湖南省炎德英才名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，則?UM=( )
A. {4}B. {2,4}C. {2,5}D. {2}
2.1?i2?i=( )
A. 15+35iB. 15?35iC. 35+15iD. 35?15i
3.已知向量a，b滿足a=(1,2)，b=(x,1)，且(a?b)⊥a，則x=( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
4.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為 3，則正四棱錐的體積為( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 6 3
5.已知函數(shù)f(x)=3x?3?x，則f(x2?2)+f(x)0，00)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2A=2F1A，△ABF2的面積為8 3，且∠AF2B為鈍角，|AF2|?|AF1|=4，則雙曲線C的方程為( )
A. x24?y22=1B. x24?y28=1C. x24?y224=1D. x216?y29=1
8.已知函數(shù)f(x)=ex|x|，若方程[f(x)?e][f(x)+e+a]=0恰有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (?∞,?e)B. (?∞,?2e)C. (?∞,?2e)D. (?∞,?1e)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，已知S100.則( )
A. a5>0B. d>0
C. Sn>0時(shí)，n的最小值為11D. Sn最小時(shí)，n=6
10.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=AA1，BC⊥AB，E，F(xiàn)，G，H分別為BB1，CC1，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A. AB1⊥EG
B. EG，F(xiàn)H，AA1三線不共點(diǎn)
C. AB與平面EFHG所成角為45°
D. 設(shè)BC=2，則多面體EGB1FHC1的體積為1
11.已知拋物線C1:y2=px(p>0)和C2:y2=2px的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，動(dòng)直線l與C1交于M(x1,y1)，N(x2,y2)兩點(diǎn)，與C2交于P(x3,y3)，Q(x4,y4)兩點(diǎn)，其中y1，y3>0，y2，y40)，證明：函數(shù)F(x)有唯一的極值點(diǎn)．
17.(本小題15分)
如圖，在直角梯形ABCD中，AB/?/CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將△CBE沿BE對(duì)折至△PBE，使得PA=4，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)．
(1)求證：PA⊥EF;
(2)求二面角A?BF?E的正弦值．
18.(本小題17分)
電動(dòng)車的安全問題越來越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對(duì)兩種電池的電動(dòng)車的偏好，在社會(huì)上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占35，得到以下的2×2列聯(lián)表：
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān);
(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的市民中隨機(jī)抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率;
(3)用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再從這5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：
19.(本小題17分)
“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：
步驟1:在紙上畫一個(gè)圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B;
步驟2:把紙片折疊，使得點(diǎn)B折疊后與圓A上某一點(diǎn)重合;
步驟3:把紙片展開，并得到一條折痕;
步驟4:不斷重復(fù)步驟2和3，得到越來越多的折痕．
你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)折痕足夠密時(shí)，這些折痕會(huì)呈現(xiàn)出一個(gè)雙曲線的輪廓．
若取一張足夠大的紙，畫一個(gè)半徑為2的圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B，AB=4，按照上述方法折紙，點(diǎn)B折疊后與圓A上的點(diǎn)W重合，折痕與直線WA交于點(diǎn)E，E的軌跡為曲線T．
(1)以AB所在直線為x軸建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線T的方程;
(2)設(shè)曲線T的左、右頂點(diǎn)分別為E，H，點(diǎn)P在曲線T上，過點(diǎn)P作曲線T的切線l與圓x2+y2=1交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，記EM，HN的斜率分別為k1，k2，證明：k1?k2為定值;
(3)F是T的右焦點(diǎn)，若直線n過點(diǎn)F，與曲線T交于C，D兩點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)Q(t,0)，使得直線n繞點(diǎn)F無論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，都有QC?QD=0成立?若存在，求出T的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.B
9.BC
10.AC
11.BCD
12.2x?y?2=0
13.?2025
14.60；3333330
15.解：(1)由sinA?sinBb+c=sinCa+b及正弦定理得a?bb+c=ca+b，
整理得a2=b2+c2+bc，
又由余弦定理的推論得，csA=b2+c2?a22bc=?12，00時(shí)，?′(x)>0，所以?(x)單調(diào)遞增，
所以?(x)>?(0)=0，
所以ex?x?1>0，即ex>x+1，
所以F′(1+a)=ea?11+a?a>a+1?11+a?a=1?11+a>0．
又F′(1)=?a0，
則x1+x2=?2km1+k2，x1x2=m2?11+k2，
因?yàn)閗1=y1x1+1，k2=y2x2?1，
所以k1?k2=y1x1+1?y2x2?1=y1y2x1x2?(x1?x2)?1，
又因?yàn)閥1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
代入可得y1y2=m2?k21+k2，
由于m2=k2?3，則y1y2=?31+k2，
由于點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，故x1?x20，且k3≠± 3，
則x3+x4=4k32k32?3，x3x4=4k32+3k32?3，
QC=(x3?t,y3)，QD=(x4?t,y4)，
則QC?QD=(x3?t)(x4?t)+y3y4
=x3x4?t(x3+x4)+t2+k32x3x4?2k32(x3+x4)+4k32
=(t2?4t?5)k32?3t2+3k32?3，
若QC?QD=0恒成立，則(t2?4t?5)k32?3t2+3=0恒成立，
即t2?4t?5=0,?3t2+3=0,解得t=?1，
當(dāng)直線n的斜率不存在時(shí)，直線n的方程為x=2，
此時(shí)4?y23=1，解得y=±3，
不妨取C(2,3)，D(2,?3)，
則QC=(2?t,3)，QD=(2?t,?3)，
又QC?QD=(2?t)2?9=0，解得t=?1或t=5，
綜上所述，t=?1，
所以存在點(diǎn)Q(?1,0)，使QC?QD=0恒成立．偏好石墨烯電池電動(dòng)車
偏好鉛酸電池電動(dòng)車
合計(jì)
男性市民
200
100
女性市民
合計(jì)
500
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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