一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
2．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，D為邊的中點(diǎn)，則AD=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
3．設(shè)兩個單位向量a,b的夾角為，則|4a+5b|=（ ）
A．1B．
C．D．7
【答案】C
4．△ABC中，角，，的對邊分別是，，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
5．如圖所示，在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn).若AB=a，AD=b，則AF等于（ ）
A．14a+bB．13a+bC．14a+13bD．13a+13b
【答案】B
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則CP·BP的最小值為（ ）
A．－B．0
C．4D．－1
【答案】A
7．圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是著名的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美．小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，測得MB=106+2m在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則估算索菲亞教堂的高度為（ ）

A．20mB．mC．mD．m
【答案】B
8．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若sinBsinC3sinA=csAa+csCc，且S△ABC=34a2+b2-c2，則c2a+b的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】在銳角△ABC中，由余弦定理及三角形面積定理得：，
即有，而，則，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化簡得：，
由正弦定理有：，即，，
△ABC是銳角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以． 故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．若，則
C．D．若，則
【答案】ACD
10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則△ABC為等邊三角形
D．若，則△ABC為銳角三角形
【答案】ABC
11．“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦，均過點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．PA?PC為定值
B．當(dāng)AC⊥BD時，AB?CD為定值
C．當(dāng)時，△ABC面積的最大值為
D．OA?OC的取值范圍是
【答案】ABD
【詳解】如圖，過作直徑，
依題意，PA?PC=-|PA||PC|=-|PF||PE|
=-(|OF|-|OP|)(|OF|+|OP|)=-(|OF|2-|OP|2)=-2為定值，A正確；
若AC⊥BD，則PB?CP=AP?PD=0，
則AB?CD=(AP+PB)?(CP+PD)=AP?CP+PB?CP+AP?PD+PB?PD，又PA?PC=-2，則AP?CP=-2，
同理可得PB?PD=-2，故AB?CD=-4，B正確；
如圖，當(dāng)時，若△ABC為等邊三角形，
則S△ABC=12×23×23×32=33>32，
下面說明此等邊三角形存在的情況：取中點(diǎn)，連接，則在中，，則，又在中，，則，所以存在滿足題意的點(diǎn)，C錯誤；
若為中點(diǎn)，連接，則OA?OC=OM+MA?OM+MC
=OM2+OM?MA+MC+MA?MC=2OM2-4，
由題意0≤OM2≤OP2=2，則OA?OC∈[-4,0]，D正確. 故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若α+β=54π,則(tanα+1)(tanβ+1)的值為 ．
【答案】2
13. 若x∈R,則2-csx-sinxi-i的最小值為 ▲ .
【答案】5-1
14．在△ABC中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足OC=3OB，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且AB=mAE，AC=nAF，其中且，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】依題意，作出圖形如下， BO=14BC，
所以AO=AB+BO=AB+14BC=
AB+14AC-AB=34AB+14AC =3m4AE+n4AF，
因為三點(diǎn)共線，所以，
因為，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知為銳角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）因為，
所以，
所以．
（2）因為，
所以，
所以．
16．(15分)已知平面向量a=3,1，b=x,-3.
（1）若a//b，求x的值；
（2）若a⊥b，求x的值；
（3）若=5π6，求x的值.
【答案】（1）若a∥b，則；
（2）若a⊥b，則；
（3）若a,b=5π6，則
17．（15分）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，
在①，②，③這三個條件中任選一個，并解答下列問題（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）：
(1)求角A；
(2)若，，求BC邊上的中線長．
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）選①，在△ABC中，由正弦定理及得：，
而，即，于是得，又，
所以.
選②，在△ABC中，由正弦定理及得：
，而，，則，所以.
選③，在△ABC中，由正弦定理及得：，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由(1)知，，在中，由余弦定理得：
，即，
，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則，
在中，由余弦定理得：，
解得，所以BC邊上的中線長.
18．（17分）在△ABC中，角，，所對的邊分別為，，，，.
(1)若，求邊上的高；
(2)若，求△ABC的面積；
(3)求b+2c最大值.
【答案】(1) (2) (3)1433
【詳解】（1），
設(shè)邊上的高為，則，.
（2）∵a2=b2+c2-2bccsA，，
∵b+c=5，，
，，
.
（3）1433.
19. （17分）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：S=p(p-a)(p-b)(p-c)，這個公式常稱為海倫公式.其中，p=12a+b+c.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：S=14c2a2-c2+a2-b222，這個公式常稱為“三斜求積”公式.
（1）利用以上信息，證明三角形的面積公式S=12acsinB；
（2）現(xiàn)有△滿足，且S△ABC=63，求△周長；
（3）在△ABC中，a+c=8，tanB2=sinA2-csA，求△ABC面積的最大值.
【答案】（1）證明見詳解 （2）為10+27 （3）
【小問1詳解】因為csB=c2+a2-b22ac，即c2+a2-b22=accsB，
可得S=14c2a2-c2+a2-b222=14c2a2-accsB2
=14c2a21-cs2B=12acsin2B，
且，則sinB>0，所以S=12acsinB.
【小問2】10+27
【小問3詳解】因為tanB2=sinB2csB2=2sinB2csB22cs2B2=sinB1+csB，
由題意可得sinB1+csB=sinA2-csA，即sinB2-csA=sinA1+csB，
整理得，
由正弦定理可得，即，
△ABC的面積S=14c2a2-c2+a2-b222=14c2a2-c+a2-2ac-b222
=14c2a2-64-2ac-1622=14c2a2-24-ac2=12ac-144，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則S=12ac-144≤12×16-144=43，
所以△ABC面積的最大值為.

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