精品解析：江蘇省蘇州市蘇州中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

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一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列方程一定是關(guān)于 的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各條件中，能判斷的是（ ）
A. ，
B. ，
C ，
D. ，，，
3. 如圖，四邊形內(nèi)接于，它的一個(gè)外角，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. 定義運(yùn)算，例如，則方程的根的情況為（ ）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 無實(shí)數(shù)根D. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
5. 如圖，、是的弦，且，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖，與是位似三角形，位似比為，已知，則DE的長(zhǎng)等于（ ）
A. B. C. D.
7. “讀萬卷書，行萬里路”我校為了豐富學(xué)生的閱歷知識(shí)，堅(jiān)持開展課外閱讀活動(dòng)，學(xué)生人均課外閱讀量從七年級(jí)的每年50萬字增加到九年級(jí)的每年80萬字．設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
8. 如圖，，若，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）．
A. B. C. D.
9. 如圖，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)D、E、F，已知，則的長(zhǎng)是（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，分別作射線、，它們交于點(diǎn)．以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若的長(zhǎng)為2，則面積的最小值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．
11. 方程 的解是____．
12. 若，則值為____．
13. 已知點(diǎn)P是線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，那么的比值為________．
14. 如圖，在寬為，長(zhǎng)為矩形地面上修建兩條寬均為的小路（陰影），余下部分作為草地，草地面積為，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得小路寬的值為__________．
15. 已知四邊形是矩形，，，以點(diǎn)B為圓心為半徑圓交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為__________．
16. 如圖，是的直徑，將弧沿弦折疊后，弧剛好經(jīng)過圓心．若，則的半徑長(zhǎng)是___．
17. 已知是方程的一個(gè)根，試求的值______．
18. 如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，其中，P為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)Q，連，則線段的最大值為______．
三、解答題：本題共10小題，共96分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸．
19. 用指定方法解下列一元二次方程
（1）（直接開平方法）
（2）（配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
20. 如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一點(diǎn)，且，于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為6，求弦AB的長(zhǎng)．
21. 如圖，在正方形中，E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，且，求證：．
22. 已知三邊滿足，且．
（1）求的值；
（2）判斷的形狀．
23. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；
（2）設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求的值．
24. 圖Ⅰ是大拇指廣場(chǎng)示意圖及測(cè)量其高度的方案，圖Ⅱ是求大拇指高度的示意圖．如圖Ⅱ，在C處放置一根高度為2m且與地平線垂直的竹竿，點(diǎn)A，I，D在同一直線上，測(cè)得為．將竹竿3m平移至E處，點(diǎn)A，G，F(xiàn)在同一直線上，測(cè)得為．求大拇指的高度．
25. 如圖，已知是的外接圓，是的直徑，是的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，弦交于點(diǎn)．，．
（1）求證：；
（2）求證：是的切線；
（3）若，，求的半徑．
26. 某超市銷售一種飲料，進(jìn)價(jià)為每箱48元，規(guī)定售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)．現(xiàn)在的售價(jià)為每箱60元，每月可銷售60箱．現(xiàn)為了盡量減少庫存，決定對(duì)該飲料降價(jià)銷售，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若這種飲料的售價(jià)每降價(jià)1元，則每月的銷量將增加10箱．
（1）若11月份每箱飲料降價(jià)2元，則該超市11月份可獲得的利潤是多少？
（2）若該超市預(yù)計(jì)12月份要獲得770元的利潤，則每箱飲料售價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）該超市能否每月獲得880元的利潤？若能，求出售價(jià)為多少元？若不能，請(qǐng)說明理由．
27. 按要求利用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）．
（1）如圖1，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，經(jīng)過A，B，C 三個(gè)格點(diǎn)，用無刻度的直尺作出圓心O；
（2）如圖2，在平行四邊形中，，以為直徑的圓與相切于點(diǎn)D．請(qǐng)僅用無刻度直尺在圖中作出的重心M．
28. 新定義：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，我們稱這個(gè)四邊形為美好四邊形．
【問題提出】
（1）如圖1，若四邊形是美好四邊形，且，，，，求四邊形的面積；
【問題解決】
（2）如圖2，某公園內(nèi)需要將4個(gè)信號(hào)塔分別建在，，，四處，現(xiàn)要求信號(hào)塔建在公園內(nèi)一個(gè)湖泊邊上，該湖泊可近似看成一個(gè)半徑為的圓，記為．已知點(diǎn)到該湖泊的最近距離為，是否存在這樣的點(diǎn)，滿足，使得四邊形的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．