河南省鄭州市鄭州外國(guó)語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（120分鐘 150分）
一?單選題（每題5分，共40分）
1. 已知直線過點(diǎn)，，且直線的傾斜角為，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩點(diǎn)間的斜率公式，以及斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.
【詳解】設(shè)直線的斜率為，所以，則4.
故選：C
2. 無論為何值，直線過定點(diǎn)（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)直線分是否有兩部分，再求交點(diǎn)得出定點(diǎn).
【詳解】由得：，
由得
∴直線恒過定點(diǎn).
故選：A.
3. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為平面的中心，為的中點(diǎn).以為原點(diǎn)，以為空間的一個(gè)單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則直線的一個(gè)方向向量（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】確定的坐標(biāo)，求得坐標(biāo)，即可判斷.
【詳解】由題意得，則，所以為直線的一個(gè)方向向量.
故選：B
4. 如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用計(jì)算出與所成的角的余弦值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
則與所成的角的余弦值為
.
故選：D
5. 已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線方程為，然后代點(diǎn)計(jì)算即可求得，從而求解.
【詳解】設(shè)雙曲線方程為，
則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A.
6. 已知橢圓：的離心率為，則（）
A. B. 或C. 8或2D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況，由離心率得到方程，求出或.
【詳解】橢圓：的離心率為，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得.
故選：C.
7. 已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（）
A. 1或B. 或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】求出圓心和半徑，利用垂徑定理和點(diǎn)到直線距離公式表達(dá)出的面積，并利用基本不等式求出面積的最大值為，此時(shí)圓心到直線的距離為，從而得到方程，求出的值.
【詳解】圓心為，半徑為1，
圓心到直線的距離，
故，
則的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
即，解得.
故選：A
8. 已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若在上存在點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），使得，則的離心率的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)與軸交點(diǎn)為，連接，由雙曲線的定義和對(duì)稱性，結(jié)合已知條件得，有且，可求離心率的取值范圍.
【詳解】設(shè)與軸交點(diǎn)為，連接，
由對(duì)稱性可知，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
在中，，
所以，
所以，
由，且三角形內(nèi)角和為，
所以，
所以，即，
則，
綜上：.
故選：.
二?多選題（每題6分，共18分，部分答對(duì)得部分分，錯(cuò)選不得分）
9. 圓和圓的交點(diǎn)為，則有（）
A. 公共弦所在直線方程為
B. 線段中垂線方程為
C. 公共弦的長(zhǎng)為
D. 為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為
【答案】BD
【解析】
【分析】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A；求出垂直平分線的方程判斷B；利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)判斷C；求出圓到直線的距離的最大值判斷D.
【詳解】把兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的圓心，半徑，
的圓心，半徑，
則有，即圓與圓相交，
對(duì)于A，將方程與相減，
得公共弦AB所在直線的方程為，即，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，直線的斜率，則線段AB中垂線的斜率為，
而線段中垂線過點(diǎn)，于是線段AB中垂線方程為，即，B正確；
對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離為，
因此，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線距離為，
因此點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為，D正確.
故選：BD
10. 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足（，），下列說法正確的是（）
A. 若，則與垂直
B. 三棱錐的體積恒為
C. 若，，平面與平面夾角的余弦值為
D. 若，，則點(diǎn)到平面的距離為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A利用空間向量數(shù)量積為零，證明垂直；B根據(jù)點(diǎn)到平面的距離恒為1，，再利用體積公式求解即可；C建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可；D利用空間向量求解點(diǎn)到平面公式即可．
【詳解】A．若，則點(diǎn)在上且不與重合，建立如下空間直角坐標(biāo)系：
，
，
，，，，故A正確．
B．由（，），可知點(diǎn)在平面上，
則點(diǎn)到平面的距離恒為1，故三棱錐的體積恒為，故B錯(cuò)誤．
C．若，，則為的中點(diǎn)，由上圖，
則，，，．
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，，，
，則令，則，
易知是平面的一個(gè)法向量，，故C正確．
D．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
即點(diǎn)到平面的距離為，故D正確．綜上，
故選：ACD．
11. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)B，Q的之間），則（）
A. 直線與拋物線C相切B.
C. 若P是線段的中點(diǎn)，則D. 存在直線l，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】先求拋物線的方程，然后用拋物線方程與直線的方程聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)，可判斷A；用直線l的方程與拋物線的方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)利用焦半徑公式可判斷C；由得，進(jìn)而求的值，從而用來可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，
即拋物線方程為，焦點(diǎn)F0,1.
對(duì)于A：直線的方程為，即，
因?yàn)?，解得，所以直線與拋物線C相切點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B：設(shè)過點(diǎn)B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，，
由，得，則，即或，
于是，
又，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由焦半徑公式可得，
因?yàn)镻是線段的中點(diǎn)，
所以，整理得，即，故C正確；
對(duì)于D：若，則，得
所以，即，解得，
此時(shí)，則直線l與拋物線相切，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在判斷D選項(xiàng)時(shí)，求出誤以為存在滿足題意的直線，事實(shí)上這時(shí)候直線與拋物線相切，故不存在滿足題意的直線.
三?填空題（每題5分，共15分）
12. 若拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于2，則______.
【答案】
【解析】
【分析】先求拋物線的準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的定義得到關(guān)于的方程，求解即可.
【詳解】由得，所以準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于2，所以點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于2，
即，解得，
故答案為：.
13. 若圓上有且只有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離等于2，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，依題意可得，即可得解.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，
又圓上有且只有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離等于2，
所以，即，所以的取值范圍是.
故答案為：
14. 設(shè)，是半徑為3的球體表面上兩定點(diǎn)，且，球體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______.
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)確定軌跡為圓，轉(zhuǎn)化到空間得到軌跡為兩球的交線，計(jì)算球心距，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，再計(jì)算周長(zhǎng)得到答案.
【詳解】以所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為軸，的中垂線為軸：
則，，，設(shè)，由，可得：，
整理得到：，故點(diǎn)在平面的軌跡是以為圓心，半徑的圓，
轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，，不變，依然滿足，
故空間中點(diǎn)的軌跡為以為球心，半徑為2的球，同時(shí)點(diǎn)在球商，故點(diǎn)在兩球的交線，為圓，
球心距為，
所以為直角三角形，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，周長(zhǎng)為
故答案為：
四?解答題（寫清楚必要的文字說明?計(jì)算過程，共77分）
15. 已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．
（1）求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由，可得直線的斜率，從而可得，聯(lián)立方程組即可求得交點(diǎn)；
（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式即可求解.
【小問1詳解】
（1）因?yàn)?，又直線的斜率,
所以直線的斜率,則.
由
所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
【小問2詳解】
由題意知的斜率k存在，設(shè)
令得，令得，
因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，所以，解得，
，解得或，
即或.
16. 已知圓.
（1）若線段端點(diǎn)坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)是，求的面積最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）坐標(biāo)為，面積最小值為2
【解析】
【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)法可得答案；
（2）設(shè)，由圓的幾何性質(zhì)可得面積關(guān)于d的表達(dá)式，后注意到當(dāng)當(dāng)時(shí)，最小，即可得相應(yīng)點(diǎn)P坐標(biāo)及面積最小值.
【小問1詳解】
設(shè)Ax0,y0，中點(diǎn)，則，得，
代入圓中，化簡(jiǎn)得圓.
【小問2詳解】
設(shè)，由圓的幾何性質(zhì)可知，
所以當(dāng)時(shí)，最小，的面積取最小值.
又因?yàn)椋?br>所以直線方程為.則，
即點(diǎn)坐標(biāo)為.此時(shí)的面積最小值為.
17. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求直線與平面所成角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析；（3）
【解析】
【分析】（1）連接BD交AC與O，連接，構(gòu)造三角形中位線即可求得；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可以證得線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，再結(jié)合正三角形三線合一可以求得；（3）建立空間直角坐標(biāo)系即可求得.
【小問1詳解】
連接BD交AC與O，連接，如圖所示：
因?yàn)镸，O分別是邊PD，BD的中點(diǎn)，則MO為的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
【小問2詳解】
因?yàn)閭?cè)面底面，平面底面，
，所以平面，所以，
因?yàn)閭?cè)面是正三角形，M是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；
【小問3詳解】
過點(diǎn)P作PF垂直于AD，因?yàn)閭?cè)面底面，平面底面，所以平面，又底面是正方形，在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)E，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為2，
則，，，
由第二問可知，即為平面的法向量，，，
，直線與平面所成角的大小為.
18. 已知橢圓和拋物線.從兩條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)混合記錄如下：.
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn).記直線的斜率分別為，判斷是否為定值，并說明理由.
【答案】（1），；
（2）為定值，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）算出四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的拋物線方程，注意到對(duì)應(yīng)的p一樣，即可得拋物線與橢圓方程；
（2）聯(lián)立拋物線與直線方程，由韋達(dá)定理可判斷是否為定值.
【小問1詳解】
將四個(gè)點(diǎn)代入拋物線方程解得的值分別為，
注意到對(duì)應(yīng)的p一樣，在拋物線上，
故拋物線方程為.故為橢圓上的點(diǎn)，
則，
橢圓方程；
【小問2詳解】
是定值，理由如下：
設(shè)，則
由韋達(dá)定理：，又因?yàn)椋?br>所以，同理
所以為定值.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓外一動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，且.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）對(duì)于給定非空點(diǎn)集，若中的每個(gè)點(diǎn)在中都存在一個(gè)與它之間距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.已知直線與曲線相交于兩點(diǎn)，若分別是線段和曲線上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，為曲線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求.
參考公式，四元均值不等式，當(dāng)且儀當(dāng)時(shí)取到等號(hào).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，易得滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)切線斜率存在且不為0時(shí)，可設(shè)出切線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，最后結(jié)合判別式為0及直線垂直斜率關(guān)系可得答案；
（2）由題可得的面積關(guān)于d的表達(dá)式，結(jié)合參考公式可得d，后由定義可得答案.
【小問1詳解】
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨蛘邽?時(shí)，
由題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng)切線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)過作橢圓的切線的斜率為，
則切線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，
并化簡(jiǎn)得
由題意得，，
設(shè)的斜率分別為，則是上式的兩個(gè)根，且，
所以，則，又，則，
即，
|注意到，均滿足方程，
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；
【小問2詳解】
過圓心作直線的垂線，垂足為，
設(shè)，則，
由題意，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，
對(duì)于線段上的任何一個(gè)點(diǎn)，曲線上與距離最近的點(diǎn)為射線與圓的交點(diǎn)，
距離的最小值為，又因?yàn)?，所?br>由題意得，.

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