
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
CCCB DBAD
二、選擇題:本題共3小題,每小題5分,共15分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.BC 10.ACD 11.ACD
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.
13. (1) (2)11
14.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)命題實數(shù)x滿足,其中,命題實數(shù)x滿足.
(1)若,且p是真命題,求實數(shù)x取值范圍;
(2)若q是p的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)由命題實數(shù)滿足,其中,
當(dāng)時,即命題,解得分
(2)命題實數(shù)滿足,解得,
命題實數(shù)滿足,解得.分
因為是的充分不必要條件,則滿足,解得,
所以實數(shù)的取值范圍為.分
16.據(jù)觀測統(tǒng)計,某濕地公園某種珍稀鳥類的現(xiàn)有個數(shù)約只,并以平均每年的速度增加.
(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個數(shù);
(2)寫出(珍稀鳥類的個數(shù))關(guān)于(經(jīng)過的年數(shù))的函數(shù)關(guān)系式;
(3)約經(jīng)過多少年以后,這種鳥類的個數(shù)達到現(xiàn)有個數(shù)的倍或以上?(結(jié)果為整數(shù))(參考數(shù)據(jù):,)
解:(1)依題意,
兩年后這種鳥類的個數(shù)為分
(2)由題意可知珍稀鳥類的現(xiàn)有個數(shù)約只,并以平均每年的速度增加,
則所求的函數(shù)關(guān)系式為,. 分
(3)令,得:兩邊取常用對數(shù)得:,分
即
考慮到,故,故
因為
所以 分
約經(jīng)過15年以后,這種鳥類的個數(shù)達到現(xiàn)有個數(shù)的倍或以上. 分
17. 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
解:(1)因為在定義域R上是奇函數(shù).所以,
即,所以.又由,即,
所以,檢驗知,當(dāng),時,原函數(shù)是奇函數(shù). 分
(2)在上單調(diào)遞減.證明:由(1)知,
任取,設(shè),則,
因為函數(shù)在上是增函數(shù),且,所以,又,
所以,即,
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減. 分
(3)因為是奇函數(shù),從而不等式等價于,分
因為在上是減函數(shù),由上式推得,分
即對一切有恒成立,設(shè),
令,
則有,,所以,
所以,即的取值范圍為分
18.已知,函數(shù).
(1)當(dāng)時,求使成立的的集合;
(2)若在區(qū)間的最大值為2,求實數(shù) 的值;
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
(1) 分
(2)
(i)當(dāng) 時,
,在區(qū)間的最大值 ,舍
,在區(qū)間的最大值 ,舍分
(ii)當(dāng) 時,
在區(qū)間的最大值 ,成立分
(iii)時 ,此時在區(qū)間的最大
值 ,成立分
分
分
分
分
分
分
19. 已知函數(shù) 是偶函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù) 的最小值為﹣3,求實數(shù)m的值;
(3)若關(guān)于x的方程有兩根,求實數(shù) k的取值范圍.
解:(1)
,
而
∴2ax+2x=0?a=﹣1;分
(2),
∴,
故函數(shù)g(x)=22x+2﹣2x+m(2x+2﹣x)的最小值為﹣3,
令2x+2﹣x=t(t≥2),分
故h(t)=t2+mt﹣2(t≥2)的最小值為﹣3,
則,或,分
解得;分
(3)由,
令,
故當(dāng)x≥0時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
由函數(shù)f(x)為偶函數(shù),可知函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[0,+∞),減區(qū)間為(﹣∞,0),
令n=f(x)﹣1,有n≥f(0)﹣1=lg22﹣1=0,
方程[f(x)﹣1+k][f(x)﹣1﹣4k]+2k2+k=0(記為方程①)可化為(n+k)(n﹣4k)+2k2+k=0,
整理為n2﹣3kn﹣2k2+k=0(記為方程②),分
Δ=9k2﹣4(﹣2k2+k)=17k2﹣4k,
(i )當(dāng)Δ=0時,k=0時,方程②的解為n=0,可得方程①僅有一個解為x=0;
時,方程②的解為,可得方程①有兩個解;分
(ii)當(dāng)Δ>0時,可得或k<0,
令n2﹣3kn﹣2k2+k,則 一正一負兩根,
分
或k<0或分
(若令 則 ,方法類似)
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