一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：A.
2. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直線上的兩點(diǎn)求直線的斜率，由斜率可得傾斜角.
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，
由題得直線的斜率為，
因，
所以.
故選：D
3. 將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（ ）
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.
【詳解】，
又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，
則，解得.
故選：C
4. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量的定義，結(jié)合空間向量公式計(jì)算可求結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚?br>所以，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：C.
5. 已知某人收集一個(gè)樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70，方差為75，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中得兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90，在對錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平均數(shù)，方差計(jì)算公式可判斷各選項(xiàng)正誤.
【詳解】設(shè)其他48個(gè)數(shù)據(jù)依次為，
則，因?yàn)椋?br>因此平均數(shù)不變，即；又由方差計(jì)算公式可知：，
，
注意到，則.
故選：C.
6. 已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若與相互獨(dú)立，則
B. 若與互斥，則
C. 若，則事件與相互獨(dú)立
D. 若發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式逐項(xiàng)判斷.
【詳解】對于A，若A與B相互獨(dú)立，則，
所以，故A正確；
對于B，若A與B互斥，則，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)?，則，
因?yàn)?，所以事件A與相互獨(dú)立， 故C正確；
對于D，若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，則，則，故D正確．
故選：B.
7. 在我國古代，將四個(gè)角都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．在“鱉臑”中，平面，且，若該四面體的體積為，則該四面體外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意計(jì)算分析該幾何體可以擴(kuò)充為長方體，所以只用求長方體的外接球即可.
【詳解】因?yàn)槠矫?，且?，
而,所以，
所以該幾何體可以擴(kuò)充為正方體方體，所以只用求正方體的外接球即可.
設(shè)外接球的半徑為R ，則,
所以外接球的表面積為
故選：B
【點(diǎn)睛】多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：
(1)公式法；(2) 多面體幾何性質(zhì)法；(3)補(bǔ)形法；(4)尋求軸截面圓半徑法；(5)確定球心位置法．
8. 平行六面體底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點(diǎn)，則線段的長為（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長.
【詳解】由題意可知：，
則
，
所以.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo)．如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高
B. 1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)小于環(huán)比增長率的平均數(shù)
C. 1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差
D. 1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差
【答案】BCD
【解析】
【分析】由統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一判斷可得答案.
【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯(cuò)誤；
由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；
1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；
由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．
故選：BCD.
10. 給出下列命題，其中正確的是（ ）
A. 若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底
B. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)是
C. 若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線
D. 平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三個(gè)向量是否共面判斷A，由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面的對稱判斷B，由向量的運(yùn)算確定三點(diǎn)共線可判斷C，根據(jù)向量共線求參數(shù)可判斷D。
【詳解】對于A, 不共面，則不共面，所以也是空間的一個(gè)基底，故正確；
對于B, 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)是，故錯(cuò)誤；
對于C，由可得，即,
所以A，B，C三點(diǎn)共線，故正確；
對于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.
故選：ACD
11. 如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的為（ ）
A. 在中點(diǎn)時(shí)，平面平面
B. 異面直線所成角的余弦值為
C. 不在同一個(gè)球面上
D. 若，則點(diǎn)軌跡長度為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)正方體圖像特征證明面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)異面直線所成的角判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)五點(diǎn)共圓得到C；分析可知點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長度得到D.
【詳解】對于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，
在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，
易知平面在面內(nèi)，
所以面面，
所以面面，所以，
連接是正方形，，
因?yàn)槊婷?，所以?br>因?yàn)槊婷妫?br>所以面，因面，所以，
綜上，面面，又，
所以面面，故平面平面，故A正確；
對于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，則，
所以是異面直線所成的角，
又，則，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)，則，
所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C不正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，
所以，故，
所以點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，
所以，故D正確.
故選：AD
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，且，則__________.
【答案】4
【解析】
【分析】先表示出的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂直對應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系求解出的值.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，解得，
故答案為：.
13. 省農(nóng)科站要檢測某品牌種子的發(fā)芽率，計(jì)劃采用隨機(jī)數(shù)表法從該品牌800粒種子中抽取60粒進(jìn)行檢測，現(xiàn)將這800粒種子編號如下001，002，…，800，若從隨機(jī)數(shù)表第8行第7列的數(shù)7開始向右讀，則所抽取的第4粒種子的編號是__________.（如下是隨機(jī)數(shù)表第8行至第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 0 13 42 99 66 02 79 54
【答案】507
【解析】
【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取數(shù)據(jù)即可.
【詳解】由題意，依次讀取的種子的編號為：
785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507.
故所抽取的第4粒種子的編號為507.
故答案為：507
14. 設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若角C的內(nèi)角平分線，則的最小值為______．
【答案】8
【解析】
【分析】先根據(jù)，結(jié)合余弦定理求角C，再根據(jù)，再結(jié)合面積公式和基本不等式求出的最小值，再根據(jù)數(shù)量積定義求.
【詳解】因，所以，而角為三角形內(nèi)角，所以，

由，，
所以，
化簡得到，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，
所以的最小值為8.
故答案為：8.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為是邊上的高.
（1）求邊上的中線所在直線的方程；
（2）求高所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線的截距式方程即可求解；
（2）由兩垂直直線的斜率關(guān)系及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.
【小問1詳解】
AB的中點(diǎn)坐標(biāo)0,1，又，
所以邊上的中線所在直線的方程為：，即.
【小問2詳解】
因?yàn)槭沁吷系母撸?br>所以，所以，
所以，
因此高所在直線的方程為：，即.
16. 滬州堯壩古鎮(zhèn)位于四川省滬州市合江縣堯壩鎮(zhèn)，是川南醉美古鎮(zhèn)之一，歷史悠久，有“茶鹽古道”之稱.古鎮(zhèn)保存完好，有進(jìn)士牌坊?大鴻米店?東岳廟?王朝聞故居?周公館等古建筑群，形態(tài)自然，獨(dú)具特色.為更好地提升旅游品質(zhì)，隨機(jī)選擇名游客對景區(qū)進(jìn)行滿意度評分（滿分分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估計(jì)這名游客對景區(qū)滿意度評分的平均值；
（2）若采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的人評分分別在和內(nèi)各人的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率和為可求得，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的方法直接求解即可；
（2）根據(jù)分層抽樣原則可求得每組抽取的人數(shù)，采用列舉法可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
，，
平均值為.
【小問2詳解】
評分在和80,90的頻率之比為，
應(yīng)從評分在的組中抽取人，記作：；
評分在80,90的組中抽取人，記作：；
從人中隨機(jī)抽取人，則有，，，，，，，
，，，，，，，，共個(gè)基本事件；
其中滿足評分分別在和80,90內(nèi)各人的基本事件有：，，，，
，，，，共個(gè)基本事件；
評分分別在和80,90內(nèi)各人的概率.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，為棱的中點(diǎn)，
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線線平行得到線面平行即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，得到空間向量，求出平面法向量，由向量夾角余弦值求出線面角的正弦值.
【小問1詳解】
連接，再連接，
因?yàn)榈酌媸钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，
又為棱的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫?，底面正方形，即?br>故以點(diǎn)為原點(diǎn)，以向量為軸的方向向量，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
令，則，故n=1,?1,1，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為；
18. 如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.
（1）求證：平面；
（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得；根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可得，結(jié)合菱形對角線互相垂直和線面垂直判定定理可證得結(jié)論；
（2）方法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)面距離的向量求法可求得結(jié)果；
方法二：取的中點(diǎn)，作，，根據(jù)平行關(guān)系可將所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，由平面，結(jié)合長度關(guān)系可求得結(jié)果；
（3）方法一：設(shè)，根據(jù)面面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值，進(jìn)而得到結(jié)論；
方法二：假設(shè)存在點(diǎn)，根據(jù)二面角平面角的定義可知，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
連接，，
為等邊三角形，為中點(diǎn)，；
由題意知：平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，；
四邊形為平行四邊形，，
四邊形為菱形，，
分別為中點(diǎn)，，，
又，平面，平面.
【小問2詳解】
方法一：由（1）知：平面，；
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量m=x,y,z，
則，令，解得：，，，
點(diǎn)到平面的距離；
方法二：取的中點(diǎn)，連接，過作交于，
過作分別交的延長線于，則分別是的中點(diǎn)，
，平面，平面，平面，
點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離；
由（1）得：，平面，
平面，是直角三角形，
在菱形中，易得，，，
，，
即點(diǎn)到平面的距離為.
【小問3詳解】
方法一：，，，
設(shè)，，，
；
由（2）知：平面的一個(gè)法向量；
設(shè)平面的法向量n=a,b,c，
則，令，解得：，，；
，解得：（舍）或，
此時(shí)，
在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為，此時(shí)；
方法二：假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，取的中點(diǎn)，連接，
過作交于，連接，
，平面， 又由（1）得：，，
二面角的平面角為，；
在菱形中，作，
，，
，
為直角三角形，，，
在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為，此時(shí).
19. 在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．
（1）求經(jīng)過的直線的點(diǎn)方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，證明：；
（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大小．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求直線的方向向量，結(jié)合題意即可得直線方程；
（2）根據(jù)題意可得平面、、的法向量，進(jìn)而可求交線的方向向量，利用空間向量判斷線面關(guān)系；
（3）根據(jù)題意可得平面、的法向量，進(jìn)而可求交線的方向向量，根據(jù)線面關(guān)系可得，利用空間向量求面面夾角.
【小問1詳解】
由得，直線的方向向量為，
故直線的點(diǎn)方向式方程為．
【小問2詳解】
由平面可知，平面的法向量為，
由平面可知，平面的法向量為，
設(shè)交線的方向向量為，則，
令，則，可得，
由平面可知，平面的法向量為，
因?yàn)?，即?br>且，所以．
【小問3詳解】
因平面經(jīng)過三點(diǎn)，可得，
設(shè)側(cè)面所在平面的法向量，
則，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量為，
設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，
則，令，則，可得，
由平面可知，平面的法向量為，
因?yàn)?，解得，即?br>則，
故平面與平面夾角的大小為．

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