一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知，，則( )
A.B.2C.D.
3．設(shè)，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是( )
A.B.C.D.
5．在中，點D，E分別為，邊上的中點，點F滿足，則( )
A.B.C.D.
6．古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè)，若在B，C處分別測量球體建筑物的最大仰角為和，且，則該球體建筑物的高度約為( )()
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)，當(dāng)時，把的圖象與直線的所有交點的橫坐標(biāo)限依次記為，，，…，，記它們的和為，則( )
A.B.C.D.
8．已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，函數(shù)的對稱中心為，則下述結(jié)論正確的是( )（注：）
A.B.
C.D.
二、多項選擇題
9．設(shè)四個復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點、、、在同一個圓上，則下述結(jié)論正確的是( )
A.與互為共軛復(fù)數(shù)B.點在第二象限
C.復(fù)數(shù)的虛部是D.
10．已知兩個正數(shù)a，b滿足，則下述結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.
11．已知函數(shù)，若不等式對任意都成立，則實數(shù)a的值可以為( )
A.B.C.D.
三、填空題
12．已知函數(shù)的最小正周期是，則的值為______.
13．已知兩個單位向量，滿足，則向量和的夾角為______.
14．設(shè)數(shù)列的前n項和為，若是以a為首項，公差為1的等差數(shù)列，并且存在實數(shù)t，使得數(shù)列也成等差數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是______.
四、解答題
15．記是等差數(shù)列的前n項和，，且，，成等比數(shù)列.
（1）求和；
（2）若，求數(shù)列的前20項和.
16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，，已知，.
（1）求的面積；
（2）若，求b
17．已知角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓O交于點，將射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后于單位圓O交于點，，.
（1）若，求的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)函數(shù)的最大值是時，求m的值.
18．已知為函數(shù)的極小值點.
（1）求c的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若對，，使得，求k的取值范圍.
19．已知正實數(shù)構(gòu)成的集合
（1）若定義，當(dāng)集合中的元素恰有個數(shù)時，稱集合A具有性質(zhì)P.
①當(dāng)，時，判斷集合A，B是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
②設(shè)集合，其中數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，判斷集合A是否具有性質(zhì)P并說明理由.
（2）若定義，當(dāng)集合中的元素恰有個數(shù)時，稱集合A具有性質(zhì).設(shè)集合A具有性質(zhì)且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列.問：集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：由，解得，
，又，
.
故選：B.
2．答案：C
解析：由，得，而，
因此，所以.
故選：C
3．答案：A
解析：由可得，，，
由可得或，
故能得到，同時也無法推出，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
4．答案：B
解析：因為，在上均單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，
對A，可得.
因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故A錯誤；
對B，因為在上單調(diào)遞減，
則，則，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，
故在上存在零點，故B正確；
對C，因為，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，
則上無零點，故C錯誤；
對D，計算，
且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故C錯誤；
故選：B.
5．答案：D
解析：依題意，，而，
所以
故選：D
6．答案：B
解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，
則，，
所以由題，又，
故
，
所以，即該球體建筑物的高度約為.
故選：B.
7．答案：B
解析：由，則或，
解得或，
所以，，，，…，，
所以
，故B正確.
故選：B
8．答案：C
解析：，故
所以，
函數(shù)的對稱中心為，
函數(shù)往左平移2個單位得到函數(shù)，
故函數(shù)的對稱中心為，所以，
取可得，，
對于A，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，
且，
所以，故A錯誤：
對于B，在區(qū)間上單調(diào)遞減，對稱中心為，
故，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則，，故B錯誤；
對于C，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，故C正確：
對于D，因為，
取可得，又，
所以，所以，
因為函數(shù)的對稱中心為，故，
所以
因為，
故，
且，，即，
結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故D錯誤.
故選：C
9．答案：BCD
解析：對于，其對應(yīng)點.
對于，其對應(yīng)點.
對于，其對應(yīng)點.
對于，其對應(yīng)點.
對于選項A，，，它們實部不同，不是共軛復(fù)數(shù)，所以選項A錯誤.
對于選項B，對于，所以點在第二象限，選項B正確.
對于選項C，，，
.
其虛部是，選項C正確.
對于選項D，，，，在同一個圓上.
設(shè)圓的方程為.
將代入方程得，即①.
將代入方程得，即②.
將代入方程得，即③.
用②-①可得：
即解得.
將代入①和③，①變?yōu)?，③變?yōu)?
用③-①可得：，解得.
將，代入，可得.
所以圓的方程為.
將代入，得到，即，
，解得.
，.
則，即，所以選項D正確.
故選：BCD.
10．答案：ABD
解析：對于A，由，得，因此，A正確；
對于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；
對于C，取，，滿足，而，C錯誤；
對于D，由，得，，
則，D正確.
故選：ABD
11．答案：AC
解析：依題意，函數(shù)的圖象恒在的圖象及上方，
作函數(shù)和的圖象，
當(dāng)時，如上左圖所示，觀察圖知在R上不恒成立，不合題意；
當(dāng)時，如上右圖所示，觀察圖知，當(dāng)且僅當(dāng)，成立時，恒成立，即當(dāng)時，，
令，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此，所以實數(shù)a的取值范圍是，a的值可以為AC.
故選：AC
12．答案：2
解析：
，
所以，.
故答案為：2.
13．答案：
解析：因為向量，為單位向量，所以，，
又，所以，所以，
所以，
，
所以，
又，所以.
故答案為：.
14．答案：
解析：依題意，，則，
由數(shù)列為等差數(shù)列，得，
且是n的一次式，
而對任意正整數(shù)n，不恒成立，因此對恒成立，
即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
15．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，
由，得，
即，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，又，則
因此，
所以.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，依題意，，，，
則，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，則，
所以的面積.
（2）由正弦定理，
得，
則，所以.
17．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）由三角函數(shù)定義，得，，
，
由，得，則，
因此，的取值范圍是.
（2）由（1）及已知，得，，
令
，，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，則；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，不符合題意；
③當(dāng)時，在單調(diào)遞增，
，
則，所以或.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，
依題意，，解得或，
當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此為函數(shù)的極小值點，符合題意，則；
當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此為函數(shù)的極大值點，不符合題意，
所以.
（2）由（1）知，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，
①當(dāng)時，對，，使得，
因此，符合題意，則；
②當(dāng)時，，取，對，有，不符合題意；
③當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則，
若對，，使得，只需，即，解得，所以k的取值范圍為.
19．答案：（1）①集合A不具有性質(zhì)P，集合B具有性質(zhì)P，理由見解析；②集合A具有性質(zhì)P，理由見解析；
（2）存在，最大值為4.
解析：（1）①集合A不具有性質(zhì)P，集合B具有性質(zhì)P：
，中元素個數(shù)不具有性質(zhì)P；
，中元素個數(shù)具有性質(zhì)P.
②若集合A具有性質(zhì)P，設(shè)，
假設(shè)當(dāng)時有成立，則有，
等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，顯然不成立，則不成立，
因此中元素個數(shù)，所以集合A具有性質(zhì)P.
（2）不妨設(shè)，
則在集合中，，
又中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則，
即，于是，
當(dāng)時，，，，是集合A中互不相同的4項，
從而中元素個數(shù)小于，與集合A具有性質(zhì)矛盾，
當(dāng)時，，即，，成等差數(shù)列，且公差也為d，
則中的元素從小到大的前三項為，，，且第四項只能是或，
（i）若第四項為，則，從而，
于是，中元素個數(shù)小于，與集合A具有性質(zhì)矛盾；
（ii）若第四項為，則，有，
而，即，于是，
因此中元素個數(shù)小于，與集合A具有性質(zhì)矛盾，則，
取，，則集合A具有性質(zhì)，
所以集合A中的元素個數(shù)存在最大值，最大值為4.

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