【湖南卷】湖南省永州市新田縣第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時間：2024年11月23日
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項符合題目要求．）
1. 已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2 已知集合，則（）
A. B. C. D.
3. “其身正，不令而行；其身不正，雖令不從”出自《論語·子路》．意思是：當政者本身言行端正，不用發(fā)號施令，大家自然起身效法，政令將會暢行無阻；如果當政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會服從遵守．根據(jù)上述材料，“身正”是“令行”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 已知為定義在R上的奇函數(shù)，當時，．若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A. B. C. D.
5. 將6棵高度不同景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（）
A. 20種B. 40種C. 80種D. 160種
6. 將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個極大值點，則ω的最大值為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知雙曲線的左焦點為，為坐標原點，若在的右支上存在關(guān)于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為（）
A. B. C. D.
8. 已知為函數(shù)的零點，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）
9. 已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 向量與向量垂直
10. 如圖，在正三棱柱中，M，N，D，Q分別為棱的中點，，則以下結(jié)論正確的是（）
A. 平面B.
C. 點Q到平面的距離為D. 三棱錐的外接球表面積為
11. 已知拋物線焦點為F，A，B，P為拋物線C上的點，，若拋物線C在點A，B處的切線的斜率分別為，且兩切線交于點M．N為拋物線C的準線與y軸的交點．則以下結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 直線PN的傾斜角
C. 若，則直線AB的方程為D. 的最小值為2
非選擇題部分
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知______________．
13. 已知某中學(xué)的3個年級各有學(xué)生300，300，400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從3個年級的學(xué)生中抽取10人，對他們的體重進行了統(tǒng)計．若3個年級被抽到的學(xué)生體重的平均值分別為48，52，55kg，方差分別為4，10，1．將這10名學(xué)生體重W（kg）作為樣本，則樣本的方差為______．
14. “四進制”是一種以為基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字，，，來表示數(shù)值．四進制在數(shù)學(xué)和計算的世界中呈現(xiàn)出多個維度的特性，對于現(xiàn)代計算機科學(xué)和技術(shù)發(fā)展有著深遠的影響．四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的方法是通過將每一位上的數(shù)字乘以的相應(yīng)次方（從開始），然后將所有乘積相加．例如：四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為；四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為；四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為；現(xiàn)將所有由，，組成的位（如：，）四進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，在這些十進制數(shù)中任取一個，則這個數(shù)能被整除的概率為______．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值.
16. 已知，函數(shù)在點處切線過點.
（1）求實數(shù)b的值；
（2）證明：上單調(diào)遞增；
（3）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
17. 如圖，四邊形中，．

（1）求；
（2）為邊上一點，且的面積為，求的外接圓半徑．
18. 已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且直線與的斜率之積為．
（1）求C的方程；
（2）直線與C交于M，N兩點，與y軸交于點A，與x軸交于點B．
（ⅰ）若A，B恰為弦MN的兩個三等分點，求直線l的方程；
（ⅱ）若點B與點重合，線段MN的垂直平分線與x軸交于點Q，求的值．
19. 密碼學(xué)是研究編制密碼和破譯密碼的技術(shù)科學(xué)．研究密碼變化的客觀規(guī)律，應(yīng)用于編制密碼以保守通信秘密的，稱為編碼學(xué)；應(yīng)用于破譯密碼以獲取通信情報的，稱為破譯學(xué)，總稱密碼學(xué)．20世紀70年代，一些學(xué)者提出了公開密鑰體制，即運用單向函數(shù)的數(shù)學(xué)原理，以實現(xiàn)加、脫密密鑰的分離．加密密鑰是公開的，脫密密鑰是保密的．這種新的密碼體制，引起了密碼學(xué)界的廣泛注意和探討．某數(shù)學(xué)課外小組研究了一種編制密碼的方法：取任意的正整數(shù)n，將小于等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)從小到大排列，即為密碼．記符合上述條件的正整數(shù)的個數(shù)為．
（1）求數(shù)列的前5項和；
（2）求的表達式和的值；
（3）記，數(shù)列的前n項和，證明．