1．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄．下面四幅作品分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
3．（3分）如圖所示，兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
4．（3分）等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
5．（3分）如圖①是兩位同學(xué)玩蹺蹺板的場景，如圖②蹺蹺板示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB繞著點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動．若A端落地時(shí)，∠OAC＝30°，則蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠A′OA）是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
6．（3分）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝10，DE＝3，則△BCE的面積為（ ）
A．16B．15C．14D．13
7．（3分）已知△ABC的三邊長分別為3，5，7，△DEF的三邊長分別為3，3x﹣2，2x﹣1，若這兩個(gè)三角形全等，則x為（ ）
A．B．4C．3D．不能確定
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某個(gè)三角形與△ABC能拼成一個(gè)等腰三角形（無重疊），則拼成的等腰三角形有（ ）
A．4種B．5種C．6種D．7種
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9．（3分）若△ABC≌△DEF，則AB的對應(yīng)邊是 ．
10．（3分）如圖，已知∠B＝∠C，在不添加任何字母的情況下，添加一個(gè)合適的條件 使△ABD≌△ACD．（只需填寫一個(gè)符合題意的條件即可）
11．（3分）小強(qiáng)從鏡子中看到的電子表的讀數(shù)如圖所示，則電子表的實(shí)際讀數(shù)是 ．
12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2．若S1＝20，S2＝11，則BC的長為 ．
13．（3分）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為 cm．
14．（3分）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動，要使△ABC和△QPA全等，則AP＝ ．
15．（3分）如圖，將直角三角形紙片ABC折疊，恰好使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB的中點(diǎn)D的位置，EF是折痕，已知DE＝3，DF＝4，則AB＝ ．
16．（3分）如圖，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．過C作∠BAC的角平分線的垂線，垂足為D，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，連結(jié)BD，CD，則S△BEC的最大值為 ．
三、解答題（本大題共10小題，共102分。請?jiān)诖痤}卡上指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．（8分）如圖，已知點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB＝AC，∠B＝∠C．
求證：△ABE≌△ACD．
18．（8分）“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鶯”．又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)，某校八年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．求風(fēng)箏的垂直高度CE．
19．（8分）在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)），△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請利用網(wǎng)格線和直尺畫圖．
（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的長最短．
20．（10分）如圖，△ABC與△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上，BE＝CF，∠A＝∠D，AC∥DF，求證：AC＝DF．
21．（10分）如圖，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC．
（1）尺規(guī)作圖：在AC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到A、B兩點(diǎn)的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接BD，若∠A＝46°，則∠DBC＝ °．
22．（10分）寫出下面定理的已知、求證，并完成證明過程．
定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：“等角對等邊”）．
已知：如圖，在△ABC中， ．
求證： ．
證明：
23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC＝6，AD＝4，求DE的長．
24．（12分）在邊長為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）如圖1，若點(diǎn)Q是BC上一定點(diǎn)，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等邊三角形？
25．（12分）定義：若過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作射線與其對邊相交，將這個(gè)三角形分成的兩個(gè)三角形中有等腰三角形，那么這條射線就叫做原三角形的“等腰分割線”．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
①如圖1，若O為AB的中點(diǎn)，則射線OC △ABC的等腰分割線；（填“是”或“不是”）
②如圖2，已知△ABC的一條等腰分割線BP交AC邊于點(diǎn)P，且PB＝PA，請求出CP的長度．
（2）如圖3，△ABC中，CD為AB邊上的高，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交AD于點(diǎn)E，作CM⊥l，DN⊥l，垂足為M，N，BD＝3，AC＝5，且∠A＜45°．若射線CD為△ABC的“等腰分割線”，求CM+DN的最大值．
26．（14分）如圖1，在△ABC中，延長AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一點(diǎn)，且∠A＝∠BCE＝∠D，連接BE．
（1）線段BC與CE的大小關(guān)系是：BC CE（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如圖2，若∠ACB＝90°，將DE沿直線CD翻折得到DE′，連接BE′，BE′與CE交于F，若BE′∥ED，求證：F是BE′的中點(diǎn)；
（3）如圖3，若∠ACB＝90°，AC＝BC，將DE沿直線CD翻折得到DE′，連接BE′交CE于F，交CD于G，若AB＝m，AC＝n，（m＞n＞0），求線段CG的長度（用含m、n的式子表示）．
2024-2025學(xué)年江蘇省連云港市灌南縣八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請把正確選項(xiàng)前的字母代號填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄．下面四幅作品分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的知識求解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
2．（3分）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個(gè)就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、52+62≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
3．（3分）如圖所示，兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】根據(jù)圖形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠D＝∠A＝50°，即可得出選項(xiàng)．
【解答】解：
∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠α＝50°，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
4．（3分）等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．
【解答】解：分兩種情況：
當(dāng)腰為2時(shí)，2+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是2+2+3＝7；
當(dāng)腰為3時(shí)，3+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是：2+3+3＝8．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖①是兩位同學(xué)玩蹺蹺板的場景，如圖②蹺蹺板示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB繞著點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動．若A端落地時(shí)，∠OAC＝30°，則蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠A′OA）是（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】根據(jù)∠OAC＝30°，易得∠OB′A＝30°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可得解．
【解答】解：∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OA＝OB，
由題意，可得：OB＝OB′，
∴OA＝OB′，
∴∠OB′A＝∠OAC＝30°，
∴∠A′OA＝∠OB′A+∠OAC＝60°；
∴蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠A′OA）是60°；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握等邊對等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝10，DE＝3，則△BCE的面積為（ ）
A．16B．15C．14D．13
【分析】過E作EEF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF＝DE＝3，根據(jù)三角形面積公式求出即可．
【解答】解：過E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴△BCE的面積為＝15，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝EF是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
7．（3分）已知△ABC的三邊長分別為3，5，7，△DEF的三邊長分別為3，3x﹣2，2x﹣1，若這兩個(gè)三角形全等，則x為（ ）
A．B．4C．3D．不能確定
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的周長相等可得出等式方程求出答案．
【解答】解：∵△ABC與△DEF全等，
∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，
解得：x＝3，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握性質(zhì)定理．
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某個(gè)三角形與△ABC能拼成一個(gè)等腰三角形（無重疊），則拼成的等腰三角形有（ ）
A．4種B．5種C．6種D．7種
【分析】（1）取一個(gè)△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，F(xiàn)D＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，①將EF與AC拼接在一起即可；②將DF于BC拼接在一起即可；
（2）取一個(gè)△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，將EF于AC拼接在一起即可；
（3）取一個(gè)△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，將EF與BC拼接在一起即可；
（4）取一個(gè)△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，將EF與AC拼接在一起即可；
（5）取一個(gè)△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，將EF與AB拼接在一起即可；
（6）取一個(gè)△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，將EF與AB拼接在一起即可；綜上所述即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，則∠ABC＝70°，
（1）取一個(gè)△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，F(xiàn)D＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，
此時(shí)有兩種拼圖方法：
①將EF與AC拼接在一起，如圖1所示：
∵AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，
∴點(diǎn)B，C（F），D在一條直線上，
∴△ABD為等腰三角形，且∠B＝∠D＝70°，∠BAD＝40°；
②將DF于BC拼接在一起，如圖2所示：

∵AB＝BD，∠C＝∠F＝90°，
∴點(diǎn)A，C（F），D在一條直線上，
∴△ABD為等腰三角形；
（2）取一個(gè)△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，
將EF于AC拼接在一起，如圖3所示：

∵∠C＝∠F＝90°，
∴點(diǎn)B，C（F），D在一條直線上，
此時(shí)∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+35°＝55°，
∴∠BAD＝∠D＝55°，
∴△ABD為等腰三角形；
（3）取一個(gè)△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，
將EF與BC拼接在一起，如圖4所示：

∵∠C＝∠F＝90°，
∴點(diǎn)A，C（F），D在一條直線上，
此時(shí)∠ABD＝∠ABC+∠FED＝70°+10°＝80°，
∴∠ABD＝∠D，
∴△ABD為等腰三角形；
（4）取一個(gè)△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，
將EF與AC拼接在一起，如圖5所示：

∵∠C＝∠F＝90°，
∴點(diǎn)B，C（F），D在一條直線上，
此時(shí)∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+50°＝70°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴△ABD為等腰三角形；
（5）取一個(gè)△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，
將EF與AB拼接在一起，如圖6所示：

∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠EFD+∠ABC＝180°，
∴點(diǎn)C，B（F），D在一條直線上，
此時(shí)∠CAD＝∠BAC+∠FED＝20°+25°＝45°，
∴∠CAD＝∠D，
∴△ABD為等腰三角形；
（6）取一個(gè)△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，
將將EF與AB拼接在一起，如圖7所示：

∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°，
∴∠FED+∠ABC＝180°，
∴點(diǎn)A，B（E），D在一條直線上，
此時(shí)∠D＝∠A＝20°，
∴△ABD為等腰三角形；
綜上所述：拼成的等腰三角形有7種．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，在拼接的過程中根據(jù)平角定義進(jìn)行構(gòu)圖是解決問題的關(guān)鍵，此題種類繁多，漏解是易錯(cuò)點(diǎn)．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9．（3分）若△ABC≌△DEF，則AB的對應(yīng)邊是 DE ．
【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊的定義判斷即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB的對應(yīng)邊是DE，
故答案為：DE．
【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，已知∠B＝∠C，在不添加任何字母的情況下，添加一個(gè)合適的條件 ∠BAD＝∠CAD 使△ABD≌△ACD．（只需填寫一個(gè)符合題意的條件即可）
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決此題．
【解答】解：添加：∠BAD＝∠CAD，理由如下：
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（AAS）．
【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．
11．（3分）小強(qiáng)從鏡子中看到的電子表的讀數(shù)如圖所示，則電子表的實(shí)際讀數(shù)是 10：21 ．
【分析】根據(jù)鏡面成像原理，所成的像為反像，可判斷電子表的實(shí)際讀數(shù)．
【解答】解：∵鏡面所成的像為反像，
∴此時(shí)電子表的實(shí)際讀數(shù)是10：21．
故答案為10：21．
【點(diǎn)評】本題考查的是鏡面成像原理，鏡面成的像是實(shí)際的反像．
12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2．若S1＝20，S2＝11，則BC的長為 3 ．
【分析】根據(jù)勾股定理求出BC2，則可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵S1＝20，S2＝11，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝20﹣11＝9，
∴BC＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
13．（3分）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為 20 cm．
【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．
【解答】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由題意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：兩堵木墻之間的距離為20cm．
故答案為：20．
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．
14．（3分）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動，要使△ABC和△QPA全等，則AP＝ 6或12 ．
【分析】本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝6，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC＝12，P、C重合．
【解答】解：①當(dāng)AP＝CB時(shí)，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝6；
②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．
綜上所述，AP＝6或12．
故答案為：6或12．
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．
15．（3分）如圖，將直角三角形紙片ABC折疊，恰好使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB的中點(diǎn)D的位置，EF是折痕，已知DE＝3，DF＝4，則AB＝ ．
【分析】連接CD交EF于點(diǎn)G，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到EC＝ED＝3，F(xiàn)C＝DF＝4，根據(jù)勾股定理求出EF，根據(jù)三角形的面積公式求出CG，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：連接CD交EF于點(diǎn)G，
∵翻折前后對應(yīng)邊相等，
∴EC＝ED＝3，F(xiàn)C＝DF＝4，EF是CD的垂直平分線，
∴EF⊥CD于G，G為CD中點(diǎn)，
∵∠ACB＝90°，
∴EF＝＝5，
×CE×CF＝×EF×CG，
∴CG＝＝，
∴CD＝2CG＝，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AB＝2CD＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
16．（3分）如圖，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．過C作∠BAC的角平分線的垂線，垂足為D，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，連結(jié)BD，CD，則S△BEC的最大值為 7.5 ．
【分析】延長AB，CD交點(diǎn)于F，可證△ADF≌△ADC（ASA），得出AC＝AF，DF＝CD，則S△BEC＝S△BCF，當(dāng)BF⊥BC時(shí)，S△BFC最大面積為30，即S△BEC最大面積為7.5．
【解答】解：如圖：延長AB，CD交點(diǎn)于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AF，DF＝CD；
∵AC﹣AB＝6，
∴AF﹣AB＝6，即BF＝6；
∵DF＝DC，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴S△BEC＝S△BFC，
∴當(dāng)BF⊥BC時(shí)，S△BFC面積最大，
即S△BEC最大面積＝××10×6＝7.5．
故答案為：7.5．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；利用三角形中線的性質(zhì)得到S△BEC＝S△BFC是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共102分。請?jiān)诖痤}卡上指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．（8分）如圖，已知點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB＝AC，∠B＝∠C．
求證：△ABE≌△ACD．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理ASA推出即可．
【解答】證明：∵在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
18．（8分）“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鶯”．又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)，某校八年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．求風(fēng)箏的垂直高度CE．
【分析】利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度．
【解答】解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（負(fù)值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)），△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請利用網(wǎng)格線和直尺畫圖．
（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的長最短．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．
（2）連接AB'交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求．
（2）如圖，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，連接BP，
此時(shí)PA+PB＝PA+PB'＝AB'，為最小值，
則點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
20．（10分）如圖，△ABC與△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上，BE＝CF，∠A＝∠D，AC∥DF，求證：AC＝DF．
【分析】利用全等三角形的判定方法，證明△ABC和△DEF全等即可．
【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC．
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC．
（1）尺規(guī)作圖：在AC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到A、B兩點(diǎn)的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接BD，若∠A＝46°，則∠DBC＝ 44 °．
【分析】（1）作線段AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．
（2）由題意可得∠A＝∠ABD＝46°，再根據(jù)∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD可得答案．
【解答】解：（1）如圖，作線段AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，
則點(diǎn)D即為所求．
（2）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝46°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣46°＝44°．
故答案為：44．
【點(diǎn)評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
22．（10分）寫出下面定理的已知、求證，并完成證明過程．
定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：“等角對等邊”）．
已知：如圖，在△ABC中， ∠B＝∠C ．
求證： AB＝AC ．
證明：
【分析】根據(jù)命題的條件和結(jié)論寫出已知和求證，然后過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，再根據(jù)垂直定義可得：∠ADB＝∠ADC＝90°，從而利用AAS證明△ABD≌△ACD，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，
求證：AB＝AC，
證明：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
故答案為：∠B＝∠C；AB＝AC．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC＝6，AD＝4，求DE的長．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵AE＝EB，
∴DE＝AB＝．
【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
24．（12分）在邊長為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）如圖1，若點(diǎn)Q是BC上一定點(diǎn)，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等邊三角形？
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，從而得出△BPQ是等邊三角形，列方程求解即可；
（2 ）根據(jù)點(diǎn)Q所在的位置不同，分類討論△APQ是否為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到等量關(guān)系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴BP＝BQ，
由題意可知：AP＝t，則BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴當(dāng)t的值為3時(shí)，PQ∥AC；
（2）如圖2，①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，
此時(shí)△APQ不可能為等邊三角形；
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，
若△APQ為等邊三角形，則AP＝AQ，
由題意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴當(dāng)t＝6時(shí)，△APQ為等邊三角形．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形、等腰三角形、以及全等三角形的綜合運(yùn)用，以動點(diǎn)問題為背景，根據(jù)等邊三角形、等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)尋找等量關(guān)系，再列方程求解，能根據(jù)題目要求進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
25．（12分）定義：若過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作射線與其對邊相交，將這個(gè)三角形分成的兩個(gè)三角形中有等腰三角形，那么這條射線就叫做原三角形的“等腰分割線”．
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
①如圖1，若O為AB的中點(diǎn)，則射線OC 是 △ABC的等腰分割線；（填“是”或“不是”）
②如圖2，已知△ABC的一條等腰分割線BP交AC邊于點(diǎn)P，且PB＝PA，請求出CP的長度．
（2）如圖3，△ABC中，CD為AB邊上的高，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交AD于點(diǎn)E，作CM⊥l，DN⊥l，垂足為M，N，BD＝3，AC＝5，且∠A＜45°．若射線CD為△ABC的“等腰分割線”，求CM+DN的最大值．
【分析】（1）①由直角三角形的性質(zhì)得出OA＝OC＝OB，則可得出結(jié)論；
②設(shè)CP＝x，由勾股定理得出x2+62＝（8﹣x）2，解方程可得出答案；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥l于點(diǎn)G．由勾股定理求出AD＝4，證明△CMF≌△AGF，由全等三角形的性質(zhì)得出CM＝AG．由直角三角形的性質(zhì)可得出DN≤DE，AG≤AE，則可得出答案．
【解答】解：（1）①∵Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中點(diǎn)，
∴OA＝OC＝OB，
∴射線OC是△ABC的等腰分割線，
故答案為：是；
②設(shè)PC＝x，則AP＝BP＝8﹣x，
在Rt△BCP中，PC2+BC2＝PB2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴PC＝．
（2）如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥l于點(diǎn)G．
∵CD為AB邊上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
∵∠A＜45°，
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD為△ABC的“等腰分割線”，
∴△CDB和△CDA中至少有一個(gè)是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝3．
∵AC＝5
∴AD＝＝＝4，
∵CM⊥l于M，
∴∠CMF＝∠AGF＝90°．
∵F為AC的中點(diǎn)，
∴CF＝AF，
在△CMF和△AGF中，
∴△CMF≌△AGF（ASA），
∴CM＝AG．
在Rt△DEN和Rt△AEG中，∠CMF＝∠DNE＝90°，
∴DN≤DE，AG≤AE，
∴AG+DN≤AE+DE，
∴CM+DN≤AE+DE，
即CM+DN≤AD，
∴CM+DN≤4，
∴CM+DN的最大值為4．
【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
26．（14分）如圖1，在△ABC中，延長AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一點(diǎn)，且∠A＝∠BCE＝∠D，連接BE．
（1）線段BC與CE的大小關(guān)系是：BC ＝ CE（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如圖2，若∠ACB＝90°，將DE沿直線CD翻折得到DE′，連接BE′，BE′與CE交于F，若BE′∥ED，求證：F是BE′的中點(diǎn)；
（3）如圖3，若∠ACB＝90°，AC＝BC，將DE沿直線CD翻折得到DE′，連接BE′交CE于F，交CD于G，若AB＝m，AC＝n，（m＞n＞0），求線段CG的長度（用含m、n的式子表示）．
【分析】（1）結(jié)合條件中角的關(guān)系，由三角形外角的性質(zhì)，得∠ABC＝∠ECD，證出△ABC≌△DCE，得BC＝CE；
（2）同（1）證出△ABC≌△DCE，由翻折得CE′＝CB，結(jié)合BE′∥ED易得∠CFE′＝∠DEC＝90°，即CF⊥BE′，由三線合一得F是BE′的中點(diǎn)；
（3）先利用折疊的性質(zhì)，證明△BGC≌△MGC，易得CE＝CB＝CM，利用三角形內(nèi)角和可得∠BEM＝∠CED，由角的轉(zhuǎn)化得到∠BEC＝∠GED，最后證明△BCE≌△GDE，進(jìn)而求得CG＝CD﹣GD＝n﹣m．
【解答】（1）解：∵∠ABC+∠A＝∠BCD，∠BCE+∠ECD＝∠BCD，∠A＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC與△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC＝CE，
故答案為：＝；
（2）證明：∵∠ABC+∠A＝∠BCD，∠BCE+∠ECD＝∠BCD，∠A＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC與△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC＝CE，
∴∠ACB＝∠DEC＝90°，
如圖2，連接CE′，
∵將DE沿直線CD翻折得到DE′，
∴CE＝CE′＝CB，
∵BE′∥ED，
∴∠CFE′＝∠DEC＝90°，即CF⊥BE′．
由三線合一，F(xiàn)是BE′的中點(diǎn)；
（3）解：如圖3，連EG，延長EG交BC于M，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，則∠DGE＝∠DGE′，
∵∠DGE＝∠CGM，∠DGE′＝∠BGC，
∴∠BGC＝∠CGM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BCG＝∠MCG＝90°，
在△BGC與△CGM中，
，
∴△BGC≌△MGC（ASA），
∴BC＝CM，
由（2）知，△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE，∠ACB＝∠DEC＝90°，
∴CE＝CB＝CM，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CEM＝∠CME，
∴∠BEM＝∠CEB+∠CEM＝（∠CBE+∠CEB+∠CEM+∠CME）＝×180°＝90°，
∴∠BEM＝∠CED，
∴∠BEM﹣∠CEM＝∠CED﹣∠CEM，
∴∠BEC＝∠GED，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠EDC＝∠A＝45°，
∴∠ECD＝∠EDC，CE＝DE，
在△BCE與△GDE中，
，
∴△BCE≌△GDE（ASA），
∴BC＝GD＝AC＝m，
∵CD＝AB＝n，
∴CG＝CD﹣GD＝n﹣m．
【點(diǎn)評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，其中能夠利用全等三角形的性質(zhì)與翻折性質(zhì)得到的邊、角相等進(jìn)行等量代換是解題關(guān)鍵

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