1.過點(2,?1)，且一個方向向量為(?1,2)的直線方程為( )
A. x+2y=0B. 2x+y?3=0C. x?2y?4=0D. 2x?y?5=0
2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2+a10=24，且a3=6，則S8=( )
A. 60B. 72C. 120D. 144
3.已知直線過點(1,2)，且在縱坐標上的截距為橫坐標上的截距的兩倍，則直線l的方程為( )
A. 2x?y=0B. 2x+y?4=0
C. 2x?y=0或x+2y?2=0D. 2x?y=0或2x+y?4=0
4.已知兩點F1(?2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的軌跡方程為( )
A. x24+y23=1B. x28+y24=1C. x216+y24=1D. x216+y212=1
5.已知曲線y=1+ 4?x2與直線y=k(x?2)+4有兩個相異的交點，那么實數k的取值范圍是( )
A. (512,43]B. (512,34]C. [14,712)D. [16,712)
6.在等比數列{an}中，a2=2，a4a6?16a5=0，若bn=?2,n為偶數an,n為奇數，且{bn}的前n項和為Sn，則滿足S2n>360的最小正整數n的值為( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.德國數學家米勒曾提出最大視角問題：已知點A，B是∠MON的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，∠ACB最大？結論是：當且僅當△ABC的外接圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大.人們稱這一命題為米勒定理.在平面直角坐標系內，已知M(1,0)，N(3,0)，點P是直線l：x?y+1=0上一動點，當∠MPN最大時，點P的坐標為( )
A. (12,32)B. ( 2, 2+1)C. (1,2)D. ( 3, 3+1)
8.設m∈R，圓M：x2+y2?2x?6y=0.若動直線l1：x+my?2?m=0與圓M交于點A，C，動直線l2：mx?y?2m+1=0與圓M交于點B，D，則|AC|+|BD|的最大值是( )
A. 30 3B. 2 30C. 20 3D. 3 30
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知直線l1：x+(a?1)y+1=0，直線l2：ax+2y+2=0，則下列結論正確的是( )
A. l1在x軸上的截距為?1B. l2過點(0,?1)且不垂直x軸
C. 若l1//l2，則a=?1或a=2D. 若l1⊥l2，則a=23
10.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an= Sn+ Sn?1(n∈N?,n≥2)．bn=1(2n?1)(an+2)(n∈N?)，數列{bn}的前n項和為Tn.則下列說法正確的是( )
A. Sn=n2B. 1a12+1a22+?+1an2m2022的m的最大值為674
11.若點P的坐標是(a,b)，圓M：x2+y2+2x?4y+3=0關于直線2ax+by+6=0對稱，Q(m,n)是圓M上的動點，則下列說法正確的是( )
A. 點P在直線x?y?3=0上
B. 2m+n的取值范圍是[? 5, 5]
C. 以PM為直徑的圓過定點R(2,?1)
D. 若直線PA與圓M切于點A，則|PA|>4
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{an+1}是公比為2的等比數列.若a1=0，則S6= ______．
13.一動圓M與圓C1：(x+1)2+y2=25內切，且與圓C2：(x?1)2+y2=1外切，則動圓圓心M的軌跡方程是______．
14.已知二次函數y=x2+(2m?3)x?4?11m(m∈R)與x軸交于A，B兩點，點C(1,3)，圓G過A，B，C三點，存在一條定直線l被圓G截得的弦長為定值，則該定值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知正項等差數列{an}滿足：a1=1且a1，a3，2a7?1成等比數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若數列{an}為遞增數列，數列{bn}滿足：bn=2an,n∈N?，求數列{an+bn}的前n項和Tn．
16.(本小題15分)
已知△ABC的頂點A(1,1)，邊AC上的高BH所在直線的方程為x?y+8=0，邊AB上的中線CM所在直線的方程為5x?3y?10=0．
(1)求直線AC的方程及點C的坐標；
(2)求△ABC的面積．
17.(本小題15分)
圓C與直線l：4x?3y+6=0相切于點A(3,6)，且經過點B(5,2)．
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l1：mx+y?4m?4=0，
①證明：直線l1與圓C相交；
②求直線l1被圓C截得的弦長最短時的方程．
18.(本小題17分)
若數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2+2n，數列{bn}滿足b1=2,bn=3bn?1+2(n≥2,n∈N?)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求證：數列{bn+1}是等比數列；
(3)設數列{cn}滿足cn=an?2bn+1，其前n項和為Tn，若對任意n∈N?，Tn+λ≥1恒成立，求實數λ的取值范圍．
19.(本小題17分)
定義：M是圓C上一動點，N是圓C外一點，記|MN|的最大值為m，|MN|的最小值為n，若m=2n，則稱N為圓C的“黃金點”；若G同時是圓E和圓F的“黃金點”，則稱G為圓“E?F”的“鉆石點”.已知圓A：(x+1)2+(y+1)2=13，P為圓A的“黃金點”
(1)求點P所在曲線的方程．
(2)已知圓B：(x?2)2+(y?2)2=1，P，Q均為圓“A?B”的“鉆石點”．
(ⅰ)求直線PQ的方程．
(ⅱ)若圓H是以線段PQ為直徑的圓，直線l：y=kx+13與圓H交于I，J兩點，對于任意的實數k，在y軸上是否存在一點W，使得y軸平分∠IWJ？若存在，求出點W的坐標；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.B
2.B
3.D
4.D
5.B
6.B
7.C
8.B
9.ABD
10.AB
11.AC
12.57
13.x29+y28=1
14. 13
15.解：(1)正項等差數列{an}滿足a1=1，且a1，a3，2a7?1成等比數列，
設公差為d，可得a32=a1(2a7?1)，即(1+2d)2=2(1+6d)?1，
解得d=0或2，則an=1，或an=1+2(n?1)=2n?1；
(2)若數列{an}為遞增數列，可得an=2n?1，bn=22n?1，
則數列{an+bn}的前n項和Tn=(1+3+...+2n?1)+(2+8+...+22n?1)=12n(1+2n?1)+2(1?4n)1?4=n2+22n+1?23．
16.解：(1)因為邊AC上的高BH所在直線的方程為x?y+8=0，
所以邊AC所在直線的斜率為?1，
又頂點A(1,1)，
所以邊AC所在的直線方程為y?1=?(x?1)，
聯立5x?3y?10=0y?1=?(x?1)，解得x=2，y=0，即C(2,0)，
綜上所述，直線AC的方程為x+y?2=0，點C的坐標為(2,0)．
(2)設B點坐標為(a,b)，則M(1+a2,1+b2)，
代入中線CM所在直線的方程5x?3y?10=0，有5×1+a2?3×1+b2?10=0，即5a?3b?18=0，
又B點在直線BH上，所以a?b+8=0，
聯立5a?3b?18=0a?b+8=0，解得a=21，b=29，即B(21,29)，
所以B到直線AC的距離為BH=|21+29?2| 1+1=24 2，
而A(1,1,)，C(2,0)，
所以|AC|= (2?1)2+12= 2，
所以S△ABC=12×24 2× 2=24．
17.(1)解：設與直線l：4x?3y+6=0垂直的直線方程為3x+4y+c=0，
代入A(3,6)可得：9+24+c=0，解得c=?33，
所以圓C的圓心C所在的直線方程為：3x+4y?33=0上，
設C(4a+7,3?3a)，因為|CA|=|CB|，
即 (4a+4)2+(?3?3a)2= (4a+2)2+(1?3a)2，解得a=?12，
則C(5,92)，且圓C的半徑|CB|=52，
所以圓C的方程為(x?5)2+(y?92)2=254；
(2)證明：①對于直線l1：mx+y?4m?4=0，即m(x?4)+y?4=0，
令x?4=0y?4=0，解得x=4y=4，即直線l1過定點M(4,4)，
且|CM|= (5?4)2+(92?4)2= 52

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