1．（4分）下列圖形是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）已知方程3x2﹣（k﹣1）x+3k+2＝0有一個(gè)根是﹣1，則k的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．2
3．（4分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）
4．（4分）下列事件：
①通常溫度降到0℃時(shí)，純凈的水結(jié)冰；
②明天太陽(yáng)從東方升起；
③隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)，其中是必然事件的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．2C．1D．0
5．（4分）已知兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16，其中較小多邊形的周長(zhǎng)為36cm，則較大多邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．48 cmB．54 cmC．56 cmD．64 cm
6．（4分）如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周長(zhǎng)等于3，則PA的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）小區(qū)一家快遞店，星期一收快遞件100件，星期三收144件，設(shè)該快遞店收件平均每天增長(zhǎng)率為x，可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝144B．100（1+x%）2＝144
C．100（1+2x）＝144D．100（1﹣2x）＝144
8．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4）則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（ ）
A．（3，2）B．（3，3）C．（3，4）D．（3，1）
9．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④a+b≤m（am+b）（其中m≠1）；⑤b﹣c＞0；正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．4個(gè)
10．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二.填空題（每題4分，共24分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卷上1）
11．（4分）寫(xiě)出方程（x﹣1）2＝9的解 ．
12．（4分）如果將拋物線y＝2x2﹣1向上平移一個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式為 ．
13．（4分）如圖，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)x°到△ADE的位置，使點(diǎn)E首次落在BC上．已知∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，則x＝ ．
14．（4分）已知圓錐的底面半徑是2cm，母線長(zhǎng)為3cm，則圓錐的側(cè)面積為 cm2．
15．（4分）“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形，小明同學(xué)向一個(gè)如圖所示的“趙爽弦圖”的飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上）．若飛鏢板中直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和2，則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域的概率是 ．
16．（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，P為BC上一點(diǎn)，△APQ為等邊三角形，PQ與AC相交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論中正確的是 ．
①AB∥CQ；②∠ACQ＝60°；③AP2＝AM?AC；④若BP＝PC，則PQ⊥AC．
三.解答題（共86分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卷上1）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0；
（2）3x2﹣2x+1＝0．
18．（8分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．
（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）在（1）條件下，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．
19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A、點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AB'，且A，B'，A'在同一條直線上，求出A′B′，AA′的長(zhǎng)．
20．（8分）隨信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動(dòng)支付已成為一種常見(jiàn)的支付方式．在一次購(gòu)物中，甲和乙隨機(jī)從“A微信”、“B支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付．
（1）請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求甲和乙所有可能出現(xiàn)的支付方式；
（2）求甲和乙恰好都選擇“微信”支付的概率．
21．（8分）如圖，已知⊙O．
（1）用直尺和圓規(guī)作出圓的內(nèi)接正六邊形ABCDEF（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）若⊙O半徑為6，求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留π）．
22．（10分）某學(xué)校九年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高m，與籃圈中心的水平距離為7m，當(dāng)球出手后水平距離為4m時(shí)到達(dá)最大高度4m，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3m．
（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問(wèn)此球能否準(zhǔn)確投中？
（2）此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m，那么他能否獲得成功？
23．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，AD與BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若，求AD的長(zhǎng)度．
24．（12分）如圖，在△ABC中，，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點(diǎn)G，射線DQ交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接FE并延長(zhǎng)交射線DP于點(diǎn)M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求DN的長(zhǎng)．
25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+x+c（a＞0）與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接CD，若∠ACD為銳角，且∠ACD＜30°，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)xD的取值范圍；
（3）如圖2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)圖象與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，試探究是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．
2024-2025學(xué)年福建省福州市馬尾區(qū)三牧中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（每小題4分，共40分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卷上1）
1．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度與自身重合．
2．【分析】把x＝﹣1代入方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，然后解方程即可．
【解答】解：將x＝﹣1代入原方程3x2﹣（k﹣1）x+3k+2＝0得：
3×（﹣1）2﹣（k﹣1）×（﹣1）+3k+2＝0，
解得：k＝﹣1，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟記把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．
3．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)所給頂點(diǎn)式即可判斷得解．
【解答】解：由題意，∵拋物線為，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)式（h，k）即可得到答案，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
4．【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念可區(qū)別各類(lèi)事件．
【解答】解：①通常溫度降到0℃時(shí)，純凈的水結(jié)冰；是必然事件；
②明天太陽(yáng)從東方升起，是必然事件；
③隨意翻到一本書(shū)的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)，是隨機(jī)事件；
其中是必然事件的個(gè)數(shù)有2個(gè)；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
5．【分析】設(shè)較大多邊形的周長(zhǎng)為c，再由相似多邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)較大多邊形的周長(zhǎng)為c，
∵兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16，其中較小多邊形的周長(zhǎng)為36cm，
∴＝＝，解得c＝48cm．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟知相似多邊形邊長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．
6．【分析】直接利用切線長(zhǎng)定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，進(jìn)而求出PA的長(zhǎng)．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周長(zhǎng)等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理，熟練應(yīng)用切線長(zhǎng)定理是解題關(guān)鍵．
7．【分析】設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，關(guān)系式為：第三天收快遞件＝第一天收快遞件×（1+平均增長(zhǎng)率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：由題意得：100（1+x）2＝144，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，確定等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
8．【分析】把△ABC和△A′B′C向上平移1個(gè)單位，此時(shí)A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3，由于平移后△ABC和△A′B′C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則A′點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），然后還原，把點(diǎn)（3，3）向下平移1個(gè)單位即可得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)．
【解答】解：把△ABC和△A′B′C向上平移1個(gè)單位，則平移后△ABC和△A′B′C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，此時(shí)A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3），所以A′點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），把點(diǎn)（3，3）向下平移1個(gè)單位得點(diǎn)（3，2），即點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，2）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．本題的關(guān)鍵是利用平移把圖形轉(zhuǎn)化為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形．
9．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可判斷①錯(cuò)誤；由點(diǎn)可判斷②正確；由對(duì)稱軸為直線可判斷③錯(cuò)誤；由x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值，可判斷④正確；由②③可求得b和c的值可判斷⑤錯(cuò)誤；據(jù)此即可求出答案．
【解答】解：①二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，a＞0，函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；
②將點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式得：a﹣2b+4c＝0，故②正確，符合題意；
③函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值，又m≠1，則a+b+c＜m（am+b）+c，即a+b＜m（am+b），故④錯(cuò)誤，不符合題意；
⑤由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，則，故，故⑤錯(cuò)誤，不符合題意；
綜上，②正確．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．【分析】連接AE，如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB＝AC＝4，再根據(jù)圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED＝90°，接著由∠AEB＝90°得到點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，于是當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算出OC＝2，從而得到CE的最小值為2﹣2．
【解答】解：連接AE，如圖1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，
∴AB＝AC＝2，
∵AD為直徑，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，
∵⊙O的半徑為，
∴當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，
在Rt△AOC中，∵OA＝，AC＝2，
∴OC＝＝，
∴CE＝OC﹣OE＝﹣，
即線段CE長(zhǎng)度的最小值為﹣，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合題，熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問(wèn)題．
二.填空題（每題4分，共24分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卷上1）
11．【分析】解一元二次方程，轉(zhuǎn)化為求9的平方根．
【解答】解：開(kāi)方得，x﹣1＝±3，
∴x＝4或﹣2，
即x1＝4，x2＝﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類(lèi)型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．
（2）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．
12．【分析】根據(jù)“上加下減”的原
【解答】解：拋物線y＝2x2﹣1向上平移一個(gè)單位，得y＝2x2﹣1+1，即y＝2x2，
故答案為：y＝2x2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握平移的原則是解題的關(guān)鍵．
13．【分析】先由三角形的外角定理得∠AEC＝65°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：旋轉(zhuǎn)角為∠CAE，AE＝AC，進(jìn)而得∠C＝∠AEC＝65°，由此根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CAE即可．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝65°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：旋轉(zhuǎn)角為∠CAE，AE＝AC，
∴∠C＝∠AEC＝65°，
∴∠CAE＝180°﹣（∠C+∠AEC）＝50°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，理解等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線重合（三線合一）．
14．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2．
【解答】解：底面半徑是2cm，則底面周長(zhǎng)＝4πcm，圓錐的側(cè)面積＝×4π×3＝6πcm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．
15．【分析】求出大小正方形的面積，根據(jù)面積比即可解決問(wèn)題；
【解答】解：由題意大正方形的面積為5，小正方形的面積為1，
∴投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域的概率是．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
16．【分析】根據(jù)△BAP≌△CAQ（SAS）得∠ABC＝∠ACQ＝60°，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可判定①②．根據(jù)△APM∽△ACP可判定③；根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可判定④．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∵P為BC上一點(diǎn)，△APQ為等邊三角形，PQ與AC相交于點(diǎn)M，
∴AP＝PQ＝AQ，∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°，
∴∠BAP＝60°﹣∠PAC＝∠CAQ，
∵，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABC＝∠ACQ＝60°，
故②正確；
∵∠ABC＝∠ACQ＝60°，
∴∠BAC＝∠ACQ＝60°，
∴AB∥CQ，
故①正確；
∵∠PAM＝∠CAP，∠APM＝∠ACP，
∴△APM∽△ACP，
∴，
∴AP2＝AM?AC，
故③正確；
∵BP＝PC，△ABC為等邊三角形，
∴∠BAP＝∠CAP＝30°，
∵△APQ為等邊三角形，
∴∠BAP＝∠CAP＝∠CAQ＝30°，
∴PQ⊥AC．
故④正確，
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三.解答題（共86分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卷上1）
17．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）將x2+4x﹣12＝0進(jìn)行因式分解可得：
（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
（2）∵3x2﹣2x+1＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝1，
根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×1＝﹣8＜0，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公式法，因式分解法求解方程的根，選擇適當(dāng)解方程的方法是解題的關(guān)鍵．
18．【分析】（1）利用配方法解答即可；
（2）利用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)的增減性，最值解答即可．
【解答】解：（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+4x+3，
∴y＝﹣（x﹣2）2+7，
∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）．
（2）由條件可知：拋物線開(kāi)口向下，
∴函數(shù)有最大值，且當(dāng)x＝2時(shí)，取得最大值，最大值為7，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，
∴﹣2≤y≤7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算，二次函數(shù)的增減性應(yīng)用，二次函數(shù)的最值應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的增減性應(yīng)用，二次函數(shù)的最值應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
19．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，AB＝2BC＝4，
∵△A′B′C由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A、點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C，
∴A′B′＝AB＝4，CB′＝CB＝2，A′C＝AC，∠B′A′C＝30°，∠A′B′C＝∠ABC＝60°，
∴∠B′A′C＝∠CAA′＝30°，
∵∠A′B′C＝∠A′AC+∠B′CA，
∴∠B′A′C＝∠CAA′＝∠B′CA＝30°，
∴AB′＝CB′＝2，
∴AA′＝AB′+B′A′＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．
20．【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖即可；
（2）由（1）可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲和乙恰好都選擇“微信”支付的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把“銀行卡”支付方式記為C，
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
甲和乙所有可能出現(xiàn)的支付方式共有9種；
（2）由（1）可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲和乙恰好都選擇“微信”支付的結(jié)果有1種，
∴甲和乙恰好都選擇“微信”支付的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適用兩步或兩步以上完成的事件．注意：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21．【分析】（1）連接AO，以A為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于B，F(xiàn)，再以B為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于C，以C為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于D，以D為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于E，連接AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A，六邊形ABCDEF即為所求；
（2）由作圖知的長(zhǎng)度是⊙O周長(zhǎng)的，故的長(zhǎng)度為×2π?6＝2π．
【解答】解：（1）連接AO，以A為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于B，F(xiàn)，再以B為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于C，以C為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于D，以D為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于E，連接AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A，如圖：
六邊形ABCDEF即為所求；
（2）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴＝＝＝＝＝，
∴的長(zhǎng)度是⊙O周長(zhǎng)的，
∴的長(zhǎng)度為×2π?6＝2π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑．
22．【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及球出手時(shí)的坐標(biāo)，可確定拋物線的解析式；令x＝7，求出y的值，與3m比較即可作出判斷．
（2）將x＝1代入y＝﹣（x﹣4）2+4得y＝3進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，球出手點(diǎn)、最高點(diǎn)和籃圈的坐標(biāo)分別為．
A（0，），B（4，4），C（7，3）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣h）2+k，
將點(diǎn)（0，）代入可得：16a+4＝，
解得：a＝﹣，
∴拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣4）2+4；
將C（7，3）點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：
∴﹣（7﹣4）2+4＝3
∴左邊＝右邊
即C點(diǎn)在拋物線上，
∴此球一定能投中．
（2）能攔截成功．
理由：將x＝1代入y＝﹣（x﹣4）2+4得y＝3
∵3＜3.1
∴他能攔截成功．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、配方法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
23．【分析】（1）連接OD交BC于點(diǎn)G，由AB是⊙O的直徑，DF⊥AC于點(diǎn)F，得∠ACB＝∠F＝90°，則DF∥BC，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得OD垂直平分BC，則∠ODF＝∠OGC＝90°，即可證明DF為⊙O的切線；
（2）連接CD，作EI⊥CD于點(diǎn)I，CH⊥CB于點(diǎn)H，由＝，＝，得∠CAB＝∠B＝45°，則∠ADC＝∠B＝45°，∠BCD＝∠CAD＝∠BAD＝22.5°，所以∠IED＝∠IDE＝∠HCD＝45°，則ID＝IE，CH＝DH，∠BCD＝∠BCH＝22.5°，所以IE＝HE，由DE＝IE＝2﹣2，求得IE＝HI＝2﹣，則DH＝，再證明△CDE∽△ADC，得＝，求得AD＝2+2．
【解答】（1）證明：如圖1，連接OD交BC于點(diǎn)G，
∵AB是⊙O的直徑，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠ACB＝∠F＝90°，
∴DF∥BC，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴OD垂直平分BC，
∴∠ODF＝∠OGC＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，且DF⊥OD，
∴DF為⊙O的切線．
（2）解：如圖2，連接CD，作EI⊥CD于點(diǎn)I，CH⊥CB于點(diǎn)H，則∠DIE＝∠DHC＝90°，
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴＝，＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠B＝45°，∠BCD＝∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝22.5°，
∴∠IED＝∠IDE＝∠HCD＝45°，
∴ID＝IE，CH＝DH，∠BCD＝∠BCH＝22.5°，
∴IE＝HE，
∵DE＝＝IE＝2﹣2，
∴IE＝HI＝2﹣，
∴DH＝DE+IE＝2﹣2+2﹣＝，
∴CD2＝CH2+DH2＝2DH2＝2×（）2＝4，
∵∠ECD＝∠CAD，∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴＝，
∴AD＝＝＝2+2，
∴AD的長(zhǎng)是2+2．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查垂徑定理、圓周角定理、切線的判定定理、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
24．【分析】（1）連接AF，可得AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；
（2）證明△DNF∽△DME，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；
（3）連接AF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，證明△AGD∽△AHC，可得，勾股定理求得GE，AG，根據(jù)，∠EMG＝∠ADG，可得，進(jìn)而求得MG，根據(jù)MD＝MG+GD求得MD，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求解．
【解答】（1）證明：如圖1，連接AF，
∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，
∴，AF⊥BC，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：
連接AF，如圖2，
∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴∠DEF＝∠C，
∵，
∴∠DFC＝∠C，
∴∠DFC＝∠DEF，
∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，
∴∠DFN＝∠DEM，
∵將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，
∴∠EDF＝∠PDQ，
∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，
∴∠FDN＝∠EDM，
∴△DNF∽△DME，
∴，
∴；
（3）解：如圖，連接AF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
Rt△AFC中，，
∴，
∵，
∴，
∵DP⊥AB，
∴△AGD∽△AHC，
∴，
∴，
Rt△GED中，，
Rt△AGD中，，
∴，
∵EF∥AD，
∴∠EMG＝∠ADG，
∴，
∴，
∴，
∵△DNF∽△DME，
∴，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
25．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；
（2）以點(diǎn)C為頂點(diǎn)在AC的下方作∠ACD＝30°，交拋物線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC于點(diǎn)A，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AO于點(diǎn)F，利用特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，解方程組解答即可；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），得到，利用根與系數(shù)關(guān)系定理，公式變形計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵拋物線解析式為y＝ax2+x+c（a＞0）與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，將點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：
，
解得，
故拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2；
（2）如圖，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)在AC的下方作∠ACD＝30°，交拋物線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC于點(diǎn)A，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AO于點(diǎn)F，
∵y＝x2+x﹣2，
令x＝0，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OC＝2，
在直角砸開(kāi)ACO中，由勾股定理得：
，∠OAC＝45°，
∵∠EAC＝90°，∠ACD＝30°，，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線EC的解析式為y＝mx+n，將點(diǎn)E，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：
，
解得，
∴直線EC的解析式為，
∴，
解得y＝﹣2（舍去），，
∵∠ACD＜30°，且點(diǎn)D是第三象限內(nèi)拋物線y＝x2+x﹣2上的點(diǎn)，
∴；
（3）是定值．理由如下：
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
故一次函數(shù)的解析式為，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
根據(jù)題意，得，
∴，
∴，
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∴
＝
＝
＝
＝
＝1+k2，
∵
＝
＝，
同理可證，，
∴
＝
＝
＝，
∴，是定值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值，根與系數(shù)關(guān)系定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值，根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．

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