皖豫天一大聯(lián)考2024-2025學年高中畢業(yè)班階段性測試(三)數(shù)學試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

考生注意：
1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合交集的基本運算即可得出結(jié)果.
【詳解】由集合即可得.
故選：B
2. 已知復數(shù)，若，則的實部與虛部的比值為（）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的模長公式化簡可得，即可求解.
【詳解】設,則由可得，
化簡得，故的實部與虛部的比值為1，
故選：C
3. 已知是正項等比數(shù)列，若成等差數(shù)列，則的公比為（）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由題意設出公比，根據(jù)等差中項的性質(zhì)建立方程，可得答案.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列為正項數(shù)列，則，
由為等差數(shù)列，則，，，
，解得或（舍去）.
故選：C.
4. 函數(shù)在區(qū)間上（）
A. 單調(diào)遞增B. 單調(diào)遞減
C. 先減后增D. 先增后減
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，，設，利用解析式組成即可判斷在上單調(diào)遞減，由零點存在定理，判斷存在唯一的，使得，由此可判斷與在和上的大小關(guān)系，即可判斷的單調(diào)性.
【詳解】因即，
設，顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，
由零點存在定理，存在唯一的，使得，
當時，，則，此時在上單調(diào)遞增；
當時，，則，此時，在上單調(diào)遞減.
即函數(shù)在區(qū)間上先增后減.
故選：D.
5. 放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：，其中指初始質(zhì)量，為衰變時間，為半衰期，為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，計算即可得解.
【詳解】由題意可得，即，
即.
故選：A.
6. 若函數(shù)在時取得極小值，則的極大值為（）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)求導，結(jié)合極小值的定義建立方程求得參數(shù)，還原函數(shù)解析式明確定義域，求導列表，可得答案.
【詳解】由函數(shù)，求導可得，
由題意可得，則，解得，
所以，則，
，令，解得或，
可得下表：
則函數(shù)的極大值為.
故選：D.
7. 若函數(shù)在區(qū)間上有唯一極值點，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)極值的定義求導，結(jié)合余弦函數(shù)求得導函數(shù)的零點，由題意求得相鄰的零點，建立不等式組，可得答案.
【詳解】由函數(shù)，求導可得，
由題意可得方程在區(qū)間上存在唯一解，
由方程，解得，由題意取原點附近相鄰兩個解，
即當時，；當時，，
①令，解得；②令，無解.
故選：B
8. 在中，角所對的邊分別為，已知，點在所在的平面內(nèi)，滿足，且，則（）
A. 有最大值10B. 有最小值10
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】D
【解析】
【分析】由，結(jié)合向量線性運算可得平分，即可得，再結(jié)合余弦定理及基本不等式計算即可得.
【詳解】由，則，即，
，
故，由、都為單位向量，故平分，
故，
則，則，
當且僅當時，等號成立，
即，即有最小值.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助，結(jié)合向量線性運算得到平分.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 與有相同的最小正周期
B. 與有相同的最大值
C. 與的圖象有相同的對稱軸
D. 將的圖象繞點旋轉(zhuǎn)可得到的圖象
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于，由可以判斷；對于，；對于，利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱軸，即可求出與的對稱軸；對于D，只需判斷與是否關(guān)于點對稱即可.
【詳解】對于，和中的均為，
由知，和的最小正周期相同，故A正確；
對于，當時，；
當時，，故B正確；
對于，令得，
的對稱軸方程為，
令得，
的對稱軸方程為，
和的對稱軸不相同，故C錯誤；
對于D，設的關(guān)于點的對稱函數(shù)為，
則圖象上任意一點關(guān)于點的對稱點在圖象上，
，化簡得，
圖象繞點族轉(zhuǎn)后可得到的圖象，故D正確；
故選：ABD.
10. 如圖，是邊長為1的等邊三角形，，點在以為直徑的半圓上（含端點），設，則（）

A. 的值不可能大于1B.
C. 的最小值為D. 的最大值為1
【答案】BD
【解析】
【分析】對于A，利用反例，結(jié)合平面向量的基本定理，作平行四邊形，可得答案；
對于B，根據(jù)等邊三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運算，可得答案；
對于C、D，利用平面向量的線性運算，整理所求數(shù)量積僅僅只有一個變量，根據(jù)三角函數(shù)的值域，可得答案.
【詳解】對于A，過點作交延長線于，過點作交于，作圖如下：

在平行四邊形中，，由，則，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C、D，作圖如下：

，
在等邊三角形中，易知，則，，
設與的夾角為，易知，則，
所以，故C錯誤，D正確.
故選：BD.
11. 已知數(shù)列滿足，且則（）
A. B.
C. 當時，D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換計算可得，再利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式為，可知B錯誤，計算可得A正確，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可判斷C正確，再由同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得D正確.
【詳解】由可得
；
即，，
所以，
因此，
；
累乘可得；
所以，即，可得，即A正確；B錯誤；
當時，，所以可得；
又可得，即，可知C正確；
由可得，又，，
因此，
又時，易知，所以，
即可得，即D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)恒等變換以及累乘法得出數(shù)列滿足，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性以及平方關(guān)系計算可得相應結(jié)論.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，使得，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】將帶存在量詞的不等式成立命題轉(zhuǎn)化為不等式在給定區(qū)間上的能成立問題，繼而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題即得.
【詳解】由，使得，即在上能成立，
即要求在上的最小值.
因在上為增函數(shù)，故，
故得，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：[1,+∞).
13. 如圖是利用尺規(guī)作圖得到的一個“九芒星”圖形，若九芒星的頂點將圓九等分，設相鄰兩個頂點之間的劣弧對應的圓心角為，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式即可求解.
【詳解】由題可知，，所以，
因為
，
即，
又因為，所以，
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集中有且僅有2個整數(shù)，則實數(shù)的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性可得的解集中有且僅有2個整數(shù)，設，利用導數(shù)討論其單調(diào)性后可得實數(shù)的最大值.
【詳解】設，
因為均為上增函數(shù)，故為上的奇函數(shù)，
又，
由不等式可化為，
即，故，
故的解集中有且僅有2個整數(shù)，
故的解集中有且僅有2個整數(shù)，設，
則，
則當時，h′x0，
故hx在0,1上為減函數(shù)，在1,+∞上為增函數(shù)，
故，
故的最大值為，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為不等式的解集中的整數(shù)個數(shù)問題.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，且.
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比數(shù)列的定義可得出，在等式兩邊同時除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減法可求得.
【小問1詳解】
因為是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，
所以，即，
又，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以，
所以，。
則，
上述兩個等式作差可得
，
故.
16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且
（1）求；
（2）若的外接圓半徑為，周長為，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)弦切互化以及和差角公式可得，即可結(jié)合正弦定理求解，
（2）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可利用三角恒等變換求解.
【小問1詳解】
因為,
故，
所以.
因為，所以，
又，所以.
【小問2詳解】
由正弦定理可知，
因為，所以，
所以.
所以
又，所以，
所以，故.
17. 已知函數(shù)
（1）求的圖象在點處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運用導數(shù)幾何意義得到斜率，進而求得切線；（2）令，借助導數(shù),分類討論研究得單調(diào)性，根據(jù)導數(shù)正負，得到單調(diào)性即可.
【小問1詳解】
由題可知，
則，又，
故的圖象在點處的切線方程為.
【小問2詳解】
令，
則.
當時，，故在上存在零點，
記其中最小的零點為，則在上恒為正，在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，不符合題意
當時，在上有，
故在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞減.
故在上單調(diào)遞減，符合題意
故的取值范圍為.
18. 已知函數(shù).
（1）當時，求的零點個數(shù)；
（2）設，函數(shù).
（i）判斷的單調(diào)性；
（ii）若，求的最小值.
【答案】（1）2個（2）（i）在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)導數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理即可得結(jié)論；
（2）（i）求導，利用導數(shù)的正負即可判斷函數(shù)單調(diào)性；
（ii）利用得到是關(guān)于的方程的兩個不同的實根，從而得到，即，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解，即可得答案.
【小問1詳解】
由題可知，則，
令，可得，
當時在單調(diào)遞減，
當時在單調(diào)遞增，
，
又，即在和內(nèi)各有一個零點，
有2個不同的零點.
【小問2詳解】
（i）由題可知，
則
令，可得或，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.
（ii）由，可得是關(guān)于的方程的兩個不同的實根，
故，即.
故
，
設，
當時，，
為上的增函數(shù)，的最小值為，
故的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是求最小值時，要利用得到是關(guān)于的方程的兩個不同的實根，從而得到，即，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解.
19. 設有窮數(shù)列的項數(shù)為，若（為常數(shù)，且），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列，叫做該數(shù)列的公共積.
（1）若是公共積為的等積數(shù)列，求該數(shù)列的公共積及；
（2）若是公共積為的等積數(shù)列，且（且為常數(shù)），證明：當時，對任意給定的，數(shù)列中一定存在相等的兩項；
（3）若是公共積為1的等積數(shù)列，且是奇數(shù)，對任意的都存在正整數(shù)，使得，求證：是等比數(shù)列.
【答案】（1），
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等積數(shù)列定義求解可得答案；
（2）當時，根據(jù)等積數(shù)列定義，、及可得答案；
（3）設，利用是公共積為1的等積數(shù)列得，存在正整數(shù)，使得，必有，再有，得是公比為的等比數(shù)列可得答案.
【小問1詳解】
為等積數(shù)列，.
；
【小問2詳解】
當時，
是公共積為的等積數(shù)列，，
又.
又，
，即原命題得證；
【小問3詳解】
設
是公共積為1的等積數(shù)列，且，
對任意的，都存在正整數(shù)，使得，
，這項均為中的項，
由題可知，，
必有，
又，
是公比為等比數(shù)列.
是公比為的等比數(shù)列.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是利用等積數(shù)列的定義和等比數(shù)列的定義求解.f′x
極大值
極小值

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