本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時(shí)間120分鐘．試卷總分為150分．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．
選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由并集運(yùn)算的定義即可得出答案．
【詳解】由得，，
故選：C．
2. 已知為虛數(shù)單位，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計(jì)算可得.
【詳解】.
故選：D
3. 己知向量，且與共線，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得解.
【詳解】，，又與共線，
，化簡得.
故選：C.
4. 有一組樣本數(shù)據(jù)，則（）
A. 這組樣本數(shù)據(jù)的極差不小于4B. 這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不小于4
C. 這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不小于3D. 這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念判斷即可.
【詳解】樣本數(shù)據(jù)中，
對于A，顯然這組樣本數(shù)據(jù)的極差大于等于，故A正確；
對于B，若，則平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，則中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，則眾數(shù)為，故D錯(cuò)誤.
故選：A
5. 條件，條件，則是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】舉反例即可說明充分性，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可判斷必要性，進(jìn)而可求解.
【詳解】當(dāng)且時(shí)，，所以是的不充分條件，
而時(shí)，則，所以，故是的必要條件，
因此是的必要不充分條件，
故選：B
6. 已知拋物線：為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動點(diǎn)（不含原點(diǎn)），的半徑為，若與外切，則（）
A. 與直線相切B. 與直線相切
C. 與直線相切D. 與直線相切
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)動點(diǎn)，，由與外切得出，結(jié)合拋物線焦半徑公式得出的半徑為，即可得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)動點(diǎn)，，如圖所示，與外切于點(diǎn)，則，
由拋物線焦半徑公式得，，的半徑為，即，
所以，即的半徑為，
所以點(diǎn)到軸的距離為，則與直線相切，
故選：A．
7. 已知，則的最小值為（）
A. 4B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得且、，再由，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意取值條件.
【詳解】由，，即，易知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，
所以的最小值為.
故選：D
8. 如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，為筒車轉(zhuǎn)動后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時(shí)間（單位：），則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，令即可求解.
【詳解】設(shè)盛水桶在轉(zhuǎn)動中到水面的距離為，時(shí)間為，
由題意可得，盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如下：
，
令，即，解得，
又，可得，，
，故C正確；
，，
，故D錯(cuò)誤；
又，解得，故B錯(cuò)誤；
，解得，故A錯(cuò)誤.
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．
9. 在正方體中，與交于點(diǎn)，則（）
A. 平面B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理逐一證明即可.
【詳解】對于A，因?yàn)榍遥?br>所以四邊形時(shí)平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正確；
對于B，連接交于點(diǎn)，連接，
由正方體的分別為的中點(diǎn)，
因?yàn)橐驗(yàn)榍遥?br>所以四邊形時(shí)平行四邊形，所以，
則且，
所以四邊形時(shí)平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故B正確；
對于C，因?yàn)榍遥?br>所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故C正確；
對于D，平面即為平面，
而平面與平面相交，
所以平面與平面相交，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 已知函數(shù)，則（）
A. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
B. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1
C. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
D. 若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則
【答案】AC
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
即，故C正確；
因?yàn)?，函?shù)大致圖象如圖，
要使方程在區(qū)間上有兩解，
則，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 對于給定的數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，則（）
A. 等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B. 等比數(shù)列是“線性數(shù)列”
C. 若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列”D. 若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”
【答案】ABD
【解析】
【分析】對A,B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷，C，找特例，代入即可判斷；D，結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實(shí)數(shù)即可.
【詳解】對A，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，
滿足“線性數(shù)列”的定義，A正確；
對B，數(shù)列等比數(shù)列，則，即，
滿足“線性數(shù)列”的定義，B正確；
對C，是等差數(shù)列，設(shè)，
則，若是“線性數(shù)列”，
則，則應(yīng)有，
故不是“線性數(shù)列”，C錯(cuò)誤；
對D，是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，
若時(shí)，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；
若時(shí)，由，得，
，
累加的，
則，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，滿足，則，
若是“線性數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)，使得成立，
則，
，
，
則，則，
則是“線性數(shù)列”，D正確.
故選：ABD
12. 已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（）
A.
B. 關(guān)于點(diǎn)對稱
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】用特殊值法，假設(shè)，可判斷選項(xiàng)A；
對進(jìn)行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項(xiàng)B；
對兩邊求導(dǎo)，可得，根據(jù)可判斷的周期性和對稱性，再根據(jù)特殊值關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)C；
由特殊值關(guān)系得到，，化簡，即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】假設(shè)，則，都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；
因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，，又，，
所以，所以無法確定的值，所以C錯(cuò)誤；
又，，所以，又，所以，
由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則
，所以 D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】對稱性有關(guān)結(jié)論：
若，則關(guān)于直線對稱；
若，則關(guān)于直線對稱；
若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
周期性結(jié)論：
若，則函數(shù)的周期為.
非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為___________．
【答案】
【解析】
【分析】求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，結(jié)合通項(xiàng)公式，確定的值，代入，即可求解.
【詳解】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：.
14. 己知梯形滿足且，其中，將梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)確定所得幾何體的構(gòu)成，再應(yīng)用圓錐和圓柱體積公式求組合體體積.
【詳解】如下圖，梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐和圓柱的組合體，
其中圓錐及圓柱底面都是半徑為的圓，圓錐的高為1，圓柱的高為2，
所以幾何體體積為.
故答案為：
15. 一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先分析出做一次成功試驗(yàn)的概率，設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為，則，計(jì)算即可．
【詳解】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4的情況有3種，
兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有4種，
兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的情況有5種，
在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)成功試驗(yàn)的概率，
設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為，則，
所以重復(fù)做這樣的試驗(yàn)4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為，
故答案為：．
16. 己知為橢圓上一點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，為其右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，若，且成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為___________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，，，由已知得出，再由橢圓定義得出，由成等比數(shù)列，得出，結(jié)合兩點(diǎn)之間距離公式，代入化簡整理即可求得離心率．
【詳解】設(shè)，，，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，如圖所示，
則，所以，即，
又因?yàn)?，所以，即?br>由橢圓定義得，，則，
又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，
所以，則，
所以，即，
所以，
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 在中，角所對的邊分別是，且．
（1）求角；
（2）為邊上一點(diǎn)，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊，結(jié)合余弦定理即可；
（2）法一，在中，由余弦定理可求得，在結(jié)合余弦定理求，在中，應(yīng)用余弦定理即可；法二，在，結(jié)合余弦定理求得，在，應(yīng)用余弦定理求得，再由中結(jié)合正弦定理先求，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求得.
【小問1詳解】
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>由余弦定理可得，，所以．
【小問2詳解】
方法一：不妨取，則，中，由余弦定理可求得．
在中，由余弦定理可求得．
在中，由余弦定理可得．
方法二：不妨取，則，
在中，，
則，則，，，
中，，
在中由正弦定理可得：，
解得：，
又因?yàn)?，所以?br>18. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明線面垂直，再證明線線垂直，可得，，再利用線面垂直的判定定理可得平面；
（2）為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用夾角公式求解公式.
【小問1詳解】
因?yàn)榈酌?，底面，所以?br>因?yàn)闉檎叫?，所以?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>同理可得，因?yàn)?，平面，所以平面?br>【小問2詳解】
如圖，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為．
由（1）可知是平面的一個(gè)法向量，記為，
又平面的一個(gè)法向量為．
所以平面與平面夾角的余弦值等于．
19. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式對任意正整數(shù)均成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用得出等差數(shù)列再求數(shù)列通項(xiàng)公式即可;
（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和結(jié)合不等式恒成立求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，且，兩式相減并整理可得．
因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以．
【小問2詳解】
有（1）可知，
，
，
故，可化為，
因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?br>20. 2023年9月8日，第19屆亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運(yùn)會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．
（1）組委會從全省火炬手中隨機(jī)抽取了100名火炬手進(jìn)行信息分析，得到如下表格：
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；
（2）在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機(jī)選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？
【答案】（1）全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨(dú)立（沒有關(guān)聯(lián)）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：零假設(shè)為：：全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨(dú)立（沒有關(guān)聯(lián)），
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得，
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)定為成立，
全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨(dú)立（沒有關(guān)聯(lián)）．
【小問2詳解】
解：設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，
則，
所以這位火炬手是男性的概率約為．
21. 已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且交右支于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，．
（1）求雙曲線的漸近線方程；
（2）若，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線方程即可求解漸近線方程，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義將其轉(zhuǎn)化為，由坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【小問1詳解】
由題知，，所以雙曲線的漸近線方程為．
【小問2詳解】
雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線方程為，代入雙曲線中，
化簡可得：，
設(shè),則．
則
∴線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線方程為．
（i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好為焦點(diǎn)，此時(shí)存在點(diǎn)或，使得．
此時(shí)直線方程為．
（ii）當(dāng)時(shí)，令可得，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由于所以，
由，即，也即：．
化簡可得，解出，
由于直線要交雙曲線右支于兩點(diǎn)，所以，即，故舍去．
可得直線的方程為．
綜上：直線方程為或或．
22. 已知．
（1）若當(dāng)時(shí)函數(shù)取到極值，求的值；
（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）1（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）求得，由，得到，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，求得，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在單調(diào)遞增．，結(jié)合，，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由，得出在沒有零點(diǎn)，在由，得到存在唯一，使得，即可得到答案.
【小問1詳解】
解：函數(shù)，可得
因?yàn)闀r(shí)函數(shù)取到極值，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，可得，
令，
可得，
令，可得，所以單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋栽趨^(qū)間上，即單調(diào)遞增，
所以是的變號零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取到極值．
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
令，
則，
所以在單調(diào)遞增，則，
所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，可得，
令，
可得，
令，則，
所以在單調(diào)遞增，，則，
所以在單調(diào)遞增．
因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，
所以存在使得．則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，故在沒有零點(diǎn)，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，而，
所以，
則，
所以存唯一，使得，
故在存在唯一零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
性別
年齡
總計(jì)
滿50周歲
未滿50周歲
男
15
45
60
女
5
35
40
總計(jì)
20
80
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828

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