1.已知空間兩點(diǎn)A0,1,2,B?2,3,1，則A?B兩點(diǎn)間的距離是( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
2.若直線l經(jīng)過點(diǎn)A?1,0,B2,? 3，則直線l的斜率是( )
A. 3B. ? 3C. 33D. ? 33
3.甲、乙兩人比賽下棋，下成和棋的概率是14，甲獲勝的概率的是13，則乙不輸?shù)母怕适? )
A. 512B. 712C. 23D. 34
4.已知直線x+y=0與圓C:x2+(y?2)2=8相交于A,B兩點(diǎn)，則AB=( )
A. 2 6B. 4C. 6D. 2
5.已知空間三點(diǎn)P2,0,0,O0,0,0,A?1,1,2，則點(diǎn)P到直線OA的距離是( )
A. 66B. 306C. 63D. 303
6.甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是( )
A. 118B. 19C. 16D. 29
7.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱AB的中點(diǎn)，BC1與B1C交于點(diǎn)E，若AB=AA1，則B1D與A1E所成角的余弦值是( )
A. 525B. 520C. 510D. 55
8.若過直線3x+4y+12=0上一點(diǎn)P作圓C:x2+y2?2x=0的兩條切線，切點(diǎn)為A,B，則PC?AB的最小值是( )
A. 2 3B. 4 3C. 2 2D. 4 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.設(shè)直線l1:x?ay+2a=0,l2:ax+y+a=0的交點(diǎn)為Mx0,y0，則( )
A. l1恒過定點(diǎn)(0,2)B. l1⊥l2
C. x02+y02的最大值為52D. 點(diǎn)3,?2到直線l1的距離的最大值為5
10.某學(xué)校數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各有3名男生、3名女生，假設(shè)物理興趣小組的3名女生為甲、乙、丙，現(xiàn)從數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各隨機(jī)選出1名同學(xué)參加比賽.設(shè)事件M1為“從數(shù)學(xué)興趣小組中選出的是男生”；事件M2為“從物理興趣小組選出的是女生乙”；事件M3為“從兩興趣小組選出的都是男生”；事件M4為“從兩興趣小組中選出的是1名男生和1名女生”，則( )
A. PM1=16B. PM3=14
C. M2與M4相互獨(dú)立D. M2與M4互斥
11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P滿足DP=xDA+yDC，其中x∈0,1,y∈0,1，則( )
A. 存在唯一點(diǎn)P，使得C1P⊥平面B1D1C
B. 存在唯一點(diǎn)P，使得A1P//平面B1D1C
C. 當(dāng)x+y=1時(shí)，點(diǎn)B1到平面PA1D1的距離的最小值為 2
D. 當(dāng)x2+y2=14時(shí)，三棱錐P?ACB1的體積的最小值為4?2 23
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若實(shí)數(shù)x,y滿足方程x+2y?5=0，則 x2+y2的最小值為 ．
13.某商場調(diào)查500名顧客的滿意度情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：
若160≤x≤198，則滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為 ．
14.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1,AA1=2AD=4,O為對角線AC1的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與長方體表面交于E,F兩點(diǎn)，M為長方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則ME?MF的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=4，設(shè)AC∩BD=E．
(1)證明：B1E//平面A1C1D；
(2)求平面A1B1E與平面C1B1E夾角的余弦值．
16.(本小題12分)
在某電視民間歌手挑戰(zhàn)賽活動(dòng)中，有4位民間歌手參加比賽，由現(xiàn)場觀眾投票選出最受歡迎的歌手，各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選2名歌手.其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，另外在其他歌手中隨機(jī)選1名；觀眾乙、丙對4位歌手沒有偏愛，因此，乙、丙在4名歌手中隨機(jī)選2名歌手．
(1)求觀眾甲選2號(hào)歌手且觀眾乙未選2號(hào)歌手的概率；
(2)設(shè)3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的選票數(shù)之和為X，求X=2的概率．
17.(本小題12分)
已知直線l經(jīng)過直線l1:x?2y+3=0,l2:x+y?3=0的交點(diǎn)P，且A(3,2)?B?1,?2兩點(diǎn)到直線l的距離相等．
(1)求直線l的一般式方程；
(2)若點(diǎn)A?B在直線l的同側(cè)，且Q為直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AQ+BQ的最小值．
18.(本小題12分)
如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC將△ADC折起，點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，使點(diǎn)P在平面ABC的射影H落在邊AB上.
(1)證明：PA⊥BC；
(2)求點(diǎn)B到平面PAC的距離；
(3)若CM=2MP，求直線AC與平面AMB所成角的正弦值．
19.(本小題12分)
在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)P2,0，并且圓心在x軸上．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P1P2為圓C的動(dòng)弦，且P1P2不經(jīng)過點(diǎn)P，記k1?k2分別為弦P1P?P2P的斜率．
(i)若k1?k2=?1，求?PP1P2面積的最大值；
(ii)若k1?k2=3，請判斷動(dòng)弦P1P2是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．
參考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.D
6.C
7.B
8.D
9.ABD
10.BC
11.ACD
12. 5
13.713
14.?5,5
15.(1)
連接B1D1，設(shè)A1C1∩B1D1=F，連接FD，如圖：
則B1F//ED，且B1F=ED，所以四邊形B1FDE是平行四邊形，
所以B1E//FD,B1E?平面A1C1D,FD?平面A1C1D
故B1E//平面A1C1D．
(2)
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA?DC?DD1方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)锳A1=AD=2AB=4，所以D0,0,0,B14,2,4,A14,0,4，
E2,1,0,C10,2,4，
∴A1B1=0,2,0,A1E=?2,1,?4．
設(shè)平面A1B1E的法向量n=(x,y,z)，
則A1B1?n=0A1E?n=0，即2y=0?2x+y?4z=0
令z=1，解得y=0,x=?2,∴n=?2,0,1
B1C1=?4,0,0，B1E=?2,?1,?4
設(shè)平面C1B1E的一個(gè)法向量m=x1,y1,z1，
則B1C1?m=0B1E?m=0，即?4x1=0?2x1?y1?4z1=0令z1=1，解得y1=?4,x1=0，
∴m=0,?4,1．
設(shè)平面A1B1E與平面C1B1E的夾角為α,∴csα=m?nm?n=1 5 17= 8585，
故平面A1B1E與平面C1B1E夾角的余弦值為 8585．

16.(1)
設(shè)事件D表示“觀眾甲選2號(hào)歌手且觀眾乙未選2號(hào)歌手”，
觀眾甲選2號(hào)歌手的概率為13，觀眾乙未選2號(hào)歌手的概率為12，
從而PD=13×12=16，
故觀眾甲選2號(hào)歌手且觀眾乙未選3號(hào)歌手的概率為16，
(2)
設(shè)事件A，B，C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號(hào)歌手”，
由題意得：PA=13，PB=PC=12，
所以PX=2=PABC+PABC+PABC
=1?13×12×12+13×1?12×12+13×12×1?12=13
故X=2的概率為13．

17.(1)
由x?2y+3=0x+y?3=0，解得x=1y=2，所以交點(diǎn)P1,2
①當(dāng)所求直線與直線AB平行時(shí)，直線AB的斜率為kAB=2+23+1=1，
則所求直線的方程為y?2=1?x?1，即x?y+1=0；
②當(dāng)所求直線過AB的中點(diǎn)時(shí)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，
則所求直線垂直于x軸，故所求直線方程為x=1，即x?1=0；
綜上所述，所求直線方程為x?y+1=0或x?1=0．
(2)
因?yàn)辄c(diǎn)A?B在直線l的同側(cè)，所以直線l的方程為x?y+1=0，
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Cx0,y0，
則3+x02?2+y02+1=0y0?2x0?3=?1,
解得x0=1y0=4，即點(diǎn)C1,4，
因?yàn)锳Q+BQ≥CB= (?1?1)2+(?2?4)2=2 10，
當(dāng)Q?B?C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)取到，
故AQ+BQ的 最小值為2 10．

18.(1)
由點(diǎn)P在平面ABC的射影H落在邊AB上可得：PH⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，所以PH⊥BC，
又BC⊥AB，且AB?平面PAB,PH?平面PAB,AB∩PH=H，
所以BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，故BC⊥PA．
(2)
作BE⊥PC，垂足為E，
由已知得：PA⊥PC且BC?平面PBC,PC?平面PBC,BC∩PC=C，
從而PA⊥平面PBC，且PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，
又BE?平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC,BE⊥PC，
所以BE⊥平面PAC，即BE即為點(diǎn)B到平面PAC的距離，
在直角三角形PBC中，BC=3,PC=4，所以PB= 7,BE=3 74，
故點(diǎn)B到平面PAC的距離為3 74．
(3)
在直角三角形PAB中可得，PH=3 74,BH=74，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以BC,BA所在直線為x,y軸，以過點(diǎn)B且垂直于平面ABC的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
B0,0,0,A0,4,0,P0,74,3 74,C3,0,0因?yàn)镃M=2MP，
所以CM=23CP=23?3,74,3 74=?2,76, 72，從而M1,76, 72，
易知BA=0,4,0,BM=1,76, 72，
設(shè)平面AMB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，
所以BA?n=4y=0BM?n=x+76y+ 72z=0，解得：n=2 73,0,?43，
又直線AC的方向向量為a=?3,4,0，
因此可得sinθ=csn,a=n?ana=2 75× 289+169=3 7755
故直線AC與平面AMB所成角的正弦值為3 7755．

19.(1)
設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，
由已知可得：a2+b2=r2;(2?a)2+b2=r2;b=0.
解得：a=1,b=0,r=1，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+y2=1
(2)
(2)(i)因?yàn)閗1?k2=?1，所以P1P⊥P2P，
從而直線P1P2經(jīng)過圓心，?PP1P2是直角三角形，且P1P2=2，
設(shè)P1P=a,P2P=b，則a2+b2=4，
又4=a2+b2≥2ab，所以ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 2時(shí)取等號(hào)，
所以S?PP1P2max=12ab=1．
(ii)由已知得：直線P1P2的斜率必存在，
設(shè)直線P1P2的 方程為y=kx+m,P1x1,y1,P2x2,y2，
由y=kx+m;(x?1)2+y2=1.，消去y得：k2+1x2+2km?1x+m2=0，
Δ>0,x1+x2=?2km?1k2+1,x1x2=m2k2+1，(※)
又k1?k2=y1x1?2?y2x2?2=kx1+mkx2+mx1?2x2?2=k2x1x2+kmx1+x2+m2x1x2?2x1+x2+4=3，
即3?k2x1x2?km+6x1+x2+12?m2=0，
代入(※)得：m2+5km+6k2=0，
即m+2km+3k=0，
解得：m=?2k，或m=?3k，
當(dāng)m=?2k時(shí)，此時(shí)直線P1P2的方程為y=kx?2，過定點(diǎn)P2,0(舍去)，．
當(dāng)m=?3k時(shí)，此時(shí)直線P1P2的方程為y=kx?3，過定點(diǎn)3,0，
故當(dāng)k1?k2=3，動(dòng)弦P1P2過定點(diǎn)3,0．

不滿意
一般
滿意
女性
25
64
x
男性
15
36
y

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