解析：福建省泉州實驗中學2023-2024學年九年級下學期期中數(shù)學試題-試卷下載-教習網(wǎng)

滿分150分時間：120分鐘
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 四個實數(shù)﹣，1，2，中，比0小的數(shù)是（）
A. ﹣B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用零大于一切負數(shù)來比較即可．
詳解】解：根據(jù)負數(shù)都小于零可得，﹣＜0，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，解答此題關鍵要明確：正實數(shù)＞零＞負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而?。?br>2. 下列運算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了冪的乘方、合并同類項、同底數(shù)冪除法、完全平方公式，解題的關鍵是熟練掌握運算法則、準確進行判斷．
【詳解】解：A. 不是同類項，不能合并，計算錯誤；
B. ，原計算錯誤；
C. ，計算正確；
D. ，原計算錯誤；
故選：C．
3. 我國年水資源總量約為27500億立方米，27500用科學記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法，進行表示即可．
【詳解】解：；
故選B．
【點睛】本題考查科學記數(shù)法．熟練掌握科學記數(shù)法的表示方法：，為整數(shù)，是解題的關鍵．
4. 篆刻是中華傳統(tǒng)藝術之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三視圖的知識．找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有看到的或看不到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線．
【詳解】解：雕刻印章的俯視圖為
．
故選：D．
5. 如圖，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點；分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點，畫射線；連接，，，過點作于點于點，則以下結論錯誤的是（）
A. 是等邊三角形B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等邊三角形的判定定理可判定選項A；根據(jù)角平分線的性質可判定選項B；利用HL可證明；利用等邊三角形的性質結合三角形面積可判定選項D．
【詳解】解：A．∵，，
∴是等邊三角形，故選項A成立，不符合題意；
B．由作圖知：射線是的平分線，且，，
∴，故選項B成立，不符合題意；
C．由作圖知：，又，
∴(HL) ，故選項C成立，不符合題意；
D．設與交于點G，由題意可得，但無法證明，
∴無法確定，故選項D不成立，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖、全等三角形的判定、菱形的判定，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
6. 如圖，小明同學在折幸運星時，將一張長方形的紙條折成一個正五邊形，則圖中的度數(shù)為（）

A. 72°B. 80°C. 90°D. 108°
【答案】A
【解析】
【分析】先求出正五邊形的每個內角度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的性質即可求解.
【詳解】正五邊形的每個內角度數(shù)為，
∴
故選A.
【點睛】此題主要考查正五邊形的內角，解題的關鍵是熟知正多邊形的內角求解公式.
7. 小亮每天堅持體育鍛煉，他記錄了自己一周內每天鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關于小亮該周每天鍛煉時間的描述，正確的是（）
A. 平均數(shù)為70分鐘B. 眾數(shù)為67分鐘C. 中位數(shù)為67分鐘D. 方差為0
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，熟練掌握各量的求解方法是解題的關鍵．分別求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可進行判斷．
【詳解】解：A．平均數(shù)為（分鐘），故A錯誤；
B．在7個數(shù)據(jù)中，67出現(xiàn)的次數(shù)最多，為2次，則眾數(shù)為67分鐘，故B正確；
C．7個數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：，中位數(shù)是70分鐘，故C錯誤；
D．方差為：
，故D錯誤．
故選：B．
8. 《九章算術》勾股章有一問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩索有多長？若設繩索長度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）
A. 82﹢x2 = (x﹣3)2B. 82﹢(x+3)2= x2
C. 82﹢(x﹣3)2= x2D. x2﹢(x﹣3)2= 82
【答案】C
【解析】
【分析】設繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．
【詳解】解：設繩索長為x尺，可列方程為（x-3）2+82=x2，
故選C．
【點睛】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.
9. 如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．
【詳解】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故選A．
【點睛】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關系，建立三角函數(shù)模型是解題的關鍵．
10. 如圖，已知正方形的面積為，它的兩個頂點，是反比例函數(shù)的圖象上兩點．若點的坐標是，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)性質的應用，正方形的性質；由幾何意義得，進而得，證明出，再由正方形的面積為，求出即可．
【詳解】解：如圖，延長、交軸于點、，延長、交軸于點、，

由的幾何意義得，，
∴，
∵，
∴，
∵點D的坐標是，
∴，，
∴，
∵正方形的面積為4，
∴，而，
∴．
故選：B．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．
11. 化簡：=___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值的定義可以得到解答．
【詳解】解：原式= -5 ．
故答案為：-5．
【點睛】本題考查絕對值的意義，準確理解絕對值的定義是解題關鍵．
12. 一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)概率公式列分式方程，解方程即可．
【詳解】解：從中任意摸出一個球是紅球的概率為，
，
去分母，得，
解得，
經(jīng)檢驗是所列分式方程的根，
，
故答案為：9．
【點睛】本題考查已知概率求數(shù)量、解分式方程，解題的關鍵是掌握概率公式．
13. 計算：_________．
【答案】2
【解析】
【分析】分式分母相同，直接加減，最后約分．
【詳解】解：
【點睛】本題考查了分式的加減，掌握同分母分式的加減法法則是解決本題的關鍵．
14. 如圖，在中，平分若則____．
【答案】1
【解析】
【分析】作于點F，由角平分線的性質推出，再利用三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：如圖，作于點F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案為：1．
【點睛】本題考查角平分線的性質，通過作輔助線求出三角形ACD中AC邊上的高是解題的關鍵．
15. 如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A，B 不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．
【答案】32
【解析】
【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質和直角三角形的性質求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．
【詳解】解：連接OA，
∵PA與⊙O相切于點A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°．
故答案為：32．
【點睛】此題考查了切線的性質以及圓周角定理，解題的關鍵是正確利用切線的定理，作出輔助線，求出∠O的度數(shù)．
16. 已知上有和兩點．若點A，B都在直線的上方，且，則m的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出不等式組求解即可．
【詳解】解：把點代入得：，
把點代入得：，
∵點A，B都在直線的上方，且，
∴，整理得：，
令，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：或0，
畫出的函數(shù)圖象如圖所示，
由圖可知：當時，，
當時，，
綜上：m的取值范圍．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，解題的關鍵是正確理解題意，根據(jù)題意列出不等式組，能根據(jù)函數(shù)圖象寫出不等式解集．
三、解答題：本題共9小題，共86分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計算：
【答案】-4
【解析】
【分析】實數(shù)的綜合運算，難度不大，需要注意底數(shù)非零的0指數(shù)冪結果為1
【詳解】解：原式＝2﹣3﹣2﹣1＝﹣4．
【點睛】掌握實數(shù)運算的法則，是做好該類題的核心．這種題難度都不大，做一步檢查一部，牢記法則，就不會出錯．
18. 解不等式組：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解一元一次不等式組．解題的關鍵是分別求出每個不等式的解集，再根據(jù)一元一次不等式組的解集確定的原則：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到即可確定一元一次不等式組的解集．
詳解】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為．
19. 先化簡，再求值：，請從0，1，2，3四個數(shù)中選取一個你喜歡的數(shù)代入求值．
【答案】，當時，原式（當時，原式）
【解析】
【分析】先將原式化簡，然后從0，1，2，3四個數(shù)中選取使得原分式有意義的x的值代入化簡后的分式即可解答本題．
【詳解】解：原式＝
由題意可知：，
∴
當時，原式（當時，原式）
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是明確分式的化簡求值的方法，注意代入的的值必須使得原分式有意義，即的值不等于1，3．
20. 學校開展大課間活動，某班需要購買A，B兩種跳繩．已知購買2根A型跳繩和1根B型跳繩共需元；購買3根A型跳繩和2根B型跳繩共需元．
（1）購買1根A型跳繩和1根B型跳繩各需多少元?
（2）若班級計劃購買A，B兩型跳繩共根，B型跳繩個數(shù)不少于A型跳繩個數(shù)的2倍，設購買A型跳繩m根，求購買跳繩所需最少費用是多少元?
【答案】（1）購買1根A型跳繩需10元，購買1根B型跳繩需15元
（2）購買跳繩所需最少費用是600元
【解析】
【分析】本題主要考查二元一次方程的應用，不等式的應用及一次函數(shù)的應用，理解題意，列出相應方程及關系式是解題關鍵．
（1）設購買1根A型跳繩需x元，購買1根B型跳繩需y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）設所需的費用為W元，列出函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質求解即可．
【小問1詳解】
解：設購買1根A型跳繩需x元，購買1根B型跳繩需y元，
根據(jù)題意，得，
解這個方程組，得，
答：購買1根A型跳繩需10元，購買1根B型跳繩需元．
【小問2詳解】
解：設所需的費用為W元，則
，
根據(jù)題意，得，
，
m的最大值是，
，W隨m的增大而減小，
當時，W的最小值是，
答：購買跳繩所需最少費用是600元．
21. 為喜迎中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的召開，柳州某中學舉行黨史知識競賽.團委隨機抽取了部分學生的成績作為樣本，把成績按達標，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個等級分別進行統(tǒng)計，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調查的樣本容量是______，圓心角______度；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）若在這次競賽中有A，B，C，D四人成績均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學校參加市級比賽.請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A，C兩人同時參賽的概率.
【答案】（1）50 ，144；
（2）補圖見解析；（3）列表或畫樹狀圖見解析，
【解析】
【分析】（1）由成績良好的學生人數(shù)除以所占百分比得出本次調查的樣本容量，即可解決問題；
（2）求出成績優(yōu)秀的人數(shù)，即可解決問題；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中恰好抽到，兩人同時參賽的結果有2種，再由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：本次調查的樣本容量是：，
則圓心角，
故答案為：50，144；
【小問2詳解】
解：成績優(yōu)秀的人數(shù)為：（人，
補全條形統(tǒng)計圖如下：
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中恰好抽到，兩人同時參賽的結果有2種，
恰好抽到，兩人同時參賽的概率為．
【點睛】此題考查了樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22. 如圖，在矩形中，，垂足分別是點．
（1）求證：；
（2）若，求的正切值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）證明即可求證；
（）由得，，進而由，可得，，即可得，設，利用勾股定理可得，即得，再根據(jù)正切的定義即可求解；
本題考查了矩形性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角函數(shù)，掌握矩形的性質是解題的關鍵．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：連接，與相交于點，
∵四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 綜合與實踐
在一次綜合實踐活動課上，王老師給每位同學各發(fā)了一張正方形紙片，請同學們思考如何僅通過折紙的方法來確定正方形一邊上的一個三等分點．
【操作探究】
“乘風”小組的同學經(jīng)過一番思考和討論交流后，進行了如下操作：
第1步：如圖1所示，先將正方形紙片對折，使點A與點B重合，然后展開鋪平，折痕為；
第2步：將邊沿翻折到的位置；
第3步：延長交于點H，則點H為邊的三等分點．
“破浪”小組是這樣操作的：
第1步：如圖2所示，先將正方形紙片對折，使點A與點B重合，然后展開鋪平，折痕為；
第2步：再將正方形紙片對折，使點B與點D重合，再展開鋪平，折痕為，沿翻折得折痕交于點G；
第3步：過點G折疊正方形紙片，使折痕．
【過程思考】
（1）“乘風”小組的證明過程中，三個空的所填的內容分別是①：______，②：______，③：______；
（2）結合“破浪”小組操作過程，判斷點M是否為邊的三等分點，并證明你的結論；
【拓展提升】
如圖3，在菱形中，，，E是上的一個三等分點，記點D關于的對稱點為，射線與菱形的邊交于點F，請直接寫出的長．
【答案】【過程思考】（1）①，②，③2；（2）點M是邊的三等分點，證明見解析；【拓展提升】或
【解析】
【過程思考】（1）先根據(jù)兩個三角形全等，可得到第一個空的條件，然后根據(jù)直角三角形的勾股定理可得到第二個空，最后求得結果即可；
（2）根據(jù)兩個三角形相似以及平行線分線段成比例可得到邊長之間的關系，即可證得結果；
【拓展提升】根據(jù)E是上的一個三等分點，可分成兩種情況求解，先根據(jù)對稱性得到邊長，然后根據(jù)三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得結果．
【詳解】過程思考：（1）解：結合①下面兩個三角形全等，可以得到該空為，
此時可根據(jù)（HL）推斷出兩個三角形全等；
根據(jù)在直角三角形中三邊滿足勾股定理，即，則；
將化簡可得：，
移項合并同類項得：，解得，即，
故答案為：①，②，③2；
（2）解：點M是AB邊三等分點，證明如下：
證明：由第1步的操作可知E，F(xiàn)分別是，的中點，
∵是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴點M是否為邊的三等分點；
拓展提升：解：連接交于點O，如圖所示：
，
∴，，
∵四邊形為菱形，
∴，
∴，
分兩種情況：
①當時，如圖所示，連接，與交點N，
，
由對稱性可知，，，
∵，
∴，
∴，
設，則，
即，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當時，連接，
由對稱性可知，，，
，，
過點A作于點N，如圖所示：
，
∵，，
∴，
∴，
設，則，
在中，
，
∴（AAS），
∴，
∴，，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
即，
綜上的長為或．
【點睛】本題考查了正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．
24. 已知直線與拋物線有一個公共點，且．
（1）求拋物線頂點的坐標（用含的代數(shù)式表示）；
（2）說明直線與拋物線有兩個交點；
（3）若直線與拋物線的另一個交點記為，求面積的最小值．
【答案】（1）；
（2）證明見解析；（3）．
【解析】
【分析】（）由可得，即得到，即可求解；
（）聯(lián)立函數(shù)式得，可得，即可求證；
（）畫出函數(shù)圖象，設拋物線對稱軸交直線于點，求出二次函數(shù)對稱軸，得到，即得，解方程得，的面積為，得，進而可得，由關于的方程有實數(shù)根，得，根據(jù)，即可得，進而求解；
本題考查了求二次函數(shù)圖象的頂點坐標，一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點問題，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的幾何應用，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)交點坐標的求法及一元二次方程根的判別式的應用是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴，
∴拋物線頂點的坐標為；
【小問2詳解】
證明：∵直線經(jīng)過點，
∴，
解得，
∴直線解析式為，
由得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直線與拋物線有兩個交點；
【小問3詳解】
解：如圖，設拋物線對稱軸交直線于點，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴，
由，
解得，，
∴
設的面積為，
則，
∴，
∵關于的方程有實數(shù)根，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，由方程可得，
，
即，
解方程得，符合題意，
∴面積的最小值為．
25. 在中，為邊上一點，為線段上一點，且．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，求的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質等等：
（1）根據(jù)三角形外角的性質得到，再由，即可證明結論；
（2）在上截取，連接，證明，得到，，設，則，證明，得到，即可得到；則，可得，則；如圖所示，將繞點A旋轉得到，過點C作交延長線于H，則，，證明，則解直角三角形得到，進而求出，則．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，在上截取，連接，
∵，
∴，
∴，，
設，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖所示，過點E作于G，
由（2）可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖所示，將繞點A旋轉得到，過點C作交延長線于H，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
證明過程如下：連接，
∵正方形沿折疊，
∴， ① ，
又∵，
∴，
∴．
由題意可知E是的中點，設（個單位），，
則，
在中，可列方程： ② ，（方程不要求化簡）
解得： ③ ，即H是邊的三等分點．

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