【河南卷】河南省部分示范性重點高中2024-2025學(xué)年2025屆高三第一（上）學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測（11.21-11.22）數(shù)學(xué)試卷+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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2025 屆高三第一學(xué)期 11 月質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)
全卷滿分 150 分，考試時間 120 分鐘.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B 鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合 A = {x ∈ Z y = lg(1- x )} ， B = {x x 2 - x - 2 ≤ 0} ，則 A ∩ B = ( )
A. {-1, 0, 1} B. {-1, 0} C. [-1, 1) D. (-1, 2)
則 z = ( )
3.要得到函數(shù) = 2 cs 的圖象，只需要把函數(shù) = 2 sin 的圖象 ( )
π π
A. 向右平移個單位長度 B. 向左平移個單位長度
3 3
C. 向右平移個單位長度 D. 向左平移個單位長度
4. 已知直線l1 ： (a -1)x + 2y +1 = 0 ， l2 ： ax + (1- a )y + 2 = 0 ，設(shè)甲： l1 丄 l2 ；乙： a = 2 ，則 ( )
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件 B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件 C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
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5.設(shè) a-, 為非零向量，若丄丄，則 cs <
1 1 1 1
A. B. - C. D. -
3 3 2 2
6.設(shè) Sn 為等比數(shù)列的前 n 項和，若 a1 = -1 ， a2 a8 = 4 ，則）
A. 1 B.2 C.3 D.5
7.若關(guān)于x 的不等式在上恒成立，則 a 的取值范圍是 ( )
D. [e, +∞)
8. 已知函數(shù) f (x ) 的定義域為 R ，且 f (x + y) + f (x -y ) = 2f (x )+ 2f (y ) ， f (1) = 1 ，設(shè)
an = f ，則）
二、多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9.記數(shù)列{an } 的前n 項和為 Sn ，且Sn = n2 + n (n ∈ N*) ，則 ( )
A. a3 = 6
〔 S )
B.數(shù)列 { n }是公差為 1 的等差數(shù)列
lan ,
C.數(shù)列的前n 項和為
D.數(shù)列{(-1)n an } 的前 2023項和為 -2024
10. 已知函數(shù) f (x ) = x3 + ax2 + bx + c ， x = 0 ， x = 3是 f (x ) 的兩個零點，且 f, (3) = 0 ，則 ( )
A. a + b + c = 4
B. x = 3為 f (x ) 的極小值點
C. f (x ) 的極大值為 4
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D.滿足 f (x ) > f (1) 的解集是{x x > 4 }
11. 已知函數(shù) f (x ) 的定義域為 R ，對于任意非零實數(shù)x, y ，均有 f > x ，且則
下列結(jié)論正確的為 ( )
A. f (0) = 0 B. f (x ) 為奇函數(shù)
C. f (2x)f (2-x) > 1 D. f (2024x ) ≥ 2024f (x )
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12.若 α 是第二象限角，且 tanα = - ，則 cs = .
13.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， A (1, 0) ，若點 P 滿足 2PO2 + PA2 = 2 ，則 △POA 面積的最大值為
.
____________
14.在 △ABC 中， A = ， AB = 2 ， D, E 兩點分別在邊 AB ，AC 上，若DE = DB ，則 AD 的最大值為
.
____________
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.（本小題滿分 13 分）
已知函數(shù) f (x ) = lg2 (|( - -1), 為奇函數(shù).
（1）求 a 的值；
（2）求滿足 f (x ) < lg2 (x + 2)- lgx 的 x 的取值范圍. 16.（本小題滿分 15 分）
已知函數(shù) f (x ) = cs wx cs (|(wx + ), + a (w > 0) 的最小正周期為 π , 且 f (x ) 的最大值為 2.
（1）求w 和 a 的值；
（2）若函數(shù) g(x ) = f (x )- m 在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點 x1 ，x2 ，求 m 的取值范圍及 f (x1 + x2 )
的值.
17.（本小題滿分 15 分）
在 △ABC 中，內(nèi)角A, B, C 的對邊分別為 a, b, c ，記 △ABC 的面積為 S， -B-→ . - = 2S .
（1）求 A 的值；
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已知 S = 3 ，D 為 AC 的中點， BD = 7b ，求 △ABC 的周長.
18.（本小題滿分 17 分）
已知數(shù)列{an } 的前n 項和為 Sn ，數(shù)列{bn }滿足2bn = an +1 ， Sn = nb1 + (n -1)b2 +… + 2bn-1 + bn ， a1 = b1 = 1 .
（1）求 {an } 的通項公式；
設(shè) cn = 求使得[c1 ]+ [c2 ]+… + [cn ] ≥ 2024 成立的 n 的最小整數(shù).（ [x] 表示不超過 x 的最大整
數(shù)）
19.（本小題滿分 17 分）
已知曲線 y = f (x ) 的圖象上存在 A, B 兩點，記直線 AB 的方程為 y = g (x ) ，若 AB 恰為曲線 y = f (x ) 的一條切線，且直線 y = g (x )與曲線 y = f (x )相切于 A, B 兩點， x ∈ R ，f (x ) ≤ g(x ) ，則稱函數(shù) f (x ) 為“切線上界 ”函數(shù).
（1）試判斷函數(shù) F(x ) = 2 sin2 x + sin 2x 是否為“切線上界 ”函數(shù).若是，求出一組點 A, B ；否則，請說明理由；
已知G切線上界 ”函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)w > 0 時， H (x ) = x + sin wx 為“切線上界 ”函數(shù).
2025 屆高三第一學(xué)期 11 月質(zhì)量檢測?數(shù)學(xué) 參考答案、提示及評分細(xì)則
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一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】B
【解析】由1— x > 0 ，解得 x < 1 ，且 x ∈ Z ，由 x2 — x — 2 = (x — 2)(x +1) .0 ，解得 —1 .x .2 ，所以 A ∩ B = {—1, 0} ，故選 B.
2.【答案】A
因為 = i ，所以 z = 所以，故選 A.
3.【答案】D
= 2cs = 2sin = 2sin 所以只需把 = 2sin
π
的圖象向左平移個單位長度，故選 D. 6
4.【答案】B
當(dāng) a = 1時，直線l1 : 2y +1 = 0, l2 : x + 2 = 0 ，此時l1 丄 l2 ，當(dāng) a ≠ 1時， = —1，解得 a = 2 ，
所以甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選 B. 5.【答案】D
設(shè) < 由丄，可得 . ，即i csθ= — . 同理，由丄
可得i . i . csθ= — ，所以 , cs < .故選 D.
6.【答案】C
由 a2 a8 = 4 ，則 a5 = ±2 ，因為q4 = > 0 ，所以 a5 = —2, q4 = 2 ，所以 = 1+ q4 = 3 ，
故選 C.
7.【答案】B
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
B
D
C
B
C
題號
9
10
11
答案
ACD
BCD
ACD
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易知 a > 0, x + 開在上恒成立，即 elna—x + lna — x .eln + ln ，設(shè)f (x ) = ex + x ，易知 f (x ) 單調(diào)遞增，因為 f
所以 lna — x .ln ，即 lna .x — lnx ，
令 = x — lnx ，則 g, ，當(dāng) x ∈ 時， g , < 0, g 單調(diào)遞減，
當(dāng)x ∈(1, +∞) 時， g , (x ) > 0, g(x )單調(diào)遞增，所以 g(x ) 的最小值為 g(1) = 1，
所以lna .1, a 的取值范圍是（0, e] ，故選 B. 8.【答案】C
【解析】令x = y = 0 ，則 f (0) + f (0) = 2f (0) + 2f (0) ，所以 f (0) = 0 ，令x = y = 1 ，則 f (2) + f (0) = 2f (1) + 2f (1) ，所以f (2) = 4 ，
令y = 1, x = n ，則 f (n +1) + f (n —1) = 2f (n)+ 2f (1) = 2f (n)+ 2 ，所以 f (n +1)— f (n) = f (n)— f (n —1) + 2 ，即 an+1 — an = an — an — 1 + 2 ，設(shè)bn = an+1 — an ，則bn —bn — 1 = 2, b1 = a2 — a1 = 3 ，
所以bn = 3 + 2(n —1) = 2n +1 ，即 an+1 — an = 2n +1，所以 an = a1 + 3 + 5 +…+ 2n —1 = n 2 ，
, 故選 C.
二、多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9.【答案】ACD（全部選對得 6 分，選對 1 個得 2 分，選對 2 個得 4 分，有選錯的得 0 分）【解析】 a3 = S3 — S2 = 6 ，A 選項正確；
當(dāng) 時，an = Sn — Sn—1 = 2n ，且 a1 = 2 ，所以 an = 2n, 則數(shù)列是公差為的等差數(shù)
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列，B 選項錯誤項和為選項正確； nan = 2 = —2024 ，D 選項正確，故選 ACD.
10.【答案】BCD（全部選對得 6 分，選對 1 個得 2 分，選對 2 個得 4 分，有選錯的得 0 分）【解析】 x = 0, x = 3 是 f (x ) 的兩個零點， f (x ) 與x 軸相切，且f, (3) = 0 .
所以 f (x ) = x(x — 3)2 , f (1) = 1+ a +b + c = 4 ，所以 a +b + c = 3 ，A 選項錯誤；
f, (x ) = (x — 3)2 + 2x (x — 3) = 3 (x — 3)(x —1), x = 3 為 f (x ) 的極小值點，B 選項正確；
f, (x ) = (x — 3)2 + 2x (x — 3) = (x — 3)(3x — 3) ，所以x = 1為 f (x ) 的極大值點， f (1) = 4 .C 選項正確；因為 f (4) = f (1) = 4 ，D 選項正確；故選 BCD.
11.【答案】ACD（全部選對得 6 分，選對 1 個得 2 分，選對 2 個得 4 分，有選錯的得 0 分）
令y = —x ，則 = 0 ，則 f 故選項 A 正確；由已知 x ∈ R ，有 f > x ，①當(dāng)x > 0 時， > 1 ；②當(dāng)x < 0 時，又
, 則 > 0, :當(dāng) x < 0 時，0 < .
若 f (x )為奇函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)，與①②矛盾，故選項 B 錯誤；
由選項 B 可知 f 故選項 C 正確；
當(dāng)x = 0 時，由選項 A 知 f (0) = 0, : 顯然 f (2024x )開2024f (x )；
當(dāng)x ≠ 0 時，令 x + y = x2 , x = x1 ，且 x2 > x1 ，由選項 B 易知
x2 x1 x2 — x1 x1
:函數(shù)在定義域(—∞, 0) (0, +∞) 內(nèi)單調(diào)遞增，
:當(dāng) x > 0 時， 024f
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當(dāng)x < 0 時， 024f 故選項 D 正確；故選 ACD.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12.【答案及評分細(xì)則】 —
【解析】依題意， sinα = , csα = — ，所以 cs (|(α + ), = (csα — sinα) = — . 13.【答案及評分細(xì)則】
【解析】設(shè) P(x, y) ，依題意， 2 (x2 + y2 )+ (x —1)2 + y2 = 2 ，整理可得2 + y2 = 所以點 P
在圓心為(|( , 0), ，半徑為的圓上，所以 △POA 面積的最大值為
14.【答案及評分細(xì)則】 8 — 43
【解析】設(shè) AD = x, 上ADE = θ, 則DE = DB = 2 — x ，在 △ADE 中，由正弦定理可得：
, 所以 x =2= 8 — 4 所以當(dāng)θ= 時，
max
AD = 8 — 4 ·3 .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.【答案】（1）4（2） (0, 1)
【解析及評分細(xì)則】（1）依題意 = lg2 + lg2 整理得 = lg2
:(a — 2)2 = 4, :a = 4 或 a = 0 （舍），
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（2）由（1）可知， f (x ) = lg2 (|( ), , l— lg 2x = lg2
整理得， x2 + x — 2 = (x + 2)(x —1) < 0 ，解得 —2 < x < 1，
:滿足 f (x ) < lg2 (x + 2)— lgx 的x 的取值范圍是(0, 1) .
【解析及評分細(xì)則】（1） f (x ) = cswxcs wx + ), + a = cswx |(|( cswx — sinwx ),+ a ，
所以 f (x ) = cswx ((|cswx — sinwx,) + a = — + a
設(shè) f (x ) 的最小正周期為T ，則T = = π , 所以w = 1， f (x ) 的最大值為 + a = 2 ，所以 a = ；
由可知， f
— m 在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點x1 , x2 ，
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( π )
即x1, x2 為方程cs|(2x + 3 , = 2m -3 的兩個根，
易知 y = cst 在上單調(diào)遞增，在 [0, π ]上單調(diào)遞減，根據(jù)三角函數(shù)圖象， : .2m -3 < 1 ，解得 .m < 2 .
17.【答案】（1）（2） 5 +
2 bcsinA ，
→ → 1
【解析及評分細(xì)則】（1） 2S = 3AB . AC = 3bccsA ，又 S =
由bcsinA = bccsA ，解得 tanA = ， : A ∈(0, π ) ，得 A = ；
設(shè)上ADB = θ, 則上CDB= π -θ ,
在 △ADB 中，由余弦定理可得， c2 = 2 - 2× 7b csθ, 在 △CDB 中，由余弦定理可得， a2 = 2 - 2× 7b cs 兩式相加可得， c2 + a2 = = 4b2 ，
由（1）可得， c2 + b2 - a2 = bc, :2c2 -bc - 3b2 = (2c - 3b)(c + b) = 0 ，
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:△ABC 的周長為 5+ 7 .
18.【答案】（1） an = 2n -1 （2）46
【解析及評分細(xì)則】（1）因為nb1 + (n -1)b2 +… + bn = Sn ，則 (n +1)b1 + nb2 +… + 2bn + bn+1 = Sn+1 ，兩式相減可得b1 + b2 +…+ bn + bn+1 = an+1 ，即2b1 + 2b2 +…+ 2bn + 2bn+1 = 2an+1 ，
又因為2bn = an +1 ，則 (a1 +1) + (a2 +1) +… + (an +1) + (an+1 +1) = 2an+1 ，整理可得 Sn+1 + n +1 = 2an+1 ，則 Sn + n = 2an ，
兩式相減可得 an+1 +1 = 2an+1 - 2an ，則an+1 +1 = 2 (an +1) ，且 a1 +1 = 2 ，
可知數(shù)列{an +1} 是首項為 2 ，公比為 2 的等比數(shù)列，則 an +1 = 2 × 2n-1 = 2n ，所以 an = 2n -1；
易知
[c1 ] = [2 × 1-1] = 1, [c2 ] = |2 × 2 - = 2, [c3 ]= |2 × 3 - = 4, [c4 ]=「|L2 × 4 - = 6, [c5 ]= |2 × 5 - = 9
,
當(dāng)n開6 時，
2n = (1+1)n = C + C + C + C +…+ C-1 + C開2(n +1) + + = ，
所以 = 2n -1 ，
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所以當(dāng)n開6 時， [c1 ]+ [c2 ]+…+ [cn ] = 1+ 2 + 4 + 6 + 2× 5 -1+ 2× 6 -1+…+ 2n -1 = n2 - 3 ，所以 n2 - 3開2024 ，解得 n開46 ，
所以使得[c1 ]+ [c2 ]+…+ [cn ]開2024 成立的 n 的最小整數(shù)為 46.
19.【答案】（1）詳見解析詳見解析
【解析及評分細(xì)則】（1） F (x ) = 2sin2x + sin2x = 1- cs2x + sin2x = 1+ ，令 2sin 解得 x = kπ + ,k ∈ Z ，
:x = kπ + 為F 的極大值點，且 y = 1 + ·i2 為曲線 y = F (x ) 的一條切線. :F(x )為“切線上界 ”函數(shù)，可取 A 滿足題意；
（2）設(shè) x1 > x2, A (x1, G (x1 )), B (x2, G (x2 )) ，則G, (x1 ) = G, (x2 ) ，
當(dāng)x > 0 時， G, (x) = , G, (x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x < 0 時， G, (x ) = -2x, G, (x )單調(diào)遞減， :x1 > 0 > x2 ，
整理可得， A 點處的切線方程為
同理 B 點處的切線方程為： y + x + a = -2x2 (x - x2 ) ，
整理可得， y = -2x2 x + x - a ，
依題意， A, B 兩點處的切線方程重合，
設(shè) ，
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:φ(x )單調(diào)遞減， :a < φ( 設(shè) A 點處的切線為
-ln (x +1)(x > 0)，
, 當(dāng) x ∈ < 0, x ∈
:P(x )開P(x1 ) = 0, :P(x )開0, :G(x ).E(x ) ，設(shè)B 點處的切線為： Y (x ) = -2x2 x + x - a ，
Y (x )- G (x ) = -2x2 x + x - a + x2 + a = x2 + x - 2xx2 = (x - x2 )2 開0, :Y(x )- G (x )開0, G (x ).Y(x ) ，
綜上 a 的取值范圍為(|(-∞, ), ；
（3）易知， H, (x ) = 1 + wcswx ，設(shè) A(x1, x1 + sinwx1 ), B (x2, x2 + sinwx2 ) ， A, B 兩點處的切線方程分別為： y = (1+ wcswx1 )x + sinwx1 -wx1cswx1 ， y = (1+ wcswx2 )x + sinwx2 -wx2 cswx2 ，
:{ ，
〔1 + wcswx1 = 1 + wcswx2
lsinwx1 -wx1cswx1 = sinwx2 -wx2cswx2
:cswx1 = cswx2, w(x2 - x1 )cswx1 = sinwx2 - sinwx1 ，
不妨取x2 = x1 + , k ∈ Z ，
:2kπcswx1 = sinwx2 -sinwx1 = 0 ，解得x1 = 令 , x2 = ，則sinwx1 = 1, cswx1 = 0 ，
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:直線 AB 的方程為 y = x +1， : H(x ) = x + sinwx .x +1 ，
:當(dāng)w > 0 時， H (x ) = x + sinwx 為“切線上界 ”函數(shù).

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