一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù),則( )
A.2B.C.1D.
3．下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )
A.B.C.D.
4．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0,設(shè)甲:;乙:數(shù)列是等比數(shù)列,則甲是乙的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．已知滿足,,且向量在向量上的投影向量為,則( )
A.B.C.D.2
6．如圖,設(shè)矩形的周長為8cm,把沿向折疊,折過去后交于點(diǎn)P,記的周長為l,面積為S,則的最大值為( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.B.C.D.
8．當(dāng)時(shí),曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題正確的是( )
A.
B.
C.在等差數(shù)列中,,,,則
D.在等差數(shù)列中,為其前n項(xiàng)和,若,,則
10．若實(shí)數(shù)x,y滿足,則( )
A.B.C.D.
11．已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則
B.有兩個(gè)零點(diǎn)
C.
D.若,,,則
三、填空題
12．已知向量,,且,則______.
13．對(duì)于數(shù)列,定義數(shù)列為數(shù)列的“和數(shù)列”,若,數(shù)列的“和數(shù)列”的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列的前21項(xiàng)和______.（結(jié)果保留指數(shù)形式）
14．在銳角中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,則的取值范圍為______.
四、解答題
15．已知函數(shù),且的最小正周期為.
（1）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,若是偶函數(shù),求的最小值;
16．已知函數(shù).
（1）證明:曲線是軸對(duì)稱圖形;
（2）若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17．民族要復(fù)興,鄉(xiāng)村需振興.為響應(yīng)國家號(hào)召,我市城市規(guī)劃管理局?jǐn)M將某鄉(xiāng)村一三角形區(qū)域規(guī)劃成休閑度假區(qū),通過文旅賦能鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展.度假區(qū)按如圖所示規(guī)劃為三個(gè)功能區(qū):區(qū)域規(guī)劃為露營區(qū),區(qū)域規(guī)劃為休閑垂釣區(qū),區(qū)域規(guī)劃為自由活動(dòng)區(qū).為安全起見,預(yù)在魚塘四周圍筑護(hù)欄.已知,,,P為內(nèi)一點(diǎn),.
（1）當(dāng)時(shí),求護(hù)欄的長度（的周長）;
（2）若,求;
（3）為了容納更多游客,露營區(qū)的面積要盡可能大,求露營區(qū)面積的最大值.
18．已知函數(shù).
（1）令,求的單調(diào)區(qū)間;
（2）若存在,使得,求證:.
19．對(duì)于無窮數(shù)列,“若存在,必有”,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
（1）若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)?是否具有性質(zhì)?
（2）把（1）中滿足性質(zhì)的t從小到大一一列出,構(gòu)成新的數(shù)列,若,求證:;
（3）對(duì)于無窮數(shù)列,設(shè),若數(shù)列具有性質(zhì),求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.（寫出表達(dá)式即可,結(jié)論不需要證明）
參考答案
1．答案：D
解析：因?yàn)?
又,所以.
故選:D.
2．答案：A
解析：復(fù)數(shù),所以.
故選:A.
3．答案：C
解析：選項(xiàng)A中是偶函數(shù),BCD三選項(xiàng)中函數(shù)都是奇函數(shù);
在和上都是減函數(shù),但在定義域內(nèi)不是減函數(shù),B錯(cuò);
結(jié)合冪函數(shù)性質(zhì)知是減函數(shù),C正確;
中,設(shè),則,而,
因此,即,是增函數(shù),D錯(cuò).
故選:C.
4．答案：B
解析：驗(yàn)證甲是否能推出乙,甲的意思是該數(shù)列隔項(xiàng)成等比數(shù)列,
甲可構(gòu)造數(shù)列1,2,1,4,1,8,1,16,1,…,
顯然甲推不出乙,驗(yàn)證乙是否能推出甲,
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列,所以,,
所以,
所以乙能推出甲,所以甲是乙的必要不充分條件.
故選:B.
5．答案：C
解析：在中,令,過A作于,,
由向量在向量上的投影向量為,得,
解得,則,由,得
,解得,由,
得,即,因此,
在中,.
故選:C
6．答案：A
解析：因?yàn)榫匦蔚闹荛L為8cm,
設(shè),則,故,得,
因?yàn)?,,
所以,設(shè),則,,
所以的周長為,
在直角中,由勾股定理得,解得,
則,所以,
令,則,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),等號(hào)成立,
所以的最大值為.
故選:A.
7．答案：D
解析：偶函數(shù),,即,
即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,
又為奇函數(shù),,
故,即的最小正周期為4,
對(duì)A,的最小正周期為4,,
又關(guān)于對(duì)稱,,
當(dāng)時(shí),,則,
即,故A錯(cuò);
對(duì)B,的最小正周期為4,,
又關(guān)于對(duì)稱,,
當(dāng)時(shí),,
即,故,故B錯(cuò);
對(duì)C,當(dāng)時(shí),,易知在上單調(diào)遞增,
又關(guān)于對(duì)稱,,
,,即,
故,故C錯(cuò)誤;
對(duì)D,,
且,
故,故D對(duì).
故選:D.
8．答案：B
解析：由,如圖所示,畫出在時(shí)的圖象,
對(duì)于,,,
令,得,,得,,
由與的圖象有4個(gè)交點(diǎn),
由圖知,解得,故B正確.
故選:B.
9．答案：AC
解析：A選項(xiàng),
,A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng),
,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng),在等差數(shù)列中,,,,
設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,
兩式相減得,所以,
則,所以,C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng),設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,
即,兩式相減得,
所以,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:AC
10．答案：ACD
解析：對(duì)于A,可化為,,
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,
,
,
,選項(xiàng)A正確.
對(duì)于B,由得,
,
,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
對(duì)于C,由得,
,
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,
,
,
,選項(xiàng)C正確.
D.由得,
,
.
由得,
,
,選項(xiàng)D正確.
故選:ACD.
11．答案：BCD
解析：A選項(xiàng),定義域?yàn)?
,
故在,上單調(diào)遞減,
不妨取,此時(shí)滿足,但,
,,A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),由A選項(xiàng)知,,上單調(diào)遞減,
其中,,
,,
由零點(diǎn)存在性定理可知,存在,,使得,
故有兩個(gè)零點(diǎn),B正確;
C選項(xiàng),,
而,
故,C正確;
D選項(xiàng),,
又,,
且,,,結(jié)合C選項(xiàng)知,,
則,D正確.
故選:BCD
12．答案：1
解析：由向量,,
則,
又,則,解得,
故答案為:1
13．答案：.
解析：因?yàn)?數(shù)列的“和數(shù)列”的通項(xiàng)公式為,
所以數(shù)列,
,
故答案為:.
14．答案：
解析：由題意,因?yàn)?即,
由正弦定理可得,,
所以或,,
又,,,
,
,解得,
,
又因?yàn)?
令,則,,
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,
所以則的取值范圍為,
故答案為:.
15．答案：（2）若,,求的值.
（1）
（2）
解析：（1）
,
由于的最小正周期為,所以,
所以,
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,
得到函數(shù),
由于是偶函數(shù),所以,,,
由于,所以時(shí),取得最小值為.
（2）,,
由于,,,
所以,
所以
.
16．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）由函數(shù),定義域?yàn)镽,
則,
因此可得,
故函數(shù)的圖象關(guān)于,即曲線是軸對(duì)稱圖形.
（2）由,
若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn),
則方程在上有三個(gè)實(shí)根,
即在上有三個(gè)實(shí)根,
令,則與的圖象在上有三個(gè)交點(diǎn),
又,
當(dāng)或時(shí),,
則在和上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,
又,,
,,
因此可得的圖象如圖所示,
結(jié)合圖象,要使與的圖象在上有三個(gè)交點(diǎn),
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
17．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）在中,由正弦定理得,即,
解得,而為銳角,則,,,
在中,由余弦定理得,即,
所以的周長,即護(hù)欄的長度為.
（2）令銳角,則,,
在中,由正弦定理得,則,
在中,由正弦定理得,則,
于是,即,
整理得,因此,所以.
（3）設(shè),則,
在中,由正弦定理得,則,
于是的面積
,而,
則當(dāng),即時(shí),,
所以露營區(qū)面積的最大值為.
18．答案：（1）當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）證明見詳解
解析：（1）,,
當(dāng)時(shí),恒成立,
所以在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),恒成立,
所以在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,存在兩根,,
因?yàn)?所以,
所以時(shí),,所以單調(diào)遞增,時(shí),,單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）,解得,解得,
則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,
因,令,,
所以,所以,
所以,所以,
所以,
所以,所以只需證明即可,
所以只需證明,
令,,
令,函數(shù)定義域?yàn)?
,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,所以,所以,
所以,
所以在上單調(diào)遞增,所以,得證.
19．答案：（1）數(shù)列不具有性質(zhì),具有性質(zhì);
（2）證明見解析;
（3）集合T中元素個(gè)數(shù)的最大值為.
解析：（1）因?yàn)?
當(dāng)時(shí),均為奇數(shù),
故若存在,
由題意可得,,,與為偶數(shù)矛盾,
所以數(shù)列不具有性質(zhì);
因?yàn)?,且,,
故數(shù)列具有性質(zhì);
（2）因?yàn)?
,為偶數(shù),
時(shí),均為奇數(shù),故由題設(shè)條件知t不可能為奇數(shù),
又,,
令,
則;
（3）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì),所以一定存在一組最小的m,k,且,
滿足,即,
由性質(zhì)的定義可得,,…,,,
所以數(shù)列中,從第k項(xiàng)開始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律,,…,為一個(gè)周期中的各項(xiàng),
所以數(shù)列中最多有個(gè)不同的項(xiàng),
所以T中最多有個(gè)元素.
又若當(dāng),,且數(shù)列為周期數(shù)列,最小正周期為,
則,,…,,
該數(shù)列具有性質(zhì),
若,,,,,時(shí),,
不妨設(shè),則,所以,
此時(shí)等式右側(cè)為奇數(shù),左側(cè)為偶數(shù),矛盾,
所以若或,則,
所以集合中含有個(gè)元素.
所以集合T中元素個(gè)數(shù)的最大值為.

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