1.我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都在世界上具有重要影響.下列圖形“楊輝三角”、“趙爽弦圖”、“劉徽割圓術(shù)”、“中國七巧板”中，屬于中心對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
2.用配方法解方程，下列配方正確的是( )
A. B. C. D.
3.如圖，根據(jù)二次函數(shù)的圖象，一元二次方程的解是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.一元二次方程根的情況是( )
A. 無實(shí)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D. 無法確定
5.已知點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上.如果，且，則，的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D. 無法確定
6.關(guān)于二次函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是( )
A. 開口向上B. 時(shí)，y隨x的增大而減小
C. 對稱軸是直線D. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為
7.如圖：已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，菱形ABCD的對角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.
B.
C.
D.
8.利用位似可以設(shè)計(jì)有立體感的美術(shù)字.如圖，是某同學(xué)以點(diǎn)O為位似中心，設(shè)計(jì)“MATH”中字母“M”美術(shù)字的一種方法.若，，則的值為( )
A.
B.
C.
D.
9.數(shù)學(xué)活動課上，小明為了測量學(xué)校旗桿的高度，在他腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到旗桿頂端C，此時(shí)，小明畫出如圖所示的示意圖，并估計(jì)他的眼睛與地面的距離為，同時(shí)測得，，則旗桿的高度為( )
A. 10m
B.
C.
D. 40m
10.如圖，取一根長100cm的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn)O并將其吊起來.在中點(diǎn)O的左側(cè)距離中點(diǎn)O10cm處懸掛一個(gè)重量已知的物體，在中點(diǎn)O右側(cè)用一個(gè)彈簧測力計(jì)向下拉，使木桿處于水平狀態(tài).改變彈簧測力計(jì)與中點(diǎn)O的距離單位：，觀察彈簧測力計(jì)的示數(shù)單位：的變化，發(fā)現(xiàn)：單位：是單位：的函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)對應(yīng)如下：
若彈簧測力計(jì)的示數(shù)F為，則彈簧測力計(jì)與中點(diǎn)O的距離L為( )
A. B. C. 35cmD. 36cm
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.方程的根是______.
12.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則常數(shù)m的取值范圍是______.
13.如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接若，，則線段BD的長為______.
14.小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布前形成倒立的實(shí)像點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別是C，若物體AB的高為6cm，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離BE，CE分別為8cm、6cm，則實(shí)像CD的高度為______
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)，連接AM，作線段AM的垂直平分線，過點(diǎn)M作x軸的垂線，記，的交點(diǎn)為P，改變點(diǎn)M的位置，可以得到相應(yīng)的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為______.
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題10分
用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>；
17.本小題8分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，
以點(diǎn)O為對稱中心，畫出關(guān)于點(diǎn)O的對稱圖形；
以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出，并直接寫出的坐標(biāo)______.
18.本小題8分
蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流單位：與電阻單位：之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
求這個(gè)函數(shù)的解析式；
如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻應(yīng)控制在什么范圍？
19.本小題8分
某商場銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件盈利20元，每星期可賣出300件.為吸引顧客，商場決定在“雙十一”期間進(jìn)行促銷活動.若每件商品降價(jià)1元，每星期可多賣出20件.
為了實(shí)現(xiàn)該商品每星期3000元的銷售利潤，則每件需降價(jià)多少元？
該商品每星期的銷售利潤能否達(dá)到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，請說明理由.
20.本小題8分
如圖，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動，連接AP，CP，過點(diǎn)A作交DB的延長線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒.
當(dāng)時(shí)，求證：∽；
當(dāng)時(shí)，若與相似，求線段BE的長.
21.本小題8分
【發(fā)現(xiàn)問題】
在2024年巴黎奧運(yùn)會跳水女子雙人10米跳臺決賽中，中國選手陳芋汐和全紅嬋奪得金牌，跳水夢之隊(duì)實(shí)現(xiàn)該項(xiàng)目七連冠.兩位選手如同復(fù)制粘貼般上演“水花消失術(shù)”，令人嘆為觀止.我們把運(yùn)動員從跳臺上起跳、騰空到入水，近似看成是一條漂亮的拋物線.
【提出問題】
在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，如果將運(yùn)動員從點(diǎn)A處起跳后的運(yùn)動路線看作是拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她運(yùn)動的豎直高度單位：與水平距離單位：之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系.
【分析問題】
小美完成一次試跳，記錄儀記錄了她運(yùn)動時(shí)的豎直高度y與水平距離x的幾組數(shù)據(jù)如下：
請把如表中x，y的各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，畫出小美運(yùn)動的拋物線草圖，并求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
【解決問題】
雙人10米跳臺要求兩位運(yùn)動員同步完成動作.從數(shù)學(xué)的角度分析，至少要滿足豎直距離的最大值及入水時(shí)入水點(diǎn)距跳臺的水平距離分別相等.小美和小麗完成了一次雙人10米跳臺訓(xùn)練，小美的數(shù)據(jù)如上表中所示，小麗的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系
①用，分別表示小美，小麗在空中最高點(diǎn)的豎直距離，則______填“>”“
【解析】解：由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以作圖如下．
圖象過，，
拋物線的對稱軸是直線
頂點(diǎn)為
可設(shè)拋物線為
又拋物線過，
拋物線為
①由題意，小麗的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系為，
又，
故答案為：
②由題意，對于小美而言，其對應(yīng)拋物線為，
令，則
又對于小麗而言，其對應(yīng)拋物線為，
令，則
她們本次訓(xùn)練不會失誤．
依據(jù)題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可作圖；又圖象過，，故拋物線的對稱軸是直線，從而頂點(diǎn)為，可設(shè)拋物線為，再結(jié)合拋物線過，可得，求出a即可判斷得解；
①依據(jù)題意，由小麗的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系為，從而，結(jié)合，進(jìn)而可以判斷得解；
②依據(jù)題意，對于小美而言，其對應(yīng)拋物線為，再令，則，又對于小麗而言，其對應(yīng)拋物線為，再令，則，進(jìn)而可以判斷得解．
本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
22.【答案】
【解析】證明：，，
又，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
；
如圖，過F作交BA延長線于點(diǎn)H，則，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
；
故答案為：；
①方法一：解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
設(shè)，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
；
方法二：解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)
，
，
，
∽，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，，
，，
；
②如圖，作交BC于點(diǎn)N，則，
，
，
根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得出，
，
，
∽，
，
，，
在中，，
，
即，
，
故答案為：
利用邊角邊證≌，得到，再通過倒角即可證出；
構(gòu)造一線三垂直全等，過F作交BA延長線于點(diǎn)H，先證≌，得到，，在證出，進(jìn)而得到，再通過即可得解；
①過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，先證∽，得到，再證∽，得出，設(shè)參，利用建立方程即可得解；
②根據(jù)前述思路構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，所以作交BC于點(diǎn)N，先證∽，得到，進(jìn)而得出，，在中利用勾股定理將BF、BE、BD轉(zhuǎn)化在一起即可得解．
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】或
【解析】解：把點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線中，
，解得：
拋物線
①將拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)加1，縱坐標(biāo)不變，
得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故，
，
②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，，
情況一：當(dāng)時(shí)，
，，
，
，
，舍去，
情況二：當(dāng)，
，，
，
，舍去，
情況三：當(dāng)時(shí)，
，，
，
，
情況四：當(dāng)時(shí)，
，，
，
，舍去
綜上所述，t的值為或或或
③由題意可設(shè)點(diǎn)，，，
則當(dāng)時(shí)，如圖1所示，
，，，
根據(jù)梯形面積公式可得：，
，
即，解得：；
當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)C在D的上方，如圖2所示，
此時(shí)，，，，
故，
令，解得：
綜上所述，m的取值范圍為：或
故答案為：或
把點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線中，即可求解；
①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)加1，縱坐標(biāo)不變后得新拋物線的頂點(diǎn)為，據(jù)此可得新拋物線的頂點(diǎn)表達(dá)式，進(jìn)而化簡即可求解，；
②結(jié)合對稱軸分當(dāng)時(shí)、、、四類討論即可；
③由題意可設(shè)點(diǎn)，，，畫出示意圖，把以C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形面積表示出來，代入中，解不等式即可．
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，二次函數(shù)最值的分類討論，四邊形面積的求法，一元二次不等式的解法，綜合性強(qiáng)，難度大，熟悉以上內(nèi)容并結(jié)合分類討論是解題關(guān)鍵．…
49
14
…
…
2
4
5
7
…
水平距離
3
豎直高度
10
10

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