1．（3分）2024年8月2日，北橫通道東段主線正式試通車，標(biāo)志著這一世界最長城市核心區(qū)地下道路全線雙向貫通．在一張比例尺為1：1000000的地圖上，北橫通道長約1.9厘米，那么北橫通道實際長度約為（ ）
A．0.19千米B．1.9千米C．19千米D．190千米
2．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面積為4，則△A1B1C1的面積是（ ）
A．B．6C．9D．18
3．（3分）方程x（x+1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1
C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣1
4．（3分）⊙O的直徑為4，點A到圓心O距離為3．則（ ）
A．點A在⊙O外
B．點A在⊙O上
C．點A在⊙O內(nèi)
D．點A與⊙O的位置關(guān)系不能確定
5．（3分）如圖，在圓O中，弦AB的長為4，圓心到弦AB的距離OC為2，則圓O的半徑長是（ ）
A．1B．C．D．4
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≠0D．k＞1
7．（3分）下列說法：
①三點確定一個圓；
②相等的圓心角所對的弧相等；
③同圓或等圓中，等弦所對的弧相等；
④三角形的外心到三角形各頂點距離相等其中，正確的個數(shù)共有（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則BC的長是（ ）
A．B．2πC．D．
二、填空題（本大題共10小題，每題3分，共30分）
9．（3分）小明本學(xué)期數(shù)學(xué)綜合實踐活動、期中考試及期末考試的成績分別是88分、90分和90分，各項占學(xué)期成績的百分比分別為10%、40%、50%，則小明的數(shù)學(xué)學(xué)期成績是 分．
10．（3分）若線段AB上黃金分割點為C，且AC＜BC，又AB的長為2cm，則CB的長為 cm．
11．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x﹣11＝0，則方程可變形為（x﹣5）2＝ ．
12．（3分）已知a是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式4a2﹣2a+2024的值是 ．
13．（3分）已知⊙O最長的弦是10cm，則直徑為 cm．
14．（3分）一直角三角形的兩直角邊是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為 ．
15．（3分）如圖，A、B、C、D四點都在⊙O上，若∠A＝56°，則∠C＝ °．
16．（3分）如圖，圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，那么這個圓錐的側(cè)面積是 cm2．
17．（3分）如圖，OA是⊙O的半徑，B為OA上一點（不與點O，A重合），過點B作OA的垂線交⊙O于點C．以O(shè)B，BC為邊作矩形OBCD連接BD．若BD＝10，BC＝8，則AB的長為 ．
18．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當(dāng)它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為 ．
三、解答題（本大題共10題，共96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0．
（1）如果此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍；
（2）如果此方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且滿足，求a的值．
21．（8分）網(wǎng)店店主小劉打算從甲、乙兩家快遞公司中選擇一家合作，為此，小劉收集了10家網(wǎng)店店主對兩家快遞公司的相關(guān)評價，并整理、描述、分析如下：配送速度得分（滿分10分）：甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
b：服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計圖（滿分10分）：
a：配送速度和服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）比較兩家快遞公司在服務(wù)質(zhì)量得分方差的大小： （填“＞”“＝”或“＜”）．
22．（8分）某紅色研學(xué)基地在網(wǎng)上進行宣傳英雄人物的事跡，吸引了大批師生和社會愛國人士的關(guān)注．今年3月份新增10萬人來此基地研學(xué)，今年5月份新增14.4萬人．
（1）求3月份到5月份到該研學(xué)基地研學(xué)的新增人數(shù)的月平均增長率；
（2）如果能保持這個月平均增長率，則接下來哪一個月該紅色研學(xué)基地新增人數(shù)能達到20萬人？
23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作一個圓，使圓心O在AC邊上，且與AB、BC所在直線相切（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若AC＝3，BC＝4，求（1）中所作的⊙O的半徑．
24．（10分）隨著科技的不斷進步，人工智能（AI）正逐漸滲透到我們的生活和工作．從家庭助手到自動駕駛汽車，再到智能醫(yī)療，AI的應(yīng)用前景廣闊且充滿無限可能．某人工智能科技體驗館在十一假期間為學(xué)生們制訂了豐富多彩的體驗活動，團體票收費標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過10人，人均費用為240元；如果人數(shù)超過10人，每增加1人，人均費用降低5元，但人均旅游費用不得低于170元．
（1）若有14人參加旅游，人均費用是 元．
（2）某興趣小組的學(xué)生們?nèi)⒓芋w驗活動，團體票的費用共3600元，求參加活動的學(xué)生人數(shù)．
25．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，∠BCD＝∠A．
（1）求證：CD是⊙O切線；
（2）若BD＝2，，求⊙O的半徑．
26．（10分）《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來新的發(fā)展機遇．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實踐小組欲測量飛虹塔的高度，測量過程見下表．
（1）嘉嘉發(fā)現(xiàn)當(dāng)BD＝60米時，輕松的就算出飛虹塔的高度，請你按嘉嘉的發(fā)現(xiàn)條件，計算飛虹塔AB的高度．
（2）依據(jù)嘉嘉方法的啟發(fā)，請你根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度AB．
27．（12分）定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．
（1）如圖1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E．
求證：四邊形ADOE是正方形；
（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．分別交AB、OA與點M、點E．
求證：AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）已知⊙O的直徑為10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP＝3BP．求AB的長．
28．（12分）【閱讀材料】如圖1所示，對于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點M，我們把弦AB的中點M到某點或某直線的距離叫做弦AB到這點或者這條直線的“密距”．例如：圖1中線段MO的長度即為弦AB到原點O的“密距”．過點M作y軸的垂線交y軸于點N，線段MN的長度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．
【類比應(yīng)用】已知⊙P的圓心為P（0，8），半徑為4，弦AB的長度為4，弦AB的中點為M．
（1）如圖2所示，如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中，圓心P到弦AB的中點M的距離變化嗎？若不變化，請求出PM的長，若變化，請說明理由．
（2）如圖2所示，當(dāng)AB∥y軸時，弦AB到原點O的“密距”是 ．
（3）如圖2所示，如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中直接寫出弦AB到原點的“密距”d的取值范圍 ．
2024-2025學(xué)年江蘇省揚州市廣陵區(qū)樹人學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共8小題；每題3分，共24分）
1．（3分）2024年8月2日，北橫通道東段主線正式試通車，標(biāo)志著這一世界最長城市核心區(qū)地下道路全線雙向貫通．在一張比例尺為1：1000000的地圖上，北橫通道長約1.9厘米，那么北橫通道實際長度約為（ ）
A．0.19千米B．1.9千米C．19千米D．190千米
【分析】由比例尺的定義：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺建立等量關(guān)系，就可以求出實際距離．
【解答】解：設(shè)地鐵線路的實際長度約為是x厘米，
根據(jù)題意可知，
1：1000000＝1.9：x，
x＝1.9×1000000，
x＝1900000，
1900000厘米＝19千米．
故選：C．
【點評】本題考查了比例尺，掌握比例尺的意義是關(guān)鍵．
2．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面積為4，則△A1B1C1的面積是（ ）
A．B．6C．9D．18
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面積為4，
∴△A1B1C1的面積為9，
故選：C．
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．
3．（3分）方程x（x+1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1
C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：原方程分解可得：x＝0，x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
故選：C．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是關(guān)鍵．
4．（3分）⊙O的直徑為4，點A到圓心O距離為3．則（ ）
A．點A在⊙O外
B．點A在⊙O上
C．點A在⊙O內(nèi)
D．點A與⊙O的位置關(guān)系不能確定
【分析】根據(jù)題意得⊙O的半徑為2cm，則點A到圓心O的距離大于圓的半徑，則根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可判斷點A在⊙O外．
【解答】解：∵⊙O的直徑為4cm，
∴⊙O的半徑為2cm，
而點A到圓心O的距離為3cm，
∴點A在⊙O外．
故選：A．
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．
5．（3分）如圖，在圓O中，弦AB的長為4，圓心到弦AB的距離OC為2，則圓O的半徑長是（ ）
A．1B．C．D．4
【分析】根據(jù)垂徑定理得出，再根據(jù)勾股定理，即可解答．
【解答】解：∵圓心到弦AB的距離OC為2，
∴OC⊥AB，
∵弦AB的長為4，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∴OA＝＝＝2，
即圓O的半徑長是，
故選：C．
【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條?。?br>6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≠0D．k＞1
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故選：B．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
7．（3分）下列說法：
①三點確定一個圓；
②相等的圓心角所對的弧相等；
③同圓或等圓中，等弦所對的弧相等；
④三角形的外心到三角形各頂點距離相等其中，正確的個數(shù)共有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)確定圓的條件對①進行判斷；根據(jù)圓周角定理對②進行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對③進行判斷；根據(jù)三角形外心的定義對④進行判斷．
【解答】解：不共線的三點確定一個圓，所以①錯誤；
在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所以②錯誤；
同圓或等圓中，等弦所對的優(yōu)弧或劣弧對應(yīng)相等，所以③錯誤；
三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，所以④正確；
故選：A．
【點評】本題考查了確定圓的性質(zhì)，圓周角定理和三角形的內(nèi)心和外心，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則BC的長是（ ）
A．B．2πC．D．
【分析】過點O作OD⊥BC，由折疊可得，運用勾股定理可求，再由垂徑定理即可求解．
【解答】解：過點O作OD⊥BC，如圖所示，
由折疊性質(zhì)可知，
∴，
在Rt△OBD中，
∵OD＝，
∴∠OBD＝30°，
∴，
∵OD⊥BC，OD經(jīng)過圓心，
∴，
故選：A．
【點評】本題考查了圓的折疊問題，涉及垂徑定理，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每題3分，共30分）
9．（3分）小明本學(xué)期數(shù)學(xué)綜合實踐活動、期中考試及期末考試的成績分別是88分、90分和90分，各項占學(xué)期成績的百分比分別為10%、40%、50%，則小明的數(shù)學(xué)學(xué)期成績是 89.8 分．
【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法和題目中的數(shù)據(jù)，計算即可．
【解答】解：由題意可得，
小明的數(shù)學(xué)成績是88×10%+90×40%+90×50%
＝8.8+36+45
＝44.8+45
＝89.8（分），
故答案為：89.8．
【點評】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法．
10．（3分）若線段AB上黃金分割點為C，且AC＜BC，又AB的長為2cm，則CB的長為 （） cm．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義，當(dāng)BC是較長線段時，得到BC＝AB，把AB＝2cm代入計算即可．
【解答】解：∵AB＝2cm，
∴由題意可得：BC＝AB＝（cm），
故答案為：．
【點評】本題考查了黃金分割點的概念，正確記憶修改知識點是解題關(guān)鍵．
11．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x﹣11＝0，則方程可變形為（x﹣5）2＝ 36 ．
【分析】先移項，再兩邊配上25，寫成完全平方公式即可．
【解答】解：原方程移項得：x2﹣10x＝11，
∴x2﹣10x+25＝11+25，
∴（x﹣5）2＝36，
故答案為：36．
【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是關(guān)鍵．
12．（3分）已知a是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式4a2﹣2a+2024的值是 2026 ．
【分析】先根據(jù)一元二次方程的根的定義可得2a2﹣a＝1，再代入計算即可得．
【解答】解：有條件可知：2a2﹣a﹣1＝0，即2a2﹣a＝1，
∴4a2﹣2a+2024＝2（2a2﹣a）+2024＝2×1+2024＝2026，
故答案為：2026．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的根的定義“使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟練掌握一元二次方程的根的定義是解題關(guān)鍵．
13．（3分）已知⊙O最長的弦是10cm，則直徑為 10 cm．
【分析】根據(jù)直徑是圓內(nèi)最長的弦確定答案即可．
【解答】解：∵直徑是圓內(nèi)最長的弦，⊙O最長的弦是10cm，
∴圓的直徑為10cm，
故答案為：10．
【點評】考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)最長的弦為直徑，難度不大．
14．（3分）一直角三角形的兩直角邊是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的外接圓的直徑為 5 ．
【分析】先解方程求出兩直角邊的長，進而利用勾股定理求出斜邊長，再由直角三角形外接圓圓心是斜邊的中點，直徑即為斜邊即可得到答案．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得x＝3或x＝4，
∴，
∵直角三角形外接圓圓心是斜邊的中點，直徑即為斜邊，
∴此直角三角形的外接圓的直徑為5．
故答案為：5．
【點評】本題主要考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形外接圓圓心的位置問題，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，A、B、C、D四點都在⊙O上，若∠A＝56°，則∠C＝ 124 °．
【分析】利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補計算即可．
【解答】解：由題意可知：A、B、C、D四點都在⊙O上，∠A＝56°，
由圓的內(nèi)接四邊形對角互補可得：∠C＝180°﹣∠A＝124°，
故答案為：124．
【點評】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形，熟練掌握內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，那么這個圓錐的側(cè)面積是 60π cm2．
【分析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，那么圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．
【解答】解：底面半徑為6cm，高為8cm，則底面周長＝12π，由勾股定理得，母線長＝10，那么側(cè)面面積＝×12π×10＝60π（cm2）．
故答案為：60π．
【點評】本題利用了勾股定理，圓的周長公式和扇形面積公式求解．
17．（3分）如圖，OA是⊙O的半徑，B為OA上一點（不與點O，A重合），過點B作OA的垂線交⊙O于點C．以O(shè)B，BC為邊作矩形OBCD連接BD．若BD＝10，BC＝8，則AB的長為 4 ．
【分析】連接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接OC．
∵四邊形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故答案為：4．
【點評】本題考查圓，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
18．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當(dāng)它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為 ﹣1 ．
【分析】首先判斷出△ABE≌△DAF，即可判斷出∠DAF＝∠ABE，再根據(jù)∠ABE+∠BEA＝90°，可得∠FAD+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根據(jù)點P在運動中保持∠APB＝90°，可得點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點為G，連接DG交弧于點P，此時DP的長度最小，最后在Rt△AGD中，根據(jù)勾股定理，求出DG的長度，再求出PG的長度，即可求出線段DP的最小值為多少．
【解答】解：如圖：
，
∵動點F，E的速度相同，
∴DF＝AE，
又∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴AD＝AB，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠FAD+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵點P在運動中保持∠APB＝90°，
∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，
設(shè)AB的中點為G，連接DG交弧于點P，此時DP的長度最小，
AG＝BG＝AB＝1．
在Rt△BCG中，DG＝＝＝，
∵PG＝AG＝1，
∴DP＝DG﹣PG＝﹣1
即線段DP的最小值為﹣1，
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查了軌跡，解答此題的關(guān)鍵是判斷出什么情況下，DP的長度最小，利用了了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．
三、解答題（本大題共10題，共96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）將x2﹣x＝0的左邊因式分解可得x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1；
（2）將x2﹣4x﹣5＝0的左邊因式分解可得（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1．
【點評】本題考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0．
（1）如果此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍；
（2）如果此方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且滿足，求a的值．
【分析】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，必須滿足Δ＝b2﹣4ac＞0，從而求出a的取值范圍．
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)+＝即可得到關(guān)于a的方程，從而求得a的值．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝4+4a．
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＞0．即4+4a＞0
解得a＞﹣1．
（2）由題意得：x1+x2＝2，x1?x2＝﹣a．
∵，
，
．
∴a＝3．
【點評】本題綜合考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．
21．（8分）網(wǎng)店店主小劉打算從甲、乙兩家快遞公司中選擇一家合作，為此，小劉收集了10家網(wǎng)店店主對兩家快遞公司的相關(guān)評價，并整理、描述、分析如下：配送速度得分（滿分10分）：甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
b：服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計圖（滿分10分）：
a：配送速度和服務(wù)質(zhì)量得分統(tǒng)計表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：m＝ 8 ，n＝ 9 ；
（2）比較兩家快遞公司在服務(wù)質(zhì)量得分方差的大?。? ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的概念即可解答；
（2）根據(jù)折線統(tǒng)計圖和方差的意義判斷即可得出答案．
【解答】解：（1）將甲數(shù)據(jù)從小到大排列為：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
從中可以看出一共10個數(shù)據(jù)，第5個和第6個數(shù)據(jù)均為8，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（8+8）÷2＝8，即m＝8，
其中9出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為9，即n＝9；
故答案為：8，9；
（2）由統(tǒng)計圖可知，甲公司的得分波動較小，其方差較小，故S＜S．
故答案為：＜．
【點評】本題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)和方差的概念，理解并掌握它們的概念和意義并能結(jié)合題干分析問題是解題的關(guān)鍵．
22．（8分）某紅色研學(xué)基地在網(wǎng)上進行宣傳英雄人物的事跡，吸引了大批師生和社會愛國人士的關(guān)注．今年3月份新增10萬人來此基地研學(xué)，今年5月份新增14.4萬人．
（1）求3月份到5月份到該研學(xué)基地研學(xué)的新增人數(shù)的月平均增長率；
（2）如果能保持這個月平均增長率，則接下來哪一個月該紅色研學(xué)基地新增人數(shù)能達到20萬人？
【分析】（1）設(shè)3月份到5月份到該研學(xué)基地研學(xué)的新增人數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)今年3月份新增10萬人來此基地研學(xué)，今年5月份新增14.4萬人．列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；
（2）根據(jù)（1）中求出的增長率，分別求出后面幾個月該紅色研學(xué)基地新增人數(shù)即可解答．
【解答】解：（1）設(shè)3月份到5月份到該研學(xué)基地研學(xué)的新增人數(shù)的月平均增長率為x，
由題意得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），
答：3月份到5月份到該研學(xué)基地研學(xué)的新增人數(shù)的月平均增長率為20%；
（2）由題意可知，6月份該紅色研學(xué)基地新增人數(shù)為：14.4×（1+20%）＝17.28（萬人），
7月份該紅色研學(xué)基地新增人數(shù)為：17.28×（1+20%）＝20.736（萬人），
答：7月份該紅色研學(xué)基地新增人數(shù)人數(shù)能達到20萬人．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作一個圓，使圓心O在AC邊上，且與AB、BC所在直線相切（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若AC＝3，BC＝4，求（1）中所作的⊙O的半徑．
【分析】（1）作∠ABC的平分線BO，交AC于點O，以O(shè)為圓心，以O(shè)C長為半徑畫圓，⊙O即為所求作；
（2）過點O作OH⊥AB于點H，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到OH＝OC，判定點H在⊙O上，AB是⊙O的切線，求出AB＝5，根據(jù)S△ABC＝S△ABO+S△BCO，即可求得．
【解答】解：（1）以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交AB、BC于點D、E，
分別以點D、E為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點F，
作射線BF交AC于點O，
以O(shè)為半徑，以O(shè)C長為半徑畫圓，
⊙O即為所求作；
（2）過點O作OH⊥AB于點H，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥OC，
∴BC是⊙O的切線，
∵BO平分∠ABC，
∴OH＝OC，
∴點H在⊙O上，AB是⊙O的切線，
∵在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO，
∴，
∴3×4＝5OH+4OC，
∴．
故⊙O的半徑為．
【點評】本題主要考查了尺規(guī)作圖．熟練掌握基本作圖，圓的切線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形面積法求三角形高，是解決本題的關(guān)鍵．
24．（10分）隨著科技的不斷進步，人工智能（AI）正逐漸滲透到我們的生活和工作．從家庭助手到自動駕駛汽車，再到智能醫(yī)療，AI的應(yīng)用前景廣闊且充滿無限可能．某人工智能科技體驗館在十一假期間為學(xué)生們制訂了豐富多彩的體驗活動，團體票收費標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過10人，人均費用為240元；如果人數(shù)超過10人，每增加1人，人均費用降低5元，但人均旅游費用不得低于170元．
（1）若有14人參加旅游，人均費用是 220 元．
（2）某興趣小組的學(xué)生們?nèi)⒓芋w驗活動，團體票的費用共3600元，求參加活動的學(xué)生人數(shù)．
【分析】（1）由題意列式計算即可；
（2）設(shè)參加活動的學(xué)生人數(shù)為x人，根據(jù)團體票的費用共3600元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：（1）由題意得：240﹣（14﹣10）×5＝240﹣20＝220，
即若有14人參加旅游，人均費用是22元，
故答案為：220；
（2）設(shè)參加活動的學(xué)生人數(shù)為x人，
由題意得：x[240﹣5（x﹣10）]＝3600，
整理得：x2﹣58x+720＝0，
解得：x1＝18，x2＝40，
當(dāng)x1＝18時，240﹣5×（18﹣10）＝200＞170，符合題意；
當(dāng)x2＝40時，240﹣5×（40﹣10）＝90＜170，不符合題意，舍去；
答：參加活動的學(xué)生人數(shù)為18人．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，∠BCD＝∠A．
（1）求證：CD是⊙O切線；
（2）若BD＝2，，求⊙O的半徑．
【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠OCD＝90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC為半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵BD＝2，OB＝OC，
設(shè)OC＝x，則DO＝x+2，
∵∠OCD＝90°，
∴，
∴x＝2，
答：⊙O的半徑是2．
【點評】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
26．（10分）《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來新的發(fā)展機遇．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實踐小組欲測量飛虹塔的高度，測量過程見下表．
（1）嘉嘉發(fā)現(xiàn)當(dāng)BD＝60米時，輕松的就算出飛虹塔的高度，請你按嘉嘉的發(fā)現(xiàn)條件，計算飛虹塔AB的高度．
（2）依據(jù)嘉嘉方法的啟發(fā)，請你根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度AB．
【分析】（1）由題意易得△CDQ∽△ABQ，然后可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解；
（2）設(shè)BD＝x m，則有QB＝（3+x）米，PB＝（22.5+x）米，由題意易得△EFP∽△ABP，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，＝進而問題可求解．
【解答】解：（1）∵∠CDQ＝∠B＝90°，∠CQD＝∠AQB，
∴△CDQ∽△ABQ，
∴＝，
∵CD＝2米，QD＝3米，QB＝QD+BD＝3+60＝63米，
∴＝，
解得：AB＝42（米），
答：飛虹塔AB的高度是42米；
（2）設(shè)BD＝x米，依據(jù)題意得：QB＝（3+x）米，PB＝（22.5+x）米，
∵∠EFP＝∠B＝90°，∠P＝∠P，
∴△EFP∽△ABP，
∴＝，
∵EF＝CD＝2米，PF＝4米，
∴＝，
∴AB＝，
∵△CDQ∽△ABQ，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝55.5，
經(jīng)檢驗：x＝55.5是原方程的解，
∴AB＝39（米），
答：飛虹塔的大致高度為39米．
【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
27．（12分）定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．
（1）如圖1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E．
求證：四邊形ADOE是正方形；
（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．分別交AB、OA與點M、點E．
求證：AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）已知⊙O的直徑為10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP＝3BP．求AB的長．
【分析】（1）根據(jù)AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，得證四邊形ADOE是矩形，結(jié)合AB＝AC，根據(jù)垂徑定理，得證明四邊形ADOE是正方形；
（2）連接AC，根據(jù)定義，利用圓周角定理證明；
（3）分P等垂點在圓內(nèi)和圓外兩種情況求解即可．
【解答】（1）證明：∵AB、AC是⊙O的等垂弦，
∴AB⊥AC．
∵OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E，
∴四邊形ADOE是矩形．
∵AB＝AC，
∴，
∴四邊形ADOE是正方形；
（2）證明：∵AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠AOC＝∠BOC+∠AOC，
∴∠COD＝∠AOB，
∴AB＝CD；
連接AC，設(shè)AB，CD交點為G，如圖2，
∴，
∴∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠ACD+∠CAB）＝90°，
∴CD⊥AB，
∴AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）解：已知⊙O的直徑為10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．當(dāng)?shù)却裹cP位于圓內(nèi)，過點O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖3，
∴AB⊥CD，
∴四邊形OEPF是矩形，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
∴四邊形OEPF是正方形，
∴OE＝OF＝PE＝PF．
∵AP＝3BP，
設(shè)BP＝x，AP＝3x，
∴AB＝AP+BP＝x+3x＝4x，
∵OE⊥AB，
∴，
∴OE＝OF＝PE＝PF＝x，
連接OB，
∵⊙O的直徑為10，
∴OB＝×10＝5，
在RtOBE中，由勾股定理得OB2＝OE2+BE2，
∴52＝x2+（2x）2，
解得（舍去），
∴；
當(dāng)?shù)却裹cP位于圓外時，過點O作OH⊥AB，OG⊥CD，垂足分別為H，G，如圖4，
由題意得AB⊥CD，
∴四邊形OHPG是矩形，
∵AB＝CD，
∴OH＝OG，
∴四邊形OHPG是正方形，
∴OH＝OG＝PH＝PG．
∵AP＝3BP，
設(shè)BP＝x，AP＝3x，
∴AB＝AP﹣BP＝3x﹣x＝2x，
∵OH⊥AB，
∴，
∴OH＝OG＝PH＝PG＝2x，
連接OA，
∵⊙O的直徑為10，
∴OA＝5，
在Rt△OAH中，由勾股定理得OA2＝OH2+AH2，
∴52＝（x）2+（2x）2，
解得（舍去），
∴．
綜上所述，或．
【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，分類思想，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
28．（12分）【閱讀材料】如圖1所示，對于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點M，我們把弦AB的中點M到某點或某直線的距離叫做弦AB到這點或者這條直線的“密距”．例如：圖1中線段MO的長度即為弦AB到原點O的“密距”．過點M作y軸的垂線交y軸于點N，線段MN的長度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．
【類比應(yīng)用】已知⊙P的圓心為P（0，8），半徑為4，弦AB的長度為4，弦AB的中點為M．
（1）如圖2所示，如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中，圓心P到弦AB的中點M的距離變化嗎？若不變化，請求出PM的長，若變化，請說明理由．
（2）如圖2所示，當(dāng)AB∥y軸時，弦AB到原點O的“密距”是 ．
（3）如圖2所示，如果弦AB在⊙P上運動，在運動過程中直接寫出弦AB到原點的“密距”d的取值范圍 ．
【分析】（1）連接連接PM，PA，根據(jù)垂徑定理可得，進而根據(jù)勾股定理可求得PM，從而運用同圓中等弦的弦心距相等，即可得答；
（2）連接OM，由P（0，8）得到OP＝8，結(jié)合（1）中PM⊥AB可推出PM⊥y軸，根據(jù)勾股定理在Rt△OMP中可求得OM的長，即可解答；
（3）由三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，易得弦AB到原點O的“密距”d的取值范圍．
【解答】解：（1）圓心P到弦AB的中點M的距離不變化；理由如下，
連接PM，PA，如圖2，
∵點M是弦AB（非直徑）的中點，P為圓心，
∴，
∵PA＝4，
∴，
∴根據(jù)同圓中等弦的弦心距相等，可得圓心P到弦AB的中點M的距離不變化；
（2）連接PM，PA，OM，如圖3，
∵⊙P的圓心為P（0，8），
∴OP＝8．
由（1）得，PM⊥AB，又AB∥y軸，
∴PM⊥y軸，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：
，
即由“密距”的定義得弦AB到原點O的“密距”是．
故答案為：；
（3）弦AB到原點的“密距”d的取值范圍為；理由如下：
∵當(dāng)弦AB在⊙P上運動時，OP﹣PM≤OM≤OP+PM，∴，
故答案為：．
【點評】此題考查垂徑定理，勾股定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，理解“密距”的定義統(tǒng)計量
快遞公司
配送速度得分
服務(wù)質(zhì)量得分
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
平均數(shù)
方差
甲
7.9
m
n
7
乙
7.9
8
8
7
主題
跟著悟空游山西，測量“飛虹塔”的大致高度
測量方案及示意圖

測量步驟
步驟1：把長為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點D處，塔尖點A和標(biāo)桿頂端C確定的直線交水平BD于點Q，測得QD＝3米；
步驟2：將標(biāo)桿沿著BD的方向平移到點F處，塔尖點A和標(biāo)桿頂端E確定的直線交直線BD于點P，測得PF＝4米，PD＝22.5米．（以上數(shù)據(jù)均為近似值）
統(tǒng)計量
快遞公司
配送速度得分
服務(wù)質(zhì)量得分
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
平均數(shù)
方差
甲
7.9
m
n
7
乙
7.9
8
8
7
主題
跟著悟空游山西，測量“飛虹塔”的大致高度
測量方案及示意圖

測量步驟
步驟1：把長為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點D處，塔尖點A和標(biāo)桿頂端C確定的直線交水平BD于點Q，測得QD＝3米；
步驟2：將標(biāo)桿沿著BD的方向平移到點F處，塔尖點A和標(biāo)桿頂端E確定的直線交直線BD于點P，測得PF＝4米，PD＝22.5米．（以上數(shù)據(jù)均為近似值）

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