＝D'G，理由如下：
如圖1，過D′作D'E⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠D'EB＝∠BAD＝90°，
∴∠D'BE+∠BD'E＝90°，
∵∠DBD′＝90°，
∴∠ABD+∠D'BE＝90°，
∴∠BD'E＝∠ABD，
∵D'B＝DB，
∴△EBD′≌△ADB（AAS），
∴D'E＝AB，
∵AB＝AC，
∴D'E＝AC，
∵∠A＝∠D'EG，∠D'GE＝∠AGC，
∴△AGC≌△D'GE（AAS），
∴CG＝ D'G，
故答案為：＝；
（2）①補(bǔ)全的圖2如下：與∠BDC相等的角是∠ABD′，理由如下：
∵∠DBD'＝90°，
∴∠DBA+∠ABD'＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DBA+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ABD′，
故答案為：∠ABD′；
②成立，CG＝D′G，理由如下：
如圖2，過D′作D'H⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∴∠D′HG＝∠BAC＝90°，
∵D'B＝DB，∠BDC＝∠ABD′，
∴△ABD≌△HD'B（AAS），
∴AB＝HD'＝AC，
∵∠D′HG＝∠BAC＝90°，∠D′GH＝∠AGC，
∴△D'HG≌△CAG （AAS），
∴CG＝D'G；
（3）4CA2+CD2＝CD′2，理由如下：
如圖3，過D′作D'M⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∴∠D'MB＝∠BAD＝90°，
∵∠D'BD＝90°，
∴∠D'BM+∠ABD＝90°，
∵∠D'BM+∠BD'M＝90°，
∴∠BD′M＝∠ABD，
∵D′B＝DB，
∴△D'BM≌△BDA（AAS），
∴D'M＝AB＝AC，BM＝AD，
∴AM＝AB+BM＝AC+AD＝CD，
過點(diǎn)C作CN⊥D'M，交D'M的延長(zhǎng)線于N，
∴∠NMA＝∠MAC＝∠N＝90°，
∴四邊形AMNC是矩形，
∴CN＝AM＝CD，MN＝AC＝D′M，
∵D'N2+CN2＝CD′2，
∴（2CA）2+CD2＝CD′2，
∴4CA2+CD2＝CD′2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
28．（7分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W上任意一點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q，使得∠OQP是直角，則稱點(diǎn)Q是圖形W的“直角點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)A（6，8），在點(diǎn)Q1（3，9），Q2（﹣4，2），Q3（0，8）中， Q1，Q3 是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；
（2）已知點(diǎn)B（﹣4，3），C（3，3），若點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)n的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)D（t，0），E（t+1，0），以線段DE為邊在x軸上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）利用新定義的規(guī)定，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；
（2）畫出符合題意的圖形，以O(shè)B，OC為直徑作⊙O′和⊙O″，過點(diǎn)O′作O′M∥BC，點(diǎn)M在點(diǎn)O′的左側(cè)，過點(diǎn)O″作O″N∥BC，點(diǎn)N在點(diǎn)O″的右側(cè)，則點(diǎn)M，N為點(diǎn)Q的左右臨界點(diǎn)；利用點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，求得點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)即可得出結(jié)論；
（3）利用分類討論的思想方法在（2）的條件下，依據(jù)圖形，利用勾股定理求得臨界值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵＝32+92＝90，＝12+32＝10，OA2＝62+82＝100，
∴，
∴∠OQ1A＝90°，
∴Q1是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；
∵＝20，＝136，OA2＝62+82＝100，
∴，
∴∠OQ2A＞90°，
∴Q2不是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；
∵∠OQ3A＝90°，
∴Q3是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”．
綜上，Q1，Q3是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”．
故答案為：Q1，Q3；
（2）∵點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，P為線段BC上的點(diǎn)，
∴∠OQP＝90°，
∴點(diǎn)Q在以O(shè)P為直徑的圓上（O，P兩點(diǎn)除外），
如圖，以O(shè)B，OC為直徑作⊙O′和⊙O″，過點(diǎn)O′作O′M∥BC，點(diǎn)M在點(diǎn)O′的左側(cè)，過點(diǎn)O″作O″N∥BC，點(diǎn)N在點(diǎn)O″的右側(cè)，則點(diǎn)M，N為點(diǎn)Q的左右臨界點(diǎn)．
，
∵B（﹣4，3），
∴OB＝＝5，O′（﹣2，﹣1.5），
∴O′M＝OB＝2.5，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣2﹣2.5＝﹣4.5．
∵C（3，3），
∴OC＝＝3，O″（1.5，1.5），
∴O″N＝OC＝，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)n的取值范圍為﹣4.5≤n≤．
（3）∵D（t，0），E（t+1，0），
∴DE＝1，
∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為1．
在（2）的條件下作出正方形DEFG，分別以O(shè)B，OC為直徑作圓，如圖，
當(dāng)t+1＜0時(shí)，即t＜﹣1，若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，正方形DEFG位于正方形①的位置為最左側(cè)臨界值，此時(shí)t＝﹣4；
當(dāng)正方形DEFG位于正方形②的位置時(shí)，此時(shí)F（t+1，1），
∵正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，
∴∠OFC＝90°，
∴OF2+FC2＝OC2，
∴（t+1）2+12+（3﹣t﹣1）2+（3﹣1）2＝32+32，
解得：t＝（正數(shù)不合題意，舍去），
∴t＝．
∴﹣4≤t≤；
當(dāng)t＞0時(shí)，若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，正方形DEFG位于正方形④的位置為最右側(cè)臨界值，此時(shí)t+1＝3，
∴t＝2；
當(dāng)正方形DEFG位于正方形③的位置時(shí)，此時(shí)G（t，1），
∵正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，
∴∠OGB＝90°，
∴OG2+BG2＝OB2，
∴t2+12+（t+4）2+（3﹣1）2＝42+32，
解得：t＝﹣2±（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴t＝﹣2．
∴﹣2+≤t≤2．
綜上，若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，t的取值范圍為﹣4≤t≤或﹣2+≤t≤2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，正方形的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/12/1 18:30:40；用戶：18618342573；郵箱：18618342573；學(xué)號(hào)：53640851x
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