考生須知：
1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.
2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、班級(jí)（行政班）用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.
3.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈.
4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷上無效.
2024.11
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）
1. 已知空間向量，，若，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 以上都不對(duì)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)關(guān)系判斷即可得答案.
【詳解】已知，，
設(shè)，則，故,
則時(shí)，，即.
故選：A.
2. 若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，的一組可能取值是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的方程類型列不等式求解的關(guān)系即可得結(jié)論.
【詳解】方程轉(zhuǎn)化為，
若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，所以，
則，的一組可能取值是，.
故選：B.
3. 過，兩點(diǎn)的直線傾斜角為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率表達(dá)式以及斜率和傾斜角關(guān)系得到方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得.
故選：C.
4. 雙曲線的左焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式求解.
【詳解】由已知得，則左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，
所以左焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，
故選：.
5. 暨陽分校環(huán)境優(yōu)美，依山傍水，綠樹成蔭.某日，小明飯后散步至池塘邊，恰好可以在池塘中看到太陽的倒影，即入射光線經(jīng)池塘水面反射后，反射光線經(jīng)過小明眼睛.建立適當(dāng)坐標(biāo)系后，已知入射光線上有一點(diǎn)，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則入射光線所在直線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得入射光線所在直線的方程．
【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，解得，即，
因?yàn)槿肷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)，所以所在直線的斜率為，
則入射光線所在直線方程為，即．
故選：D.
6. 如圖所示，已知直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，，，，分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系求異面直線，所成角余弦值即可.
【詳解】解：連接，，，并且，的中點(diǎn)為，
因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以?br>又因?yàn)樗睦庵鶠橹彼睦庵?br>所以底面，
又因?yàn)?，所以底面?br>所以，.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.
則，，，，，
于是，，，
所以，，
設(shè)異面直線，所成角為，
則.
故選：D
【點(diǎn)睛】
7. 已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，，的一個(gè)公共點(diǎn)恰在以為直徑的圓上，，分別為橢圓與雙曲線的離心率，則的值為（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，列式求解.
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，設(shè)點(diǎn)在第一象限，
所以，，兩個(gè)式子平方和為，
且點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，
所以，，即，
所以.
故選：A
8. 已知圓，直線，點(diǎn)、為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取中點(diǎn)為，連，CE，分析可得當(dāng)共線時(shí)，PC有最大值，結(jié)合圓的對(duì)稱性與正弦定理可得，即，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離即可得的取值范圍，即可得所求.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)為，連，CE，

已知，圓心，半徑，
則當(dāng)共線時(shí)，PC有最大值，
因?yàn)椋瑒t此時(shí)，
又由正弦定理得，故，
所以當(dāng)時(shí)，，
由于點(diǎn)在直線上，所以圓心到直線的距離，
整理解得，
故的最大值為.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分）
9. 直線的方向向量是，若，則平面的法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由題意得到直線的方向向量與面的法向量平行，四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，得到答案.
【詳解】，故直線的方向向量與面的法向量平行，
A選項(xiàng)，與平行，滿足要求，
B選項(xiàng)，，故與平行，滿足要求，
C選項(xiàng)，，故與垂直，不合要求；
D選項(xiàng)，，故與垂直，不合要求，
故選：AB
10. 已知圓，過點(diǎn)且斜率為的直線交圓于，兩點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 時(shí)，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)
B. 時(shí)，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最短
C. 的最大值為
D. 三角形面積的最大值為2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，圓心到直線距離變化，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，相交弦長(zhǎng)與圓心形成的三角形面積逐項(xiàng)判斷，即可得結(jié)論.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
又點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交弦長(zhǎng)，
又圓心到直線的距離，
且當(dāng)直線過圓心時(shí)，即時(shí)，，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為，故A不正確；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最短為，故B正確；
由于為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則，故C正確；
因?yàn)椋?br>直線與圓相交過程中，，所以，
所以三角形面積的最大值為2，故D正確.
故選：BCD.
11. 拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于，，以下說法正確的有（ ）
A. 以為圓心，為半徑的圓與拋物線僅有1個(gè)交點(diǎn)
B. 以為直徑的圓與軸相切
C. 當(dāng)軸時(shí)，取到最小值
D. 若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)，則一定有
【答案】ABD
【解析】
【分析】聯(lián)立圓與拋物線方程，根據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷A；利用半徑與距離的關(guān)系判斷B；當(dāng)軸，求出AB的長(zhǎng)判斷C；將轉(zhuǎn)化為判斷D.
【詳解】
對(duì)于A，拋物線的焦點(diǎn)為，
所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，
聯(lián)立，得，即，
因?yàn)?，所以，交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以以為圓心，為半徑的圓與拋物線僅有1個(gè)交點(diǎn),故A正確；
對(duì)于B，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則的中點(diǎn)，，
則以為直徑的圓的半徑為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以的中點(diǎn)到軸的距離為，即以為直徑的圓與軸相切，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)過點(diǎn)直線斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，
當(dāng)斜率存在時(shí)，直線方程為，聯(lián)立得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)軸時(shí)，AB取到最小值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)，所以， 直線方程為，
聯(lián)立，則，所以，
則
，所以，故D正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中，轉(zhuǎn)化為.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 如下圖所示平行六面體中，，，，則體對(duì)角線________（用，，表示）.
【答案】
【解析】
【詳解】由圖可得.
故答案為：.
13. 若圓與圓有公共點(diǎn)，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)方程可判斷圓心在圓內(nèi)部，兩圓有公共點(diǎn)，當(dāng)圓內(nèi)切與圓時(shí)，圓半徑最小.
【詳解】解：圓的圓心，半徑為2，圓的圓心，半徑為，
因?yàn)?，所以圓心在圓內(nèi)部，
因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，
所以當(dāng)圓內(nèi)切與圓時(shí)最小，
此時(shí)，即.
故答案為：.
14. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的右支上，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】依題意，求出的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合表示的幾何意義求解.
【詳解】
因?yàn)?，?br>所以，即，
即，
所以的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以，即，
因?yàn)椋?br>最小值幾何意義為點(diǎn)到圓上點(diǎn)與到距離和的最小值，
又因?yàn)椋?br>所以表示為最小，
即最小，
所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)符合題意，
即，
所以的最小值為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)在于幾何意義的理解，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)共線時(shí)最小.
四、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，共77分.簡(jiǎn)答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知點(diǎn)，，圓
（1）求過線段中點(diǎn)，且與垂直的直線的方程；
（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出中點(diǎn)與直線的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出即可；
（2）設(shè)切線的斜率，寫出切線方程，應(yīng)用相切的充要條件求出斜率，即可解出切線方程.
【小問1詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)，，
所以線段中點(diǎn)，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
即
【小問2詳解】
解：當(dāng)切線存在斜率時(shí)，
設(shè)切線方程為，即，
因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，
所以，解之得或，
所以圓的切線方程為或
16. 已知橢圓，其中離心率為，且過點(diǎn)
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意，表示橢圓離心率，將點(diǎn)代入橢圓方程，聯(lián)立方程求解；
（2）分別表示出直線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解.
【小問1詳解】
因?yàn)闄E圓，其中離心率為，且過點(diǎn)，
所以，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
過點(diǎn)0,1的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)為，不符題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，
聯(lián)立，得，
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,y2，
則，，
則，
解得，
所以直線的方程.
17. 如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是線段上一點(diǎn)，且.

（1）時(shí)，求證：平面；
（2）時(shí)，若在底面上的射影為的重心，且，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）0
【解析】
【分析】（1）利用面面平行證線面平行可得答案；
（2）利用三角形重心的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間角的向量求法求解可得答案.
【小問1詳解】
連，在等腰梯形中，，當(dāng)時(shí)，有，得，
四邊形為平行四邊形，得，
面，面，面，
又，面，面，面，
，面面，由面，
得平面;
小問2詳解】
，則，連，，，四邊形為等腰梯形，
，由余弦定理可得，則，，
取的重心為，連，作，
如圖，以，，為，，軸，建立坐標(biāo)系，

可得，
，，，，由題意，得，
可得，又因?yàn)椋遥?br>由勾股定理可得，，
又由，得，
又因?yàn)?，可得?br>整理得，；
設(shè)面的法向量為，
，整理得，取，得，，，
又因?yàn)槊娴姆ㄏ蛄繛椋?br>設(shè)平面與平面夾角為，所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為0
18. 已知以動(dòng)點(diǎn)為圓心的圓過點(diǎn)，且圓與直線相切，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
（1）求軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，已知且，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；
【答案】（1）
（2）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義得軌跡方程即可；
（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得關(guān)系，從而得結(jié)論.
【小問1詳解】
動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與直線相切，
點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到直線的距離．
因此，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線
設(shè)該拋物線方程為，可得，解得
拋物線方程為，即為所求軌跡的方程；
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，，
由消去得：，
，化簡(jiǎn)得，
所以，
則
整理得，即，
則或，即或，
所以直線方程為或，
當(dāng)直線方程為時(shí)，過定點(diǎn)，當(dāng)直線方程為時(shí)，過定點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去；
故直線恒過定點(diǎn).
19. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.
（1）若平面，直線的方向向量為，求直線與平面所角的正弦值；
（2）已知集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體體積為，集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求的值及幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的余弦值.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用題中概念計(jì)算出平面法向量，然后利用線面角與直線方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系計(jì)算即可；
（2）分析集合P，利用體積公式求體積即可；利用題目中給定的定義求出法向量，結(jié)合面面角的向量法求解即可．
【小問1詳解】
由題可知，
直線的方向向量為，平面的法向量為，
直線與平面所角為，
則，
【小問2詳解】
易知：集合表示幾何體是關(guān)于平面xy，yz，zx對(duì)稱的，它們?cè)诘谝回韵薜男螤顬檎忮F，如下圖
其中OA、OB、OC兩兩垂直，且，
所以，
集合Q所表示的幾何圖形也關(guān)于平面xy，yz，zx對(duì)稱，
在第一卦限內(nèi)的部分如圖（1），
如圖2，就是把圖1的幾何圖形進(jìn)行分割的結(jié)果.
由平面的方程為：，其法向量為；
平面的方程為：，其法向量為.
且平面與平面所成的角為鈍角，設(shè)為，則，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)空間想象，結(jié)合學(xué)過的知識(shí)，弄清楚三個(gè)集合表示的幾何圖形的形狀.（2）根據(jù)題設(shè)給出的結(jié)論，由平面的方程可直接得到平面的法向量.利用法向量求平面所成的角.

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