注意事項：
1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．
2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．
3．答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．若，則復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
3. 已知和的夾角為，且，則（ ）
A. 9B. C. 3D. 9
4.設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，都是銳角，，，則（ ）
A．B． C．D．
6. 設(shè)，分別是橢圓的右頂點和上焦點，點在上，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)定義域為，且為奇函數(shù)，，則一定正確的是（ ）
A. 的周期為2B. 圖象關(guān)于直線對稱
C. 為偶函數(shù)D. 為奇函數(shù)
8. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，當最大時在區(qū)間上的零點個數(shù)為（ ）
A. 466B. 467C. 932D. 933
二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（ ）
A．不共線，且，則.
B．若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．已知，則在上的投影的坐標為
D．已知點為的垂心，則
10．某中學積極組織學生參加課外體育活動.現(xiàn)操場上甲、乙兩人玩投籃游戲，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則繼續(xù)投籃，若未投中，則換另一人投籃.假設(shè)甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由擲兩枚硬幣的方式確定第一次投籃的人選（一正一反向上是甲投籃，同正或同反是乙投籃），以下選項正確的是（ ）
A．第一次投籃的人是甲的概率為
B．已知第二次投籃的人是乙的情況下，第一次投籃的人是甲的概率為
C．第二次投籃的人是甲的概率為
D．設(shè)第次投籃的人是甲的概率為，則
11. 如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點，且，，，則（ ）
A. 當時，直線與所成角余弦值為
B. 當時，四面體的體積為
C 當且面時，
D. 當時，
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是 .
13．已知，且，則 .
14．設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點，點是右支上一點，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為______．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15．（本題滿分13分）
如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的正弦值.
16．（本題滿分15分）
在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．
（1）求；
（2）若角的平分線交邊于點，，求面積的最小值．
17．（本題滿分15分）
在數(shù)列中，，其前n項和為，且（且）.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
18．（本題滿分17分）
己知函數(shù)．
（1）當時，判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）當時，恒成立，求的取值范圍；
（3）設(shè)，在的圖像上有一點列，直線的斜率為，求證：．
19．（本題滿分17分）
已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．
（1）求橢圓的標準方程：
（2）設(shè)橢圓的右頂點為、是橢圓上不與頂點重合的動點．
（i）若點，點在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點，設(shè)和的面積分別為，若，求點的坐標：
（ii）若直線與直線交于點，直線交軸于點，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．
2024-2025學年祁陽一中第一學期期中考試試題 2024.11
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上．
1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B
二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分．
9． BD 10．BCD 11．ACD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
12．87.5 13．2或64 14．2
四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
解：（1）證明：如圖所示，取中點，為等邊三角形，，…………..2分
又面垂直于底面，交線為，
得面，…………..3分
又面.…………..4分
底面為直角梯形，，，
，，，
所以，，，
所以，得，…………..5分
又，得面，面，所以.…………..6分
（2）由（1）知面，
不妨設(shè)，則，
以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系，…………..7分
得，B1,0,0，C1,1,0，……………..8分
，，；…………..9分
設(shè)平面的一個法向量為，
則，，
可??；…………分
設(shè)平面的一個法向量為m=x1,y1,z1，
則，即，
可取.…………分
設(shè)平面與平面夾角為，
則，…………分
所以平面與平面夾角的正弦值為.…………分
16．（本小題滿分15分）
解：（1）因為，
由正弦定理得，…………..2分
則，
即，…………..4分
又，所以，所以，
又，所以，…………..6分
所以，所以；…………..7分
（2）如圖，由題意及第（1）問知，，
且， …………..8分
∴，
∴，化簡得，
∵，，∴由基本不等式得，…………分
∴，…………分
當且僅當時，等號成立，…………分
∴，…………分
∴，…………分
故的面積的最小值為.…………分
17．（本小題滿分15分）
（1）因為，代入，
整理得，…………..2分
所以，…………..4分
以上個式子相乘得，
.…………..6分
當時，，符合上式，所以.…………..7分
（2）.…………..9分
所以，① ………….10分
，② ………….11分
①②得，
， …………分
所以. …………分
由得：，
因為，當且僅當時，等號成立， …………分
所以，即的取值范圍是. …………分
18．（本小題滿分17分）
解：（1）在上單調(diào)遞減，理由如下：
當時，，…………..1分
，，…..2分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，所以，…………..3分
所以，所以在上單調(diào)遞減.…………..4分
（2）當時，fx=sinx+ax3?x>0恒成立①，
當時，②，
，設(shè)ux=csx+3ax2?1x>0，…………..5分
時，
，設(shè)，…………..6分
當時，，
，…………..7分
要使①恒成立，由于②，則需恒成立，
所以恒成立，所以，.…………..8分
此時，
在0,+∞上單調(diào)遞增，u′x=?sinx+6ax>0，
ux=csx+3ax2?1x>0在0,+∞上單調(diào)遞增，f′x=csx+3ax2?1>0，
在0,+∞上單調(diào)遞增，…………..9分
使得fx=sinx+ax3?x>0恒成立.
綜上所述，的取值范圍是.…………分
（3）由（2）可知，當，時，fx=sinx+16x3?x>0恒成立，
即時，恒成立，…………分
下證：，
時，
，…………分
由上述分析可知，，即，則，
所以
=2i+1sin12i+11?122i+2>2i+112i+1?16?23i+31?122i+2
=1?16?22i+21?122i+2=1?76×122i+2+16×124i+4>1?76×122i+2，…………分
i=1n?1ki>n?1?76124+126+128+?+122n=n?1?76?1161?14n?11?14=n?1?718×14?14n
，即得證. 分
19．（本小題滿分17分）
解：（1）由題意得，解得…………3分
橢圓的標準方程為… ………4分
（2）（i）由（1）可得，
連接，因為，，
所以，
，…………5分
，所以， …………6分
所以直線的方程為，…………7分
聯(lián)立，解得或（舍去），
. …………8分
（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：， ……9分
又，，直線的方程為，
由，解得，
所以…………11分
由，得，
由，
則，所以，…………12分
則，
，…………13分
依題意、不重合，所以，即，
所以，
直線的方程為，…………14分
令即，解得，
，…………15分
，…………16分
為定值.…………17分

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