2025屆云南省長水教育集團(tuán)高三(上)11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份2025屆云南省長水教育集團(tuán)高三(上)11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版），共13頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br>由，
所以或，
解得或或1，
經(jīng)檢驗(yàn)集合中元素的互異性，把或舍去，
所以.
故選：A.
2. “，”成立的充分必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】當(dāng)即時(shí)，，，所以；
當(dāng)即時(shí)，，.
故選：C.
3. 國家射擊運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練中的8次射擊成績（單位：環(huán)）分別為10，7，8，10，，10，8，6，其中為整數(shù)，若這8次射擊成績的中位數(shù)為9，則（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】D
【解析】將成績（除了）從小到大排列為：6，7，8，8，10，10，10，
結(jié)合選項(xiàng)，只有時(shí)，這8次射擊成績的中位數(shù).
故選：D.
4. 已知，，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)椋?，所以，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
所以的最小值為.
故選：B.
5. 已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則該正四棱錐側(cè)棱和底面所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖，正四棱錐中，是底面中心，是中點(diǎn)，則是棱錐的高，是斜高，是側(cè)棱與底面所成的角，
設(shè)底面邊長為，，
由已知，則，又，
所以，而，
所以，.
故選：D．

6. 設(shè)向量與的夾角為，定義，已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，
即，則，
故，得，
，，
.
故選：D.
7. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，，易知?br>所以，即，
又，所以，
故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
則，故，
所以.
故選：A.
8. 設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)為，，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖：由題意不妨設(shè)Px1,y1在第一象限，知，
因?yàn)?，所以?br>所以，
則，且，即，
又由，所以，又，即，
結(jié)合解得，
代入中，整理得，
即，解得（舍）或.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A. B.
C. 的虛部為2D. 點(diǎn)在直線上
【答案】ACD
【解析】，
，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
的虛部為2，故C正確；
點(diǎn)坐標(biāo)代入直線成立，故D正確.
故選：ACD.
10. 設(shè)為正實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的一條對稱軸為
B. 已知，，且的最小值為，則
C. 當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)
D. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對稱軸為,即,不能取到,A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以，B正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)，故C正確；
D選項(xiàng)，∵，則，
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，D正確；
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)的極值點(diǎn)，則（ ）
A. 是的極小值點(diǎn)B. 有三個(gè)零點(diǎn)
C D.
【答案】ABD
【解析】由，得，
由是函數(shù)的極值點(diǎn)，得，解得，
故函數(shù)，，
令，解得或，
所以函數(shù)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故為極小值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
又，，，，
所以函數(shù)分別在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，共三個(gè)零點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；
又在上單調(diào)遞減，且，
所以，
又，故，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
同理，且，
，D選項(xiàng)正確；
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
.
13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，若以軸正方向的射線繞焦點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，過作軸，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為______．
【答案】
【解析】由題知焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線為，直線的方程為：，
聯(lián)立，可得，
所以或（舍），，，
所以．
14. 已知一個(gè)圓臺的側(cè)面積為，下底面半徑比上底面半徑大，母線與下底面所成角的正切值為，則該圓臺的外接球(圓臺的上、下底面圓周上的點(diǎn)均在球面上)的體積為________．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)、分別為上下底面圓心，為母線，為點(diǎn)在底面的投影，
為該圓臺的外接球球心，
由該圓臺的側(cè)面積為，則有，
即，
由下底面半徑比上底面半徑大，則有，
由母線與下底面所成角的正切值為，則有，即，
又，即有，
則，即，則，
則有，
即，即，即，
設(shè)該圓臺的外接球半徑為，則,
故該圓臺的外接球體積.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若，，求c.（提示：.）
解：（1）因，
所以由正弦定理得：，即，
所以由余弦定理的：，
因?yàn)锽∈0,π，所以.
（2）由（1）可知，，，
由正弦定理得，所以，
所以，
所以，因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得：，
所以.
16. 如圖，長方體中，點(diǎn)分別在上，且，.
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.
（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>又且，平面，所以平面，
且平面，故，同理，，
平面，
所以平面.
（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，
在平面中，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，可取
由（1）知，平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
故所求的夾角的余弦值為.
17. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1），
解得，
因?yàn)閤∈0,π，所以，
當(dāng)，當(dāng)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2），
當(dāng)時(shí)，由可得不成立，
當(dāng)時(shí)，，
令恒成立，
故在單調(diào)遞減，
所以，
所以的取值范圍為.
18. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．
解：（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，
故，平方后化簡可得，
故點(diǎn)的軌跡的方程為：
（2）由題意，,
設(shè)直線的方程為，,，,，
由，可得，
所以，．
則，，
所以
；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，
綜上，為定值．

19. 現(xiàn)有n枚質(zhì)地不同的游戲幣，向上拋出游戲幣后，落下時(shí)正面朝上的概率為.甲、乙兩人用這n枚游戲幣玩游戲.
（1）甲將游戲幣向上拋出10次，用表示落下時(shí)正面朝上的次數(shù)，求的期望，并寫出當(dāng)為何值時(shí)，最大（直接寫出結(jié)果，不用寫過程）；
（2）甲將游戲幣向上拋出，用表示落下時(shí)正面朝上游戲幣的個(gè)數(shù)，求的分布列；
（3）將這枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時(shí)正面朝上的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請判斷這個(gè)游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.
解：（1）依題意得：每次拋游戲幣落下時(shí)正面向上的概率均為，
故，于是，
當(dāng)時(shí)，最大.
（2）記事件為“第枚游戲幣向上拋出后，正面朝上”，
則，Y可取.由事件相互獨(dú)立，
則.
；
；
；
故分布列為：
（3）不妨假設(shè)按照的順序拋這n枚游戲幣；
記拋第枚游戲幣后，正面朝上的游戲幣個(gè)數(shù)為奇數(shù)的概率為；
于是；
即，即.
記，則，
故數(shù)列bn為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列；
故，則，
故，則，因此公平.X
0
1
2
3
P