說明：
1．本卷共有六個大題，23個小題，全卷滿分120分，考試時間120分鐘．
2．本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，不得在試題卷上作答，否則不給分．
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．每小題只有一個正確選項）
1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖所示的幾何體的左視圖是（ ）
A．B．C．D．
3．已知點，均在反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，若，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．在做拋擲硬幣試驗中，某人拋擲次，其中正面朝上有處次，若正面朝上的頻率是P，則下列說法正確的是（ ）
A．P一定等于0.5B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5D．投擲次數(shù)逐漸增加，P穩(wěn)定在0.5附近
5．將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上，點A，B的讀數(shù)分別為85°，31°，則的度數(shù)是（ ）
A．27°B．31°C．30°D．54°
6．反比例函數(shù)的圖象如圖所示，二次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．在平面直角坐標系中，已知點與點關于原點對稱，則__________．
8．關于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根，，且，則__________．
9．如圖，中，，將繞點C順時針旋轉30°得到△DEC，若點D正好在BA的延長線上，則的值為__________．
10．《九章算術》記載了一個方程的問題，譯文為：今有上禾6束，減損其中之“實”十八升，與下禾10束之“實“相當；下禾15束，減損其中之“實”五升，與上禾5束之“實”相當．問上、下禾每束之實各為多少升？設上、下禾每束之實各為x升和y升，則依題意可列方程組為__________．
11．如圖．在平面直角坐標中，菱形的頂點在軸的正半軸上，點B在函數(shù)的圖象上，若，菱形的面積為，則k的值為__________．
12．在紙片中，，，，是邊上一點，連接．沿CP把紙片裁開，若是等腰三角形，則的長可能為__________．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（本大題共2小題，每小題3分，共6分）
（1）；
（2）在中，，，求的度數(shù)．
14．第24屆北京冬奧會開幕式24節(jié)氣倒計時驚艷亮相，從“雨水”開始，倒數(shù)至“立春”，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．李老師將每個節(jié)氣的名稱寫在完全相同且不透明的小卡片上，洗勻后邀請同學隨機抽取一張卡片，并向大家介紹卡片上對應節(jié)氣的含義．
（1）若隨機抽取一張卡片，則上面寫有“立夏”的概率為__________；
（2）老師選出寫有“立春、立夏、立秋、立冬”的四張卡片冼勻后背面朝上放在桌面上，請小星從中抽取一張卡片記下節(jié)氣名稱不放回，再洗勻后從中隨機抽取一張卡片記下節(jié)氣名稱．請利用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次抽到的卡片上分別寫有立春、立冬節(jié)氣名稱的概率．
15．美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0．618時，越給人一種美感．如圖，某女士身離165cm，下半身長與身高的比值是0.60．
（1）求該女士下半身長；
（2）為盡可能達到美的效果，求她應穿的高跟鞋的高度．（結果精確到0.1）
16．如圖，已知是的外接圓，，請僅用無刻度的直尺，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．
（1）在圖1的上作點D，使為等腰直角三角形；
（2）在圖2的上作點M，N，使四邊形BCMN為正方形．
17．沙漏又稱“沙鐘”，是我國古代一種計量時間的裝置．它是根據(jù)均勻的沙粒從一玻璃球漏到另一個玻璃球的數(shù)量來計量時間．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即將沙漏倒置（倒置時間忽略不計），重新進行計時，周而復始．某課外數(shù)學小組觀察發(fā)現(xiàn)：該沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒與流入時間秒成一次函數(shù)關系（不考慮其他因素），當流入時間在第3秒時，上面玻璃球剩余沙粒1140粒，當流入時間在第9秒時，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．
（1）求出上面玻璃球沙粒余量粒與流入時間（秒）之間的函數(shù)關系式；
（2）求沙漏恰好完成第一次倒置所需時間．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“禮儀”、“陶藝”、“園藝”、“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發(fā)展．學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程？”（要求必須選修一門且只能選修一門）的隨機問卷調查，并根據(jù)調查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請結合上述信息，解答下列問題：
（1）請補充條形統(tǒng)計圖，并計算共有__________名學生參與了本次問卷調查；
（2）“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是__________度；
（3）若該校七年級共有550人，請你估計選修“園藝”的同學人數(shù)為多少？
19．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸，軸依次交于點B，點C．
（1）當時，求的值；
（2）判定AB與BC的比值能否與相等？若有，求線段的長度；若沒有，請說明理由．
20．如圖1是一座拱橋，圖2是其側面示意圖，斜道的坡度，斜道的坡度，測得湖寬米，米，米，已知弧所在圓的圓心在上．（備注：坡度即坡角的正切值，如的坡度．）
（1）分別求拱橋部分C、D到直線的距離；
（2）求弧CD的長（結果保留）．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．如圖，是的外接圓，分別過A，C作，．
（1）求證：；
（2）若．
①求證：是的切線；
②已知，當四邊形的某條邊所在直線過圓心O時，求的半徑．
22．為增強學生身體素質，創(chuàng)設體育文化氛圍，某校開展田徑運動會，小賢同學報了投鉛球比賽的項目，如圖曲線AB就是他投出的鉛球運動路線，呈拋物線形，出手點A離地面BC的高度為，鉛球飛行的水平距離的長度為13m．過作于點，以OB為軸，為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．
（1）寫出，兩點的坐標；
（2）若拋物線的解析式為
①求的取值范圍；
②若，求小賢同學投出的鉛球運動路線（拋物線）的解析式．
六、解答題（本大題共12分）
23．●問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，和都是等邊三角形，邊和在同一直線上，是邊的中點，，連接，則下列結論正確的是__________．（填序號即可）
①；②；③；④整個圖形是軸對稱圖形．
●數(shù)學思考
將圖1中的繞著點旋轉，不動，連接和，如圖2，則和具有怎樣的數(shù)量和位置關系？請給出證明過程；
●拓展應用
已知，，在圖1中的繞著點旋轉的過程中，當時，求線段的長度．
2023年青山湖區(qū)九年級質量調研測試
數(shù)學答案卷
說明：
1．本卷共有六個大題，23個小題，全卷滿分120分，考試時間120分鐘．
2．本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，不得在試題卷上作答，否則不給分．
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．每小題只有一個正確選項）
1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6．B
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．5 8． 9． 10． 11． 12．5或6或7.2
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（本大題共2小題，每題3分）
（1）解：
2分
，．3分
（2）解：∵，，
∴， 2分
∴ 3分
14．解：（1）解：∵“立夏”只占二十四節(jié)氣中的一個，
∴．2分
（2）將“立春、立夏、立秋、立冬”分別用“1，2，3，4”表示，畫樹狀圖如下：
4分
∵共有12種等可能的結果，其中抽中立春、立冬的結果有兩種：
∴P（抽中立春，立冬）．6分
15．解：（1） 2分
（2）設需要穿的高跟鞋是ycm，則
4分
解得：
答：該女士下半身x為99cm，她應穿的高跟鞋的高度為7.8cm．6分
16．解：（1）畫圖如下：
方法一：
2分
點D即為所求．3分
方法二：
2分
點D即為所求．
（2）畫圖如下：
4分
正方形BCMN即為所求．6分
17．解：（1）設一次函數(shù)的解析式．
將和分別代入．得
解得．2分
∴．3分
（2）∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴．
即，解得．4分
∴沙漏恰好完成第一次倒置的時間是60秒．6分
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．解：（1）如圖所示，
2分
120．3分
（2）99．
（3）樣本中廚藝人數(shù)：（人）5分
樣本中園藝人數(shù)：（人）6分
七年級中園藝人數(shù)：（人）7分
答：估計七年級共有110人選修“園藝”．8分
19．解：（1）過點A作軸于D點，則．
∵．
又．
∴．
∴，．
∵直線與y軸，x軸依次交于點B，點C，
∴，．
∴．
∴．4分
（2）能．理由如下：5分
易證．
假設，則，．6分
∴．
∴．7分
又，
故不存在與相等的可能．8分
20．解：（1）過點C作于E，過點D作于F，
在中，
∵，
設米，則米．
由勾股定理得．
解得：，（舍去）．
∴米，米．2分
同理，在中，
米
答：點C到直線AB的距離為15米，點D到直線AB的距離為20米．4分
（2）連接OC，OD．
∵米，米，米，
∴米．
設米，則米，
∴．
解得：，即米，米．6分
在和中，
∴．
∴，．
∴弧CD的長（米）．8分
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．（1）證明：∵，，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
∴．2分
（2）①連接OA，OB，OC．
∵，．
∴OC垂直平分AB．
∵．
∴．
∴CD是的切線．5分
②（i）當直線AD過圓心O時，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
又，
∴為等邊三角形．
∴．
∴．
∵垂直平分，
∴．
∴．7分
（ii）當直線過圓心時，如圖．
∴．
綜上所述，的半徑為或3cm．9分
22．解：（1）∴，．2分
（2）①∵，
∴．4分
②∵，
∴對稱軸：直線．
故該拋物線與軸的交點為．6分
∴設．
將代入上式子得．
∴．
∴．8分
故小賢同學投出的鉛球運動路線的解析式為．9分
六、解答題（本大題共12分）
23．解：●問題發(fā)現(xiàn)：①③④．2分
●數(shù)學思考：，．理由如下：4分
連接，，由圖1，，，
可得．繞著點旋轉，
仍然成立．∵是等邊三角形，
∴，．
∴．
同理，，．
∴，．
∴．
∴．
∴，．6分
延長交于點，交于點，
又，∴．
∴．
∴．8分
●拓展應用
當時，∵，∴，，三點共線．
如備用圖1，
設，則．∵，
∴在中，．
解之得：．又，
∴
即．10分
如備用圖2．
設，則．∵，
∴在中，．
解之得：．
又，∴
即．
綜上所述，．12分

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