一、選擇題（每題3分，共30分）
1. 下列各式一定是二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的定義，逐個分析即可.
【詳解】A.,被開方數(shù)是負數(shù)，不是二次根式；
B.，根指數(shù)是3，不是二次根式；
C.，是二次根式；
D.，被開方數(shù)有可能是負數(shù)，不一定是二次根式.
故選C
【點睛】理解二次根式的定義.
2. 下列計算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的加減運算法則分別計算，再作判斷．
【詳解】解：A、，不是同類二次根式，不能合并，故錯誤，不合題意；
B、，不是同類二次根式，不能合并，故錯誤，不合題意；
C、，不是同類二次根式，不能合并，故錯誤，不合題意；
D、，故正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．合并同類二次根式的實質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變．
3. 下列各式中，是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了最簡二次根式的判斷，掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．即被開方數(shù)中不含開方開的盡的數(shù)或因式是最簡二次根式．先化簡各二次根式，再根據(jù)最簡二次根式的定義即可得結(jié)果．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；
B、，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；
C、是最簡二次根式，故本選項正確；
D、，不是最簡二次根式，故本選項錯誤；
故選：C．
4. 能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．
【詳解】解：A、，，則四邊形不一定為平行四邊形，可能為等腰梯形，故本選項不符合題意；
B、，，則四邊形平行四邊形；故本選項正確，符合題意；
C、，，則四邊形不一定為平行四邊形，可能為等腰梯形，故本選項不符合題意；
D、，，不能判定四邊形為平行四邊形；故本選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
5. 已知，那么的值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用絕對值以及算術(shù)平方根的性質(zhì)得出，的值，進而得出答案．
【詳解】解：，
，，
，，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長，利用勾股定理求出AB的長，然后過C作CD垂直于AB，由直角三角形的面積可以由兩直角邊乘積的一半來求，也可以由斜邊AB乘以斜邊上的高CD除以2來求，兩者相等，將AC，AB及BC的長代入求出CD的長，即為C到AB的距離．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根據(jù)勾股定理得：AB＝ ，
過C作CD⊥AB，交AB于點D，
∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，
∴ CD＝ ，
則點C到AB的距離是．
故選：A
【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是正確的運用勾股定理，確定斜邊AB的長．
7. 如圖，字母A所代表的正方形的面積為（ ）
A. 4B. 16C. 36D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方，由正方形的面積和正方形的面積分別表示出的平方及的平方，又三角形為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出的平方，即為所求正方形的面積．
【詳解】解：正方形的面積等于64，
即，
正方形面積為100，
，
又為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：
，
，
則正方形的面積為36．
故選C．
【點睛】此題考查了勾股定理以及正方形的面積公式．勾股定理最大的貢獻就是溝通“數(shù)”與“形”的關(guān)系，它的驗證和利用都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，即把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來解決．能否由實際的問題，聯(lián)想到用勾股定理的知識來求解是本題的關(guān)鍵．
8. 如圖所示：數(shù)軸上點所表示的數(shù)為，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答此題時要注意，確定點的符號后，點所表示的數(shù)是距離原點的距離．先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出點的坐標(biāo)．
【詳解】解：圖中直角三角形的兩直角邊為，，
斜邊長為，
那么和之間的距離為，
那么的值是：，
故選：D．
9. △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為（ ）
A. 42B. 32C. 42或32D. 37或33
【答案】C
【解析】
【分析】存在2種情況，△ABC是銳角三角形和鈍角三角形時，高AD分別在△ABC的內(nèi)部和外部
【詳解】情況一：如下圖，△ABC是銳角三角形
∵AD高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周長為：15+12+9+5=42
情況二：如下圖，△ABC是鈍角三角形
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周長為：15+13+4=32
故選：C
【點睛】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是多解，注意當(dāng)幾何題型題干未提供圖形時，往往存在多解情況.
10. 如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是（ ）
A. 12B. 24C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【詳解】解：如圖，連接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°．
∵把矩形ABCD沿EF翻折點B恰好落在AD邊的B′處，
∴∠BEF=∠DEF=60°．
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．
在Rt△ABE中，AB=AE?tan∠AEB=2tan60°=2．
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．
∴矩形ABCD的面積=AB?AD=2×8=16．
故選D．
二、填空題（每題4分，共32分）
11. 化簡：=____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．
【詳解】∵π>3，
∴π?3>0；
∴=π?3.
【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).
12. 已知是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是______.
【答案】6
【解析】
【分析】因為是整數(shù)，且，則6n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為6．
【詳解】∵，且是整數(shù)，
∴2是整數(shù)，即6n是完全平方數(shù)；
∴n的最小正整數(shù)值為6．
故答案為6．
【點睛】主要考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是根據(jù)乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)進行解答．
13. 在Rt△ABC中，已知兩邊長為5、12，則第三邊的長為______．
【答案】13或
【解析】
【分析】分兩種情況考慮：若12為直角邊，可得出5也為直角邊，第三邊為斜邊，利用勾股定理求出斜邊，即為第三邊；若12為斜邊，可得5和第三邊都為直角邊，利用勾股定理即可求出第三邊．
【詳解】解：①若12為直角邊，可得5為直角邊，第三邊為斜邊，
根據(jù)勾股定理得第三邊為=13；
②若12為斜邊，5和第三邊都為直角邊，
根據(jù)勾股定理得第三邊為=，
則第三邊長為13或.
故答案為13或．
【點睛】此題主要考查了勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在中，與相交于點O，E是邊的中點，，則的長是______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)以及三角形中位線定理進而得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵E是邊的中點，
∴
故答案為2．
【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，得出是解題關(guān)鍵．
15. 如圖由于臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面處折斷，樹頂落在離樹干底部處，則這棵在折斷前（不包括樹根）長度是_____．

【答案】##16米
【解析】
【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】解：如圖，

由題意得，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：（米）．
所以大樹的高度是（米）．
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
16. 如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為____．
【答案】6
【解析】
【分析】先根據(jù)矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
設(shè)AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，則AB=6．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．
17. 若最簡二次根式和是同類二次根式，則a的值是_____．
【答案】6
【解析】
【詳解】試題解析：∵最簡二次根式和是同類二次根式，
∴3a-4=a+8，
解得：a=6
故答案為6
18. 如圖，在四邊形中，，且，點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，點P以的速度由A向D運動，點Q以的速度由向C運動B，則_____秒后四邊形成為一個平行四邊形．
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)運動時間為t秒，則AP=t，QC=2t，而四邊形ABQP是平行四邊形，所以AP=BQ，則得方程t=6-2t求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)t秒后，四邊形APQB為平行四邊形，
則AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
當(dāng)AP=BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
當(dāng)t=2時，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
綜上所述，2秒后四邊形ABQP是平行四邊形．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
三、解答題
19. 計算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）先化簡二次根式，再合并計算；
（2）先算乘法，化簡，再計算除法．
小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
．
【點睛】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
20. 化簡：．
【答案】
【解析】
【分析】先算負指數(shù)冪，零指數(shù)冪，計算絕對值，再合并計算．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及了負指數(shù)冪，零指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則．
21. 已知：，，求代數(shù)式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】由與的值求出與，所求式子提取公因式變形后，將各自的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴．
【點睛】此題考查了二次根式的化簡求值，涉及的知識有：提公因式，二次根式的混合運算，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
22. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，7
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡求值，掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．先化簡，再把的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：原式
，
當(dāng)時，原式．
23. 若的三邊a、b、c滿足c，則這個三角形最長邊上的高是多少？
【答案】2.4
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用以及勾股定理的逆運用，先把原式整理得，得證是直角三角形，通過等面積法列式計算即可作答．
【詳解】解：
∴
即
∴
∴
∵
∴三角形為直角三角形．
∵高
∴則這個三角形最長邊上的高是．
24. 如圖，一架方梯長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米．
（1）這個梯子的頂端離地面有多高？
（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？
【答案】（1）這個梯子的頂端離地面有24米
（2）梯子底端在水平方向滑動8米
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用．
（1）在中，直接利用勾股定理進行求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求出的長，用的長減去的長，求解即可；
【小問1詳解】
解：在中，，
則
即
答：這個梯子的頂端離地面有24米．
【小問2詳解】
∵則
在中，
，
∴，
則
答：梯子底端在水平方向滑動8米．
25. 如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，延長BC到點E，使CE＝BC，連接DE，CF．求證：四邊形CEDF是平行四邊形．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD∥BC，且AD＝BC；然后根據(jù)中點的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等（DF＝CE，且DF∥CE），即四邊形CEDF是平行四邊形．
【詳解】解：如圖，在?ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．
∵F是AD的中點，
∴DF＝．
又∵CE＝BC，
∴DF＝CE，且DF∥CE，
∴四邊形CEDF是平行四邊形．
26. 如圖，在□ABCD中，∠BAD的平分線AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度數(shù)．
【答案】∠C=50°，∠B=130°．
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=2∠DAE=50°，再根據(jù)平行四邊形的鄰角互補和平行四邊形的對角相等，就可求得∠C和∠B的度數(shù)．
【詳解】∵∠BAD的平分線AE交DC于E，若∠DAE＝25°，
∴∠BAD＝50°．
∴在平行四邊形ABCD中，∠C＝∠BAD＝50°，∠B＝180°－∠C＝130°．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
27. 如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形病正確的運用中位線定理．連接，根據(jù)三角形的中位線定理得到，，同理推出，，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形
【詳解】證明：連接，
是的中點，是的中點，
是的中位線，
， ，
同理可得，， ，
，，
四邊形是平行四邊形．
28. 如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．
（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．
【答案】（1）BD=CD．理由見解析；（2）AB=AC時，四邊形AFBD是矩形．理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；
（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．
【詳解】（1）BD=CD．
理由如下：依題意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD（三線合一），
∴∠ADB=90°，
∴?AFBD是矩形．

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甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)第七中學(xué)2022-2023學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
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