陜西省西安市鐵一中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份陜西省西安市鐵一中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題（解析版），共23頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）
1. 如圖，小明夜晚從路燈下的甲處走到乙處的過程中，他在地面上的影子（ ）
A. 逐浙變長B. 逐漸變短C. 先變長后變短D. 先變短后變長
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了中心投影的性質(zhì)，熟知平行投影與中心投影的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)中心投影的定義及特點即可判斷．
【詳解】小明從甲處向一盞路燈下靠近時，光與地面的夾角越來越大，人在地面上留下的影子越來越短，當(dāng)小明到達路燈的下方時，他在地面上的影子變成一個圓點；
當(dāng)他再次遠離路燈走向乙處時，光線與地面的夾角越來越小，小明在地面上留下的影子越來越長，
他在走過一盞路燈的過程中，其影子的長度變化是先變短后變長．
故選：D．
2. 已知，，，則（ ）

A. 12B. 18C. 24D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，從而得到，最后由進行計算即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例，熟練掌握此定理是解題的關(guān)鍵．
3. 圖1是一個玻璃燒杯，圖2是由玻璃燒杯抽象出的幾何體，以箭頭所指的方向為主視圖方向，則它的俯視圖為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)物體的三視圖選出正確選項．
【詳解】解：A選項正確；
B選項錯誤，中間的小圓要是實線；
C選項錯誤，這是主視圖；
D選項錯誤，這不是三視圖之一．
故選：A．
【點睛】本題考查物體的三視圖，需要注意在畫三視圖時虛線和實線的區(qū)別，實線代表從視角看可以看見，虛線表示看不見．
4. 如圖，小正方形的邊長均為1，下列選項中與相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出，，，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，
A．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與相似．
B．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似．
C．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似．
D．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似．
故選：A．
5. 如圖，與位似，點O為位似中心，若，的周長為6，則的周長為（ ）．
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，位似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是“相似三角形周長之比等相似比”． 由與位似可得出與相似，根據(jù)相似比就等于位似比，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：與位似，
，
，
，
的周長為6，
的周長為3．
故選：C．
6. 已知點和點，均在反比例函數(shù)的圖象上，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)中比較函數(shù)值大小，涉及反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)、求反比例函數(shù)值等知識，將，，代入反比例函數(shù)，比較函數(shù)值即可得到答案，熟練掌握反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：點，，在反比例函數(shù)的圖像上，
，，
，
，
故選：B．
7. 據(jù)統(tǒng)計，某專賣店一特產(chǎn)第三季度的總銷售量為9.93萬件，其中7月份的銷量為3萬件，設(shè)8，9月份銷量的月平均增長率為x，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)8，9月份銷量的月平均增長率為，根據(jù)第三季度的總銷售量為9.93萬件，列出一元二次方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)8，9月份銷量的月平均增長率為，
則可列方程為，
故選：B．
8. 如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊長，邊上的高為，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點、分別在、上，則這個正方形零件的邊長是（ ）сm．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
證明，設(shè)正方形零件的邊長為，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得方程，解方程即可．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，
，
又，
，
設(shè)正方形零件的邊長為，則，
，
解得：，
即這個正方形零件的邊長為，
故選：B．
9. 隨著科技的進步，我國的生物醫(yī)藥行業(yè)發(fā)展迅速，最近某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（當(dāng)時，y與x成反比例）．根據(jù)圖中信息可知，血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續(xù)時間為（ ）

A. 4小時B. 小時C. 小時D. 小時
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，令，確定兩個函數(shù)自變量的值，其差就是持續(xù)的時間．
【詳解】設(shè)正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式為，
把分別代入解析式，得，
解得，
故函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，
解得，
故持續(xù)時間為（小時），
故選C．
【點睛】本題考查了正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式的確定，應(yīng)用，熟練掌握解析式的確定和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，矩形中，，，點E在邊上，點F在邊上，點G、H在對角線上． 若四邊形是菱形，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了菱形、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練運用定理是解題的關(guān)鍵．連接交于，由四邊形是菱形，得到，，由于四邊形是矩形，得到，，通過，得到，設(shè)，，解直角三角形，得，，則，，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接交于，

∵四邊形是菱形，
∴，，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，則，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，設(shè)，，
，可得，
∴，，則，，
∴．
故選：D．
二、填空題（共6小題，每題3分，共18分）
11. 已知，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)可得，代入已知條件即可求解，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 一個不透明的箱子里放有若干個白球，為了估計白球的數(shù)量，將6個紅球放進去，這些球除顏色外都相同，攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻后再摸出一個球記下顏色，多次重復(fù)后發(fā)現(xiàn)紅球出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.3附近，那么可以估計暗箱里白球的個數(shù)約為_______．
【答案】14
【解析】
【分析】本題考查了分式的運用，根據(jù)頻率估算概率，概率的計算，根據(jù)題意，設(shè)白球有個，可列式為，由此即可求解．
【詳解】解：設(shè)白球有個，
∴，
解得，，
檢驗，當(dāng)時，原分式方程的分母不為0，
∴白球有14個，
故答案為：14 ．
13. 小蘭身高，她站立在陽光下的影子長為；她把手臂豎直舉起，此時影子長為，那么小蘭的手臂超出頭頂___cm．
【答案】40
【解析】
【分析】根據(jù)在同一時物體的高度和影長成正比，設(shè)出手臂豎直舉起時總高度x，即可列方程解出x的值，再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨龋?br>【詳解】解：設(shè)手臂豎直舉起時總高度x cm，則，
解得x＝200，200?160＝40（cm），
故小蘭的手臂超出頭頂40cm，
故答案為：40．
【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時物體的高度和影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．
14. 黃金分割在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，如圖，在國旗上的五角星中，C、D兩點都是線段的黃金分割點． 若，則的長為_______．（結(jié)果保留根號）

【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了黃金分割點．設(shè)，利用黃金分割點可以得到成比例線段，；代入數(shù)值變形得，解方程即可求解．
【詳解】解：∵C、D兩點都是的黃金分割點，設(shè)，
∴，即，，
∴，即，
解得：，（舍去），
故答案為：．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的部分圖象如圖所示，軸于點，點在x軸上，若的面積為，則的值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別一條坐標(biāo)軸作垂線，連接點與原點，與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是．設(shè)反比例函數(shù)的解析式是：，設(shè)A的點的坐標(biāo)是，則，，．根據(jù)三角形的面積公式即可求得的值，即可求得k的值．
【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式是：，設(shè)A的點的坐標(biāo)是．
則，，．
∵軸，
∴軸，
∴，
∴，即，
∴，
則．
故答案是：．
16. 如圖，已知，點C在線段上，是底邊長為12的等腰三角形，并且，以為邊在的右側(cè)作矩形，連接，點M是的中點，連接，當(dāng)小時，矩形面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點的運動軌跡．連接，過點作于，交于．證明垂直平分線段，推出點的運動軌跡是直線，當(dāng)時，的值最小，求出，結(jié)合矩形面積，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，過點作于，交于，過點D作，垂足為點H，
四邊形是矩形，點是的中點，
點在對角線，的交點，
，
，
，
點的運動軌跡是直線，當(dāng)時，的值最小，
，，，
，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，則，
此時矩形面積，
故答案為：．
三、解答題（共9小題，共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），1
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【小問1詳解】
解：
或
，；
【小問2詳解】
解：
或
，．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
18. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．
（1）代入特殊角的三角函數(shù)值計算即可；
（2）代入特殊角的三角函數(shù)值計算即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
19. 在中，．請用尺規(guī)作圖，在邊上求作一點，連接，使得將分為兩個相似三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】．
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，垂線的尺規(guī)作圖， 于D，根據(jù)垂線的定義得到 再證明即可證明．
【詳解】解：如圖所示，點D即為所求．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點D即為所求．
20.
如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點．四邊形ABDE是平行四邊形．
求證：四邊形ADCE是矩形
【答案】見解析
【解析】
【詳解】證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．
∵D為BC的中點，
∴CD＝DB．
∴CD∥AE CD＝AE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵AB＝AC，
∴AC＝DE．
∴平行四邊形ADCE是矩形．
21. 數(shù)學(xué)活動讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加有趣．在一次數(shù)學(xué)課上老師設(shè)計了一個“配色”游戲，如圖所示的是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，盤被分成面積相等的幾個扇形，盤中藍色扇形區(qū)域所占的圓心角是．
（1）轉(zhuǎn)動盤，則指針指向藍色扇形區(qū)域的概率為__________________；
（2）若同時轉(zhuǎn)動盤和盤，如果其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色，那么轉(zhuǎn)出的兩種顏色就可以配成紫色．（若指針指向扇形的分界線，則需要重新轉(zhuǎn)動）請通過列表或畫樹狀圖的方法，求出配成紫色的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】本題主要考查了根據(jù)概率公式計算概率，用樹狀圖或列表法求概率．
（1）先求出轉(zhuǎn)盤紅色部分圓心角， 即可得出一共3個藍色部分，然后根據(jù)概率公式計算概率即可．
（2）畫出樹狀圖，得出總出現(xiàn)的情況數(shù)，再得出出現(xiàn)藍紅的情況數(shù)，最后根據(jù)概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：轉(zhuǎn)盤紅色部分圓心角，相當(dāng)于2個藍色部分，
∴轉(zhuǎn)動盤，則指針指向藍色扇形區(qū)域的概率為：．
【小問2詳解】
轉(zhuǎn)盤紅色部分圓心角，相當(dāng)于2個藍色部分
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色、另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色的有3種情況，
同時轉(zhuǎn)動盤和盤，配成紫色的概率是
22. 關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程有一個根是3，求它的另一個根和的值．
【答案】（1）見詳解 （2），另一個根為1
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟練掌握判別式的意義是解題關(guān)鍵．
（1）先求出根的判別式大于0，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）將代入求出k，得到原方程，再解方程即可．
【小問1詳解】
證明：由已知，
，
，
，
∴無論取何值方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【小問2詳解】
解：依題意得，，
解得，
則原方程，
解得，
∴另一根為．
23. 如圖，在中，D是邊上一點，且．
（1）求證：；
（2）若，，的面積為9，求的面積．
【答案】（1）見解析 （2）36
【解析】
【分析】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”判定即可證明，即得出；
（2）根據(jù)“相似三角形面積比等于相似比的平方”即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
24. 如圖，一座古塔坐落在小山上(塔頂記作點A，其正下方水平面上點記作點B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無人機進行測量，但由于某些原因，無人機無法直接飛到塔頂進行測量，因此他先控制無人機從腳底(記為點C)出發(fā)向右上方(與地面成，點A，B，C，O在同一平面)的方向勻速飛行4秒到達空中O點處，再調(diào)整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達塔頂，已知無人機的速度為5米/秒，，求小李到古塔的水平距離即的長．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，過點作，交的延長線于點，過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，米，，，從而可得，進而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點作，交的延長線于點，過點作，垂足為，如圖所示：
由題意得：米，米，，，
，
，
，
在中，米，
在中，米，
米，
米，
小李到古塔的水平距離即的長為米．
25. （1）如圖1，點E為矩形內(nèi)一點，請過點E作一條直線l，將矩形的面積分為相等的兩部分；
（2）如圖2，在平行四邊形中，，，，E為邊上一點，且，請問在邊上是否存在一點F，使得直線將平行四邊形的面積分為相等的兩部分，如果存在，求出線段的長；如果不存在，請說明理由；
（3）如圖3，現(xiàn)有一塊平行四邊形空地，米，米，，P為對角線上一點，且，計劃過點P修一條小路EF，使得E、F分別在線段、上，小路EF的右側(cè)區(qū)域種植花卉． 如圖，的區(qū)域種郁金香，與的區(qū)域種紫羅蘭，已知郁金香的費用為每平方米200元，紫羅蘭的費用為每平方米100元，請問種植費用最少是多少元？（結(jié)果保留根號）
【答案】（1）見解析；（2）存在，；（3）種植費用最小值為元
【解析】
【分析】（1）如圖，連接，交于點，過點、作直線，結(jié)合矩形的性質(zhì)可證明；
（2）連接，交于點，連接并延長交于，同（1）可知，過點、分別作，，交于，，則四邊形是矩形，再結(jié)合含的直角三角形即可求解；
（3）先求得平方米，連接交于，則，即點為的中點，取，的中點，，可得四邊形是平行四邊形，，，由（2）可知過平行四邊形對角線中點的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，即：平方米，求得平方米，（當(dāng)點在上方時，點在點左側(cè)，此時同理可得平方米）由，可得，，則種植費用為（元），當(dāng)取得最小值時，種植費用有最小值．
【詳解】解：（1）如圖，連接，交于點，過點、作直線，直線將矩形的面積分為相等的兩部分．
理由：設(shè)直線分別交，于點，
四邊形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）存在，理由如下：
連接，交于點，連接并延長交于，
四邊形是平行四邊形，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
過點、分別作，，交于，，則四邊形是矩形，
∴，，
∵，則，
∴，，
由勾股定理可得：，
∴；
（3）過點作，交于，則米，
∴平方米，
在平行四邊形中，，，
連接交于，則，即點為的中點，
取，的中點，，
∴，，
則，
∴，同理，，，，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，，
∴，
由（2）可知過平行四邊形對角線中點的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，
即：平方米，
∴平方米，（當(dāng)點在上方時，點在點左側(cè)，此時同理可得平方米）
即：當(dāng)點與點重合時，取得最小值平方米，
∵，
∴，，
∴，則，
∴，
則種植費用為
（元），
當(dāng)取得最小值時，種植費用有最小值，最小值為元，
綜上，種植費用最小值為元．
【點睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，中位線定理，解直角三角形等知識點，結(jié)合過平行四邊形對角線中點的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，求得當(dāng)取得最小值時，種植費用有最小值，是解決問題的關(guān)鍵．