命題人：張偉、劉海林、江大軍 審題人：張曉波、陳蕾
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一項(xiàng)是符合要求的．
1．直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
2．已知空間中，點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量為（ ）
A．B．C．D．
3．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．1B．C．2D．
4．拋物線上一點(diǎn)到的距離的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
5．已知圓和，若動(dòng)圓與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，曲線由三部分構(gòu)成：半圓，半圓，半橢圓，直線交于，動(dòng)點(diǎn)在曲線上，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．4
8．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左、右支分別交于的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．如圖，已知正方體的棱長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．平面
C．直線與平面所成的角為
D．點(diǎn)與平面的距離為
10．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為
B．的最大值為
C．的最大值為
D．的最大值為5
11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線右支相交于（其中在一象限），若，則列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．的面積為15
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到的距離為_______．
13．已知拋物線，直線與拋物線相交于，且的中點(diǎn)為，則_______．
14．平面點(diǎn)集所構(gòu)成區(qū)域的面積為_______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知圓，圓，直線．
（1）若圓與圓外切，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若與圓都相切，求實(shí)數(shù)的值．
16．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為銳角，求的取值范圍．
17．如圖，在四棱錐中，，，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）若，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值．
18．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線相交于，且．雙曲線上任意一點(diǎn)到的距離與到的距離的比為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率存在且不為0的直線與雙曲線相切．
①若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)證明：為定值；
②若與直線和分別相交于，證明：四點(diǎn)共圓．
19．已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作斜率為1的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對稱，再過作斜率為1的直線交與另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對稱，以此類推一直做下去，設(shè)．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求；
（3）求的面積．
高2026屆高二（上）半期考試數(shù)學(xué)參考答案
3．【答案】【詳解】，所以．
4．【答案】C【詳解】，當(dāng)時(shí)取得
5．【答案】A
【詳解】圓心、半徑分別為，
由可知圓內(nèi)含于圓內(nèi)，
設(shè)動(dòng)圓半徑為，由題意，
兩式相加可得，
故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，
所以，所以橢圓方程為．
6．【答案】A
【詳解】由條件可知，，
，
，
，所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
7．【答案】B
【詳解】，故
顯然當(dāng)點(diǎn)在半圓上且時(shí)，面積最大
故
8．【答案】D
【詳解】設(shè)，則
故在和中由余弦定理可得
解得，則
，則
9．【答案】ABD
10．【答案】BCD
【詳解】，設(shè)，
對于A，則
對于B
對于C，設(shè)，則，故
對于D，
11．【答案】ACD
【詳解】，則，A正確
由，知，則，
中由余弦定理可得，故，B錯(cuò)誤
設(shè)，則中由余弦定理可的，
則，C正確
，D正確
12．【答案】
【詳解】，故，
設(shè)直線與直線所成的角為，則，故，
點(diǎn)到直線的距離為．
13．【答案】3
【詳解】由點(diǎn)差法可得，則
14．【答案】
【詳解】由題設(shè)表示圓心為，其在圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓上顯然軌跡是圓心在單位圓上，且半徑為5的圓，故點(diǎn)集與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)恒為6，最近恒為4，
所以的軌跡為圓心為，外徑為6，內(nèi)徑為4的圓環(huán)，
所以平面點(diǎn)集所構(gòu)成區(qū)域的面積為．
15．【答案】（1）或；（2）或
【詳解】（1）
則，解得或
（2），解得（舍負(fù)），，故或
16．【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）設(shè)橢圓，則，即
（2）由（1）知，設(shè)，
方法1：
顯然，則不妨設(shè)，其中，
聯(lián)立橢圓方程，則，
易知，由為銳角可得
，故．
方法2：設(shè)
聯(lián)立橢圓方程
則，易知
由為銳角可得
化簡的．
17．【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】（1）由題意：，同理，
又．而，即
又平面平面，平面平面平面，
平面平面，又，
且面面平面
（2）以為原點(diǎn)，為軸，過作平面的垂線作為軸，如圖建系，
則，
，
，有
令是平面的一個(gè)法向量，則，即
令，則，即
取面的一個(gè)法向量，
，解得．
18．【答案】（1）；（2）①；②見詳解
【詳解】（1）在雙曲線上，則
設(shè)，則，即
注：取直接，則，也不扣分
又，解得，即
（2）設(shè)帶入雙曲線得
故
①
故
②
故
即，同理，故四點(diǎn)在以為直徑的圓上
19．【答案】（1）；（2）；（3）16
【詳解】（1）
（2）方法一：在拋物線上，則
過，且斜率為1的直線
可得
解得或，所以，可得，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以
方法二：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，
所以，兩式相減得：．
所以：可得，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以
（3）方法一：，則直線，
到直線的距離
故
方法二：
則直線，設(shè)直線與相交于
令，可得，即
則
則
方法三：由（2）知：，
設(shè)
則梯形的面積為
即，同理可得，
又梯形的面積為
，
即，則的面積為：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
C
B
D
C
A
A
B
D
ABD
BCD
ACD
3

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