1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁.考試時(shí)間120分鐘.試卷總分為150分.
2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
選擇題部分（共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根據(jù)一元二次不等式求解，即可由交集求解.
【詳解】，故，
故選：B
2. （ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.
【詳解】，
故選：A
3. 設(shè)，條件，條件，則p是q的（ ）
A. 充分不要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求解．
【詳解】由于，
若，則，充分性不成立，
若，則，必要性成立，
故是的必要不充分條件．
故選：B．
4. 設(shè)直線，圓，則l與圓C（ ）
A. 相交B. 相切C. 相離D. 以上都有可能
【答案】C
【解析】
【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，與半徑比較即可判斷求解．
【詳解】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，
故直線與圓相離．
故選：C．
5. 等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，公差為，為的前項(xiàng)和，若，且，，成等比數(shù)列，則（ ）
A. 1B. 2C. D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，結(jié)合求和公式得到或，再由，計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，成等比?shù)列，
所以，即，
即，
所以或，
又，，
當(dāng)，則，解得（舍去），
當(dāng)，則，解得，則.
故選：B
6. 在中，，，，則的面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式求出，再由正弦定理求出，代入面積公式即可得解.
【詳解】由題意，，
由正弦定理，，即，
所以，
故選：D
7. 金華市選拔2個(gè)管理型教師和4個(gè)教學(xué)型教師去新疆支教，把這6個(gè)老師分配到3個(gè)學(xué)校，要求每個(gè)學(xué)校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個(gè)學(xué)校，則不同的分配方案有（ ）
A. 72種B. 48種C. 36種D. 24種
【答案】A
【解析】
【分析】首先取2名教學(xué)型老師分配給一個(gè)學(xué)校，再把剩余老師分成組，然后分給剩余2個(gè)不同學(xué)校有種不同分法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得解.
【詳解】選取一個(gè)學(xué)校安排2名教學(xué)型老師有種不同的方法，
剩余2名教學(xué)型老師與2名管理型教師，各取1名，分成兩組共有種，
這2組分配到2個(gè)不同學(xué)校有種不同分法，
所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的分法.
故選：A
8. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知結(jié)合兩角差的余弦公式可先求出，然后結(jié)合二倍角公式及和差化積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】由得，
又，所以，
所以
．
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個(gè)小矩形的面積從左到右依次為（，2，，6），則（ ）
A. x的值為0.0044
B. 這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175
C. 用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為75
D. 這100戶居民該月的平均用電量為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1即可判斷A，根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算即可求解B，根據(jù)頻率即可求解C，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，
，
解得，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，?br>所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其為，
則，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，用電量落在區(qū)間，內(nèi)的戶數(shù)為
，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，這100戶居民該月的平均用電量為
，故D正確.
故選：AD．
10. 已知，，則（ ）
A. B.
C D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?所以指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，
因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，
所以，故A正確，
對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，，則，
因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，故D正確．
故選：ACD．
11. 在矩形中，，E為線段的中點(diǎn)，將沿直線翻折成．若M為線段的中點(diǎn)，則在從起始到結(jié)束的翻折過程中，（ ）
A. 存在某位置，使得
B. 存在某位置，使得
C. 的長(zhǎng)為定值
D. 與所成角的正切值的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，可得出平面，得出推出矛盾判斷A，當(dāng)平面時(shí)可判斷B，根據(jù)等角定理及余弦定理判斷C，建系利用向量法判斷D.
【詳解】如圖，

設(shè)的中點(diǎn)，連接，則，若，由，平面，可得平面，平面，則可證出，顯然矛盾，故 A 錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?dāng)平面，由平面可得，由，平面，即可得平面，再由平面，則有，故B正確；
取中點(diǎn)，，，，且方向相同，
所以為定值，所以為定值，故C正確；
不妨設(shè)，以分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
，，設(shè)與所成角為，
則，即與所成最小角的余弦值為，此時(shí)，故D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理折疊問題，注意折前折后可變量與不變量，充分利用折前折后不變的量，其次靈活運(yùn)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理是研究垂直問題的關(guān)鍵所在，最后不容易直接處理的最值問題可考慮向量法計(jì)算后得解.
非選擇題部分（共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知單位向量，滿足，則與的夾角為________．
【答案】（或?qū)懗桑?br>【解析】
【分析】將等式兩邊平方即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，．
故答案為：.
13. 已知函數(shù)若在點(diǎn)處的切線與點(diǎn)處的切線互相垂直，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】分別求出函數(shù)在兩段上的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由切線垂直得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，且點(diǎn)不在上，
否則切線不垂直，故，
當(dāng)時(shí)，，所以，
由切線垂直可知，，解得.
故答案為：
14. 設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦距，它們的離心率分別為，，橢圓的焦點(diǎn)為，，，在第一象限的交點(diǎn)為P，若點(diǎn)P在直線上，且，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，先根據(jù)題意得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)分別代入橢圓和雙曲線的方程中，求離心率，即可得解.
【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，則，
又，所以，
又點(diǎn)在第一象限，且在直線上，
所以，又點(diǎn)在橢圓上，
所以，即，
整理得，即，
解得，因?yàn)?，所以?br>同理可得點(diǎn)在雙曲線上，所以，即，
解得，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 為鼓勵(lì)消費(fèi)，某商場(chǎng)開展積分獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，消費(fèi)滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7，則獲得5個(gè)積分：若點(diǎn)數(shù)之和不等于7，則獲得2個(gè)積分．
（1）記兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7為事件A，第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)為事件B，證明：事件A，B是獨(dú)立事件；
（2）現(xiàn)有3位顧客參與了這個(gè)活動(dòng)，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望．
【答案】（1）證明見解析
（2）分布列見解析；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)古典概型分別計(jì)算，由，的關(guān)系證明；
（2）根據(jù)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蟪龈怕剩谐龇植剂校贸銎谕?
【小問1詳解】
因?yàn)閮纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于7有以下基本事件：共6個(gè)，
所以，又．
而第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7的基本事件是共3個(gè)，
所以，
故，所以事件A，B是獨(dú)立事件．
【小問2詳解】
設(shè)三位參與這個(gè)活動(dòng)的顧客共獲得的積分為X，則X可取6，9，12，15，
，，
，，
所以分布列為：
所以.
16. 設(shè)，．
（1）若，求的值域；
（2）若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，得，即可根據(jù)和判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值即可求解，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即可分離參數(shù)得，利用換元法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
若，，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減
又，，
所以，即的值域?yàn)?br>【小問2詳解】
．
存在極值點(diǎn)，則在上有解，即有解．
令，則在上有解．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
17. 如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面是矩形，．
（1）求證：三棱錐是正三棱錐；
（2）若三棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，證明平面即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角正弦即可.
【小問1詳解】
分別取AB，BC中點(diǎn)D，E，連接CD，AE交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為正三角形ABC的中心．
因?yàn)榈茫?br>又平面，
所以平面，又平面，
則；
取中點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，
因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，又，
又平面，
所以平面，又平面，則；
又，平面，所以平面，
所以三棱錐是正三棱錐．
【小問2詳解】
因?yàn)槿庵捏w積為，底面積為，所以高，
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸正方向，EB為y軸正方向，過點(diǎn)E且與平行的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋?br>則，取，可得，
又，
設(shè)直線與平面所成角為θ，
所以.
18. 設(shè)拋物線，直線是拋物線C的準(zhǔn)線，且與x軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是不在直線l上的一點(diǎn)，直線，分別與準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）證明：：
（3）記，的面積分別為，，若，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程可得，即可求解；
（2）設(shè)l：，，聯(lián)立直線與拋物線，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再由直線的相交求出坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求即可得證；
（3）由（2）可得，再由，根據(jù)可得，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)闉閽佄锞€的準(zhǔn)線，
所以，即，
故拋物線C的方程為
小問2詳解】
如圖，
設(shè)l：，，
聯(lián)立，消去x得，
則，且，
又AM：，令得，
同理可得，
所以
，
，
故.
【小問3詳解】
由（2）可得：，
，
由，得：，解得，
所以直線l的方程為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問中直線較多，解題的關(guān)鍵在于理清主從關(guān)系，據(jù)此求出點(diǎn)的坐標(biāo)（含參數(shù)），第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于將轉(zhuǎn)化為關(guān)于對(duì)稱，即.
19. 設(shè)p為素?cái)?shù)，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n，記，，其中，如果非負(fù)整數(shù)n滿足能被p整除，則稱n對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
（1）分別判斷194，195，196這三個(gè)數(shù)是否對(duì)3“協(xié)調(diào)”，并說明理由；
（2）判斷并證明在，，，…，這個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”；
（3）計(jì)算前個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和．
【答案】（1）194，196對(duì)3“協(xié)調(diào)”，195對(duì)3不“協(xié)調(diào)”
（2）有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)n對(duì)p“協(xié)調(diào)”的定義，即可計(jì)算，即可求解，
（2）根據(jù)n對(duì)p“協(xié)調(diào)”的定義以及整除原理可證明引理，證明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，即可根據(jù)引理求證．
（3）將這個(gè)數(shù)分成p組，每組p個(gè)數(shù)，根據(jù)引理證明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>，所以，
，所以，
所以194，196對(duì)3“協(xié)調(diào)”，195對(duì)3不“協(xié)調(diào)”.
【小問2詳解】
先證引理：對(duì)于任意的非負(fù)整數(shù)t，在中有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．證明如下：設(shè)，由于pt是p的倍數(shù)，所以，所以，即對(duì)于這一項(xiàng)的系數(shù)為，
所以，
根據(jù)整除原理可知，中有且僅有一個(gè)數(shù)能被p整除，
所以在中有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
接下來把以上個(gè)數(shù)進(jìn)行分組，分成以下p組（每組p個(gè)數(shù)）：
根據(jù)引理可知，在以上每組里恰有1個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，所以共有p個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
【小問3詳解】
繼續(xù)考慮這個(gè)數(shù)分成p組，每組p個(gè)數(shù)：
由（2）的引理可知每一行里有且只有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，下面證明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．證明如下：
設(shè)某一列第一個(gè)數(shù)為，
則，所以，
同理當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，
集合中的p個(gè)數(shù)中有且只有1個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
注意到數(shù)陣中每一個(gè)數(shù)向右一個(gè)數(shù)增加1，向下一個(gè)數(shù)增加p，
所以p個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的數(shù)之和為：，
進(jìn)一步，前個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新型定義，首先要了解定義所給的關(guān)系式的特性，抽象特性和計(jì)算特性，抽象特性是將定義可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計(jì)算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識(shí)求解.
6
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