1．（4分）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．2B．C．﹣4D．0
2．（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣4），則反比例函數(shù)的解析式為（ ）
A．y＝﹣4xB．y＝C．y＝﹣D．y＝4x
4．（4分）如圖，將?ABCD的一邊BC延長至點(diǎn)E，若∠1＝65°（ ）
A．120°B．105°C．125°D．115°
5．（4分）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，點(diǎn)O為位似中心，AO＝3，則OA'的長度為（ ）
A．3B．6C．9D．12
6．（4分）估計(jì)的值應(yīng)該在（ ）
A．7和8之間B．8和9之間
C．9和10之間D．10和11之間
7．（4分）小蘭和小紅買了很多愛心形狀的糖果，想按如下規(guī)律繼續(xù)擺放下去，需知道心形糖果的數(shù)量．已知第1個(gè)圖形有4個(gè)，…，照此規(guī)律下去，則第9個(gè)圖形需要（ ）
A．57B．56C．66D．67
8．（4分）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABO＝36°（ ）
A．54°B．30°C．36°D．60°
9．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥CE交AD延長線于F，若tan∠ADB＝3，則（ ）
A．3B．3.5C．D．
10．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題：（本大題共8小題，每小題4分，共32分）將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11．（4分）計(jì)算：（π﹣3）0﹣|﹣5|＝ ．
12．（4分）在桌面上放有四張背面完全一樣的卡片，卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣2，0，﹣1，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻 ．
13．（4分）若正多邊形的一個(gè)外角為30°，則這個(gè)多邊形為正 邊形．
14．（4分）為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的倡導(dǎo)，某市2022年投入經(jīng)費(fèi)4000萬元用于環(huán)境治理，2024年投入經(jīng)費(fèi)6000萬元．設(shè)經(jīng)費(fèi)投入的年平均增長率為x ．
15．（4分）如圖：在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，若圓弧與線段BC交于點(diǎn)E，且弧線恰好過點(diǎn)O，則圖形中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留π）
16．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≥1，且關(guān)于y的分式方程，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是 ．
17．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，將△ADE沿著DE翻折到△FDE，則CF的長為 ．
18．（4分）一個(gè)兩位數(shù)M，若將十位數(shù)字2倍的平方與個(gè)位數(shù)字的平方的差記為數(shù)N，當(dāng)N＞0時(shí)，N＝（2×4）2﹣72＝15＞0，則47的“疊加數(shù)”為4715；M＝26（2×2）2﹣62＝﹣20＜0，則26沒有“疊加數(shù)”．那么34的“疊加數(shù)”是 ．若兩位數(shù)M＝10a+b（1≤a≤5，1≤b≤4，且a、b均為整數(shù)）有“疊加數(shù)”，且12a﹣M﹣N能被13整除 ．
三、解答題：（本大題共8小題，第19題8分，其余各題10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算題：
（1）（m+1）（m﹣1）+m（3﹣m）．
（2）．
20．（10分）電信詐騙，嚴(yán)重危害著人民群眾的財(cái)產(chǎn)安全．為提高大家的防范意識，南川區(qū)某校舉行了主題為“防電信詐騙（百分制）進(jìn)行整理描述和分析，成績得分用x表示（80≤x＜85），B組（85≤x＜90），C組（90≤x＜95）（95≤x≤100），下面給出了部分信息：七年級10名學(xué)生的競賽成績：84，90，99，95，89，90，96，八年級10名學(xué)生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90，94，根據(jù)以上信息
七八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表
（1）上述圖表中，a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為七、八年級哪個(gè)年級掌握的相關(guān)知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級有1600人，八年級有1000人參與此次競賽，請估計(jì)該校七、八兩個(gè)年級對防電信詐騙意識較強(qiáng)（x≥90）
21．（10分）如圖，AC為矩形ABCD的對角線，AD＞AB．
（1）尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，連結(jié)AF，求證：四邊形AFCE是菱形．（請補(bǔ)全下面的證明過程）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ ，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分AC，
∴ ，
∴△AOE≌ ，
∴AE＝ ，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE是 ，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．
22．（10分）為落實(shí)勞動(dòng)教育，實(shí)施五育并舉，某校合理利用空地，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)能力．農(nóng)場去年春季種植蔬菜和水果共收獲130kg．由于同學(xué)們勞動(dòng)技能提高，今年春季蔬菜產(chǎn)量比去年增加10%，蔬菜和水果的總產(chǎn)量比去年增加18kg．
（1）去年春季蔬菜和水果的產(chǎn)量各多少千克？
（2）今年4月，收獲勞動(dòng)成果時(shí)，學(xué)校利用勞動(dòng)課，兩組同學(xué)同時(shí)開始勞動(dòng)，結(jié)果水果采摘小組比蔬菜收割小組提前20分鐘完成任務(wù)．問水果采摘小組每小時(shí)采摘水果多少千克？
23．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度沿折線E→D→A方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，點(diǎn)Q也以每秒1個(gè)單位長度沿折線E→C→B方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒
（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）若直線y1＝x+m與y的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍 ．
24．（10分）如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為100海里．一貨船由碼頭A出發(fā)，此時(shí)測得碼頭B在南偏西60°方向．
（1）那么碼頭A與小島C距離；（結(jié)果保留根號）．
（2）貨船在小島C處準(zhǔn)備返回碼頭B時(shí)發(fā)生故障，在原地等待救援，一艘救援船在碼頭A的正東方向和小島C的南偏東60°方向D處以每小時(shí)60海里的速度沿射線DC方向前往進(jìn)行救援，請通過計(jì)算說明救援船能否在補(bǔ)給船到達(dá)之前趕到小島C．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45 ）
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)，與x軸交于A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸是直線x＝1．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，DM．當(dāng)線段PD長度取得最大值時(shí)，求△PDM周長的最小值；
（3）將該拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過（2）中△PDM周長取得最小值時(shí)的點(diǎn)M（﹣4，0），F(xiàn)兩點(diǎn)（E在F的左側(cè)），連接EM．點(diǎn)N為平移后的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
26．（10分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC
（1）如圖1，若∠BAC＝α，線段AD旋轉(zhuǎn)到BA延長線上，交BC、AC于E，F(xiàn)，求∠AFD的度數(shù)（用含α的式子表示）；
（2）如圖2，若∠BAC＝90°，線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)C作CE∥AB，連接DE，試用等式表示線段CD、AC、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，若∠BAC＝90°，，連接BD，交BD延長線DE于點(diǎn)E．當(dāng)BE取最大值時(shí)，請直接寫出
2024-2025學(xué)年重慶市南川區(qū)三校聯(lián)盟九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1．（4分）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．2B．C．﹣4D．0
【分析】正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0．
【解答】解：∵，
∴四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是﹣2．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0是解題的關(guān)鍵．
2．（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可．
【解答】解：選項(xiàng)A、C、D的圖形都不能找到一個(gè)點(diǎn)，所以不是中心對稱圖形；
選項(xiàng)B的圖形能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．（4分）反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣4），則反比例函數(shù)的解析式為（ ）
A．y＝﹣4xB．y＝C．y＝﹣D．y＝4x
【分析】依據(jù)題意，將點(diǎn)（﹣1，﹣4）代入反比例函數(shù)解析式可以求得k的值，進(jìn)而可以得解．
【解答】解：由題意，將點(diǎn)（﹣1，
∴﹣4＝．
∴k＝4．
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題時(shí)需要熟練掌握并理解．
4．（4分）如圖，將?ABCD的一邊BC延長至點(diǎn)E，若∠1＝65°（ ）
A．120°B．105°C．125°D．115°
【分析】由∠1＝65°，求得∠BCD＝115°，由平行四邊形的性質(zhì)得∠A＝∠BCD＝115°，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵∠1＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣∠1＝180°﹣65°＝115°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠BCD＝115°，
故選：D．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)，由∠1＝65°，求得∠BCD＝115°是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，點(diǎn)O為位似中心，AO＝3，則OA'的長度為（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A′B′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB：A′B′＝1：4，證明△AOB∽△A'OB'，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，
∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A′B′，
∵△ABC的周長等于△A'B'C'周長的，
∴AB：A′B′＝4：4，
∵AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A'OB'，
∴OA：OA′＝AB：A′B′＝1：4，
∵AO＝3，
∴OA'＝12，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）估計(jì)的值應(yīng)該在（ ）
A．7和8之間B．8和9之間
C．9和10之間D．10和11之間
【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算的方法計(jì)算出結(jié)果為6+，先估算無理數(shù)，進(jìn)而得到6+的大小即可．
【解答】解：＝6+，
∵＜＜，即1＜，
∴2＜6+＜8，
∴7＜＜4，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小以及二次根式的混合運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根的定義以及二次根式混合運(yùn)算的方法是正確解答的關(guān)鍵．
7．（4分）小蘭和小紅買了很多愛心形狀的糖果，想按如下規(guī)律繼續(xù)擺放下去，需知道心形糖果的數(shù)量．已知第1個(gè)圖形有4個(gè)，…，照此規(guī)律下去，則第9個(gè)圖形需要（ ）
A．57B．56C．66D．67
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出所需愛心形狀的糖果個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
第1個(gè)圖形需要的愛心形狀的糖果個(gè)數(shù)為：4＝2+2+1；
第4個(gè)圖形需要的愛心形狀的糖果個(gè)數(shù)為：7＝1+4+3+1；
第6個(gè)圖形需要的愛心形狀的糖果個(gè)數(shù)為：11＝1+2+6+4+1；
…，
所以第n個(gè)圖形需要的愛心形狀的糖果個(gè)數(shù)為：2+2+3+…+n+6+1＝，
當(dāng)n＝7時(shí)，
，
即第9個(gè)圖形需要的愛心形狀的糖果個(gè)數(shù)為56個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)所需愛心糖果個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
8．（4分）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABO＝36°（ ）
A．54°B．30°C．36°D．60°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAO的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求出∠ACB的度數(shù)即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴ACB＝∠AOB＝．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥CE交AD延長線于F，若tan∠ADB＝3，則（ ）
A．3B．3.5C．D．
【分析】過點(diǎn)E的PQ⊥AD于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)P，則四邊形ABPQ和四邊形DCPQ都是矩形，設(shè)AQ＝BP＝m，DQ＝CP＝n，由＝tan∠PBE＝tan∠ADB＝＝3，得EP＝3BP＝3m，EQ＝3DQ＝3n，求得BE＝m，而∠FQE＝∠EPC＝∠CEF＝90°，則∠F＝∠PEC＝90°﹣∠QEF，所以△FQE∽△EPC，則＝＝3，所以FQ＝3EP＝9m，則AF＝10m，求得＝，于是得到問題的答案．
【解答】解：過點(diǎn)E的PQ⊥AD于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠PQA＝∠A＝∠ABP＝90°，∠PQD＝∠CDQ＝∠DCP＝90°，
∴四邊形ABPQ和四邊形DCPQ都是矩形，∠PBE＝∠ADB，
∴∠BPE＝∠CPE＝90°，
設(shè)AQ＝BP＝m，DQ＝CP＝n，
∵＝tan∠PBE＝tan∠ADB＝，
∴EP＝3BP＝3m，EQ＝8DQ＝3n，
∴BE＝＝＝m，
∵EF⊥CE，
∴∠FQE＝∠EPC＝∠CEF＝90°，
∴∠F＝∠PEC＝90°﹣∠QEF，
∴△FQE∽△EPC，
∴＝＝＝3，
∴FQ＝7EP＝3×3m＝6m，
∴AF＝AQ+FQ＝m+9m＝10m，
∴＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①拋物線開口方向向上，則a＞0．
拋物線對稱軸位于y軸右側(cè)，則a，即ab＜0．
拋物線與y軸交于y軸負(fù)半軸，則c＜3，
所以abc＜0．
故①錯(cuò)誤；
②∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝5，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝2，
故②正確；
③∵拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴函數(shù)的最小值為：a+b+c，
∴m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，a+b≤m（am+b）2+bm+c，
故③正確；
④∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（5，0）的左側(cè)，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，6）的右側(cè)，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0，
∴a﹣b+c＞6，
故④正確；
⑤∵+bx6＝+bx5，
∴+bx7﹣﹣bx3＝0，
∴a（x1+x3）（x1﹣x2）+b（x6﹣x2）＝0，
∴（x5﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x5，
∴a（x1+x2）+b＝4，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣4a，
∴x1+x2＝8，
故⑤正確．
綜上所述，正確的有②③④⑤．
故選：D．
【點(diǎn)評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．
二、填空題：（本大題共8小題，每小題4分，共32分）將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11．（4分）計(jì)算：（π﹣3）0﹣|﹣5|＝ ﹣4 ．
【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（π﹣3）0﹣|﹣6|＝ 1﹣5
＝﹣4，
故答案為：﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查了零指數(shù)冪，絕對值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）在桌面上放有四張背面完全一樣的卡片，卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣2，0，﹣1，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻 ．
【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，兩次抽取卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如圖：
共有16種等可能的結(jié)果，兩次抽取卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有3種，
∴兩次抽取卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的概率為＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
13．（4分）若正多邊形的一個(gè)外角為30°，則這個(gè)多邊形為正 12 邊形．
【分析】根據(jù)外角的度數(shù)就可求得多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：正多邊形的邊數(shù)是：360÷30＝12．
故答案為：12．
【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，任何多邊形的外角和都是360度．
14．（4分）為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的倡導(dǎo)，某市2022年投入經(jīng)費(fèi)4000萬元用于環(huán)境治理，2024年投入經(jīng)費(fèi)6000萬元．設(shè)經(jīng)費(fèi)投入的年平均增長率為x 4000（1+x）2＝6000 ．
【分析】利用該市2024年投入用于環(huán)境治理的經(jīng)費(fèi)＝該市2022年投入用于環(huán)境治理的經(jīng)費(fèi)×（1+經(jīng)費(fèi)投入的年平均增長率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：4000（1+x）2＝6000．
故答案為：4000（2+x）2＝6000．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）如圖：在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，若圓弧與線段BC交于點(diǎn)E，且弧線恰好過點(diǎn)O，則圖形中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留π）
【分析】先證明△AOB是等邊三角形，得到∠ABO＝60°，則∠EBO＝30°，再證明S△ABO＝S△BOC，則S陰影＝S扇形ABO﹣S△ABO+S△BOC﹣S扇形BOE＝S扇形ABO﹣S扇形BOE，由此求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，
由作圖方法可知AB＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠EBO＝30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴O是線段AC的中點(diǎn)，
∴S△ABO＝S△BOC，
∴S陰影＝S扇形ABO﹣S△ABO+S△BOC﹣S扇形BOE＝S扇形ABO﹣S扇形BOE＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明△AOB是等邊三角形，得到∠ABO＝60°，∠EBO＝30°是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≥1，且關(guān)于y的分式方程，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是 ﹣14 ．
【分析】解不等式組，根據(jù)解集為x≥1求出a的取值范圍；解分式方程，根據(jù)解題是正整數(shù)求出a的取值范圍，從而確定滿足條件的a的所有可能值，將它們相加即可．
【解答】解：解不等式組，得，
∵不等式組的解集為x≥1，
∴﹣≤1，
∴a≥﹣7；
解分式方程，得y＝，
∵y＝2是分式方程的增根，
∴≠2，
∴a≠﹣3，
∵分式方程的解是正數(shù)，
∴＞2，
∴a＜3，
∴﹣7≤a＜7且a≠﹣1，
∵分式方程的解是整數(shù)，
∴滿足條件的整數(shù)a的值可能是﹣7，﹣2，1，
﹣7﹣2﹣3+1＝﹣14，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是﹣14．
故答案為：﹣14．
【點(diǎn)評】本題分式方程的解、解分式方程、解一元一次不等式組，掌握一元一次不等式組和分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
17．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，將△ADE沿著DE翻折到△FDE，則CF的長為 ．
【分析】連接AF，交BD于點(diǎn)G，說明EG為△ACF的中位線，再利用勾股定理列方程即可解決問題．
【解答】解：連接AF，交BD于點(diǎn)G，
∵將△ADE沿著DE翻折到△FDE，
∴BD垂直平分AF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE＝CE，AC＝BD，
∴EG是△ACF的中位線，
∴CF＝2EG，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
∴AE＝BE＝5，
設(shè)EG＝x，則BG＝5﹣x，
∴62﹣（2﹣x）2＝56﹣x2，
解得x＝，
∴CF＝2x＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）一個(gè)兩位數(shù)M，若將十位數(shù)字2倍的平方與個(gè)位數(shù)字的平方的差記為數(shù)N，當(dāng)N＞0時(shí)，N＝（2×4）2﹣72＝15＞0，則47的“疊加數(shù)”為4715；M＝26（2×2）2﹣62＝﹣20＜0，則26沒有“疊加數(shù)”．那么34的“疊加數(shù)”是 3420 ．若兩位數(shù)M＝10a+b（1≤a≤5，1≤b≤4，且a、b均為整數(shù)）有“疊加數(shù)”，且12a﹣M﹣N能被13整除 5484 ．
【分析】利用“疊加數(shù)”的定義，即可求出34的“疊加數(shù)”；由M＝10a+b，可得出N＝（2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，將其代入12a﹣M﹣N中，可得出12a﹣M﹣N＝（2a﹣b）（1﹣2a﹣b），由12a﹣M﹣N能被13整除，可得出2a+b＝14，結(jié)合a，b的取值范圍，可得出a，b的值，再利用“疊加數(shù)”的定義，即可求出結(jié)論．
【解答】解：∵M(jìn)＝34，
∴N＝（2×3）6﹣42＝20，
∴34的“疊加數(shù)”是3420；
∵M(jìn)＝10a+b，
∴N＝（8a）2﹣b2＝2a2﹣b2，
∴12a﹣M﹣N＝12a﹣（10a+b）﹣（5a2﹣b2）＝（4a﹣b）（1﹣2a﹣b）．
∵3≤a≤5，1≤b≤2，a，且12a﹣M﹣N能被13整除，
∴2a+b＝14，
∴，
∴M＝10a+b＝54，N＝4a2﹣b7＝4×58﹣42＝84，
∴滿足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”為5484．
故答案為：3420，5484．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，由12a﹣M﹣N能被13整除，找出2a+b＝14是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題共8小題，第19題8分，其余各題10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算題：
（1）（m+1）（m﹣1）+m（3﹣m）．
（2）．
【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號里，再算括號外，即可解答．
【解答】解：（1）（m+1）（m﹣1）+m（6﹣m）
＝m2﹣1+4m﹣m2
＝﹣1+3m；
（2）
＝?
＝?
＝?
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
20．（10分）電信詐騙，嚴(yán)重危害著人民群眾的財(cái)產(chǎn)安全．為提高大家的防范意識，南川區(qū)某校舉行了主題為“防電信詐騙（百分制）進(jìn)行整理描述和分析，成績得分用x表示（80≤x＜85），B組（85≤x＜90），C組（90≤x＜95）（95≤x≤100），下面給出了部分信息：七年級10名學(xué)生的競賽成績：84，90，99，95，89，90，96，八年級10名學(xué)生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90，94，根據(jù)以上信息
七八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表
（1）上述圖表中，a＝ 90 ，b＝ 94 ，m＝ 40 ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為七、八年級哪個(gè)年級掌握的相關(guān)知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級有1600人，八年級有1000人參與此次競賽，請估計(jì)該校七、八兩個(gè)年級對防電信詐騙意識較強(qiáng)（x≥90）
【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖可求出“C組”所占的百分比，即可求出m的值，根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義可求出a、b的值；
（2）通過中位數(shù)、平均數(shù)進(jìn)行分析得出答案；
（3）利用七、八年級樣本中的防電信詐騙意識較強(qiáng)（x≥90）的學(xué)生的占比分別乘以各對應(yīng)的總?cè)藬?shù)，即可得到答案．
【解答】解：（1）七年級10名學(xué)生的競賽成績：84，90，99，100，90，96，
故眾數(shù)a＝90，
∵八年級10名學(xué)生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90，94，
∴C組的百分比是，
∴m%＝1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴m＝40，
根據(jù)各組占比可知，八年級10名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)是第從小到大排列后的第4個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即；
故答案為：90，94；
（2）八年級掌握的相關(guān)知識較好，理由如下：
∵兩個(gè)年級的平均數(shù)均為91，但八年級的中位數(shù)94＞七年級的中位數(shù)90，
∴八年級掌握的相關(guān)知識較好；
（3）1600×+1000×，
答：該校七、八兩個(gè)年級對防電信詐騙意識較強(qiáng)的學(xué)生一共有1660人．
【點(diǎn)評】本題考查頻數(shù)（率）分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義和計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖，AC為矩形ABCD的對角線，AD＞AB．
（1）尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，連結(jié)AF，求證：四邊形AFCE是菱形．（請補(bǔ)全下面的證明過程）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC ，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分AC，
∴ AO＝CO ，
∴△AOE≌ △COF（AAS） ，
∴AE＝ CF ，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE是 平行四邊形 ，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．
【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的作法畫圖；
（2）根據(jù)菱形的判定定理證明．
【解答】解：（1）如圖：EF即為所求；
（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分AC，
∴AO＝CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．
故答案為：AD∥BC，AO＝CO，CF．
【點(diǎn)評】本題考查了基本作圖，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）為落實(shí)勞動(dòng)教育，實(shí)施五育并舉，某校合理利用空地，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)能力．農(nóng)場去年春季種植蔬菜和水果共收獲130kg．由于同學(xué)們勞動(dòng)技能提高，今年春季蔬菜產(chǎn)量比去年增加10%，蔬菜和水果的總產(chǎn)量比去年增加18kg．
（1）去年春季蔬菜和水果的產(chǎn)量各多少千克？
（2）今年4月，收獲勞動(dòng)成果時(shí)，學(xué)校利用勞動(dòng)課，兩組同學(xué)同時(shí)開始勞動(dòng)，結(jié)果水果采摘小組比蔬菜收割小組提前20分鐘完成任務(wù)．問水果采摘小組每小時(shí)采摘水果多少千克？
【分析】（1）設(shè)去年春季蔬菜的產(chǎn)量是x千克，水果的產(chǎn)量是y千克，則今年春季蔬菜的產(chǎn)量是（1+10%）x千克，水果的產(chǎn)量是（1+20%）y千克，根據(jù)去年春季及今年春季蔬菜和水果的總產(chǎn)量，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)水果采摘小組每小時(shí)采摘水果m千克，則蔬菜收割小組每小時(shí)收割蔬菜1.2m千克，利用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合水果采摘小組比蔬菜收割小組提前20分鐘完成任務(wù)，可列出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)去年春季蔬菜的產(chǎn)量是x千克，水果的產(chǎn)量是y千克，水果的產(chǎn)量是（1+20%）y千克，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：去年春季蔬菜的產(chǎn)量是80千克，水果的產(chǎn)量是50千克；
（2）設(shè)水果采摘小組每小時(shí)采摘水果m千克，則蔬菜收割小組每小時(shí)收割蔬菜1.2m千克，
根據(jù)題意得：﹣＝，
解得：m＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝40是所列方程的解．
答：水果采摘小組每小時(shí)采摘水果40千克．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
23．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度沿折線E→D→A方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，點(diǎn)Q也以每秒1個(gè)單位長度沿折線E→C→B方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒
（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）若直線y1＝x+m與y的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍 ﹣7≤m＜0或m＝9 ．
【分析】（1）直接確定三角形的底和高求解即可；
（2）描點(diǎn)、連線即可畫出圖象，再觀察y的圖象，可以從增減性寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）先求得直線y1經(jīng)過特殊點(diǎn)時(shí)的m的值，結(jié)合圖象即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)0≤x＜3時(shí)，y＝×4×2x＝8x；
當(dāng)3≤x≤7時(shí)，y7＝AP?AB＝．
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝；
（2）畫出函數(shù)圖象如下，
函數(shù)y的一條性質(zhì)：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減??；
（3）把（3，12）代入y1＝x+m得，12＝8+m，
把（7，0）代入y2＝x+m得，0＝7+m，
把（6，0）代入y1＝x+m得，7＝0+m，
∴若直線y1＝x+m與y的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍是﹣3≤m＜0或m＝9．
故答案為：﹣2≤m＜0或m＝9．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確求出函數(shù)解析式并畫出圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為100海里．一貨船由碼頭A出發(fā)，此時(shí)測得碼頭B在南偏西60°方向．
（1）那么碼頭A與小島C距離；（結(jié)果保留根號）．
（2）貨船在小島C處準(zhǔn)備返回碼頭B時(shí)發(fā)生故障，在原地等待救援，一艘救援船在碼頭A的正東方向和小島C的南偏東60°方向D處以每小時(shí)60海里的速度沿射線DC方向前往進(jìn)行救援，請通過計(jì)算說明救援船能否在補(bǔ)給船到達(dá)之前趕到小島C．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45 ）
【分析】（1）過C作CE⊥BA于E，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）過C作CE⊥BA于E，如圖：
則∠CEB＝90°，
由題意得：∠BCE＝60°，∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，AC＝，
設(shè)CE＝AE＝x海里，則AC＝，
在Rt△BCE中，tan∠BCE＝
∴BE＝CE＝，
∵BD＝AD+AB，
∴x＝x+100，
解得：x＝50+50，
∴x＝+50）＝50，
即AC＝（50+50，
答：碼頭A與小島C距離為50+50；
（2）∵∠BCE＝∠DCE＝60°，
∴BC＝DC，
∵CE＝AE＝（50+50）海里，
∴CD＝6CE＝（100+100）海里，
∴救援船所用時(shí)間為≈8.55（小時(shí)）≈8.29（小時(shí)），
∵4.55＞4.29，
∴救援船不能在補(bǔ)給船到達(dá)之前趕到小島C．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)，與x軸交于A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸是直線x＝1．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，DM．當(dāng)線段PD長度取得最大值時(shí)，求△PDM周長的最小值；
（3）將該拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過（2）中△PDM周長取得最小值時(shí)的點(diǎn)M（﹣4，0），F(xiàn)兩點(diǎn)（E在F的左側(cè)），連接EM．點(diǎn)N為平移后的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）利用拋物線的解析式求得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，設(shè)P（m，+m+4），則D（m，﹣m+4），可得PD＝+m+4﹣（﹣m+4）＝+2m＝﹣+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得PD的最大值為2；取點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′（﹣2，2），連接PD′，交y軸于點(diǎn)M，連接MD，由將軍飲馬模型可知此時(shí)PM+MD最小，MD＝MD′，再利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；
（3）求得M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得平移后的拋物線的解析式，設(shè)N（P，﹣P+3），利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，連接EC，過點(diǎn)M作MH⊥EC于點(diǎn)H，過點(diǎn)N作NK⊥EF于點(diǎn)K，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形 的邊角關(guān)系定理求得tan∠MEH＝，則tan∠NEF＝tan∠MEH＝，在Rt△NEK中利用直角三角形的邊角關(guān)系定理列出關(guān)于p的方程解答即可；②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，連接EC，過點(diǎn)M作MH⊥EC于點(diǎn)H，過點(diǎn)N作NR⊥EF于點(diǎn)R，利用①的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4（a≠3）經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸是直線x＝1，
∴，
∴，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣+x+4；
（2）令y＝0，則﹣，
∴x＝﹣2或3，
∴A（﹣2，0），3）．
令x＝0，則y＝4，
∴C（7，4）．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4．
設(shè)P（m，+m+4），
∵PD∥y軸，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝+m+4﹣（﹣m+4）＝+2，
∵＜0，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，PD取得最大值，5），2），
∴PD＝2，
取點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′（﹣5，2），交y軸于點(diǎn)M，如圖，
∵點(diǎn)M是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴由將軍飲馬模型可知此時(shí)PM+MD最小，MD＝MD′，
∴PM+MD＝PM+MD′＝PD′．
∵DD′＝4，PD＝4，
∴PD′＝＝8，
∴△PDM周長的最小值＝2+2．
（3）設(shè)直線PD′的解析式為y＝cx+d，
∴，
∴，
∴直線PD′的解析式為y＝x+3，
令x＝2，則y＝3，
∴M（0，2）．
設(shè)平移后的拋物線的解析式為y＝﹣+ex+f，
∵平移后的拋物線經(jīng)過（2）中△PDM周長取得最小值時(shí)的點(diǎn)M，且與x軸交于E（﹣4，
∴，
∴，
∴平移后的拋物線的解析式為y＝﹣﹣x+3．
設(shè)N（P，﹣P+3），
令y＝5，則﹣﹣，
∴x＝﹣3或．
∴F（，0）．
∵OE＝4，OM＝3，
∴EM＝＝5．
由（2）知：C（0，6）．
∴OC＝4，
∴CM＝1，OC＝OE＝5，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，EC＝4．
①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，連接EC，過點(diǎn)N作NK⊥EF于點(diǎn)K，
則NK＝﹣P+3，
∴EK＝OE+OK＝p+8．
∵M(jìn)H⊥EC，∠OCE＝45°，
∴CH＝HM＝，
∴EH＝，
∴tan∠MEH＝．
∵∠MEF+∠NEF＝45°，∠MEF+∠MEH＝45°，
∴∠NEF＝∠MEH，
∴tan∠NEF＝tan∠MEH＝，
∵tan∠NEF＝，
∴，
解得：p＝﹣4（不合題意，舍去）或p＝，
∴N（，）；
②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，連接EC，過點(diǎn)N作NR⊥EF于點(diǎn)R，
則NR＝﹣（﹣P+3）＝，OR＝p，
∴ER＝OE+OR＝p+4．
∵M(jìn)H⊥EC，∠OCE＝45°，
∴CH＝HM＝，
∴EH＝，
∴tan∠MEH＝．
∵∠MEF+∠NEF＝45°，∠MEF+∠MEH＝45°，
∴∠NEF＝∠MEH，
∴tan∠NEF＝tan∠MEH＝，
∵tan∠NEF＝，
∴，
解得：p＝﹣4（不合題意，舍去）或p＝，
∴N（，﹣）．
綜上，所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，﹣，）．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，軸對稱的性質(zhì)，將軍飲馬模型，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，分類討論的思想方法，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC
（1）如圖1，若∠BAC＝α，線段AD旋轉(zhuǎn)到BA延長線上，交BC、AC于E，F(xiàn)，求∠AFD的度數(shù)（用含α的式子表示）；
（2）如圖2，若∠BAC＝90°，線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)C作CE∥AB，連接DE，試用等式表示線段CD、AC、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，若∠BAC＝90°，，連接BD，交BD延長線DE于點(diǎn)E．當(dāng)BE取最大值時(shí)，請直接寫出
【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)N，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（3）由題意得：A，B，C，E四點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，可得：當(dāng)AD⊥BD時(shí)，BE取得最大值；當(dāng)AD⊥BD時(shí)，連接AE，EC，過點(diǎn)A作AF⊥AE，交BD于點(diǎn)F，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到BF＝CE，
設(shè)AB＝3x，BF＝CE＝y(tǒng)，則AD＝FD＝ED＝x，AC＝AB＝3x，BE＝BF+FD+DE＝2x+y，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，利用x的代數(shù)式表示出DE，BE，代入化簡即可得出結(jié)論．
【解答】解（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝．
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴AH∥DE，
∴∠AFD＝∠CAH＝α；
（2）線段CD、ACCD
過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥BC，如圖，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴AMC為等腰直角三角形，
∴AM＝MC＝AC．
∵AD⊥DE，
∴∠ADM+∠EDN＝90°，
∵∠ADM+∠MAD＝90°，
∴∠MAD＝∠EDN．
在△MAD和△NDE中，
，
∴△MAD≌△NDE（AAS），
∴AM＝DN，
∴DN＝AC．
∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ECN＝45°．
∵EN⊥BC，
∴△ECN為等腰直角三角形，
∴CN＝NE＝CE．
∵DN＝DC+CN，
∴DN＝DC+CE，
∴AC＝DC+，
∴AC＝CE+CD．
（3）＝．理由：
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠E＝∠BAC＝90°，
∴A，B，C，E四點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，
由圖形可知：當(dāng)AD⊥BD時(shí)，BE取得最大值，
當(dāng)AD⊥BD時(shí)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE，如圖，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∵AF⊥AE，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴AE＝AF，
∵AD⊥BD，
∴AD＝FD＝ED，
∵∠BAC＝∠FAE＝90°，
∴∠BAF＝∠EAC．
在△BAF和△CAE中，
，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴BF＝CE，
設(shè)AB＝3x，BF＝CE＝y(tǒng)，
∴AC＝AB＝3x，BE＝BF+FD+DE＝6x+y，
∴BC＝AB＝3x．
∵BE2+EC2＝BC5，
∴，
∴y2+2xy﹣3x2＝0，
∴y＝（﹣4+2）x或y＝（﹣3﹣2，舍去），
∴BE＝6x+y＝（1+2）x．
∴＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵年級
七年級
八年級
平均數(shù)
91
91
中位數(shù)
90
b
眾數(shù)
a
100
方差
52
50.4
年級
七年級
八年級
平均數(shù)
91
91
中位數(shù)
90
b
眾數(shù)
a
100
方差
52
50.4

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