（試卷滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘）
一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．
1． 如果式子的值與－互為倒數(shù)，則的值為（ ）
A．B．－C．－D．
2．中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)完成的“祖沖之二號”和“九章二號”量子計(jì)算優(yōu)越性實(shí)驗(yàn)入選
2021年國際物理學(xué)十大進(jìn)展．人們發(fā)現(xiàn)全球目前最快的超級計(jì)算機(jī)用時(shí)2.3秒的計(jì)算量，“祖沖之二號”大約用時(shí)僅為0.00000023秒，將數(shù)字0.00000023用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
3．計(jì)算2x·(－3xy)2·(－x2y)3的結(jié)果是（ ）
A．18x8y5B．6x9y5C．－18x9y5D．－6x4y5
4． 若函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象為（ ）
A．B．C．D．
5．2022年北京冬季奧運(yùn)會中國體育代表團(tuán)共收獲9金、4銀、2銅位列獎(jiǎng)牌榜第三，金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，近五屆冬奧會上中國體育代表團(tuán)的獎(jiǎng)牌數(shù)分別是11，11，9，9，15，對于近五屆冬奧會獲得獎(jiǎng)牌數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）
A．中位數(shù)是9B．平均數(shù)是10C．眾數(shù)是11D．方差是4.8
6．圖1為一個(gè)長方體，AD=AB=10，AE=6，M，N為所在棱的中點(diǎn)，圖2為圖1的表面展開圖，則圖2中MN的長度為（ ）
A．11B．10C．10D．8
7．如圖，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個(gè)半圓，那么陰影部分的面積為（ ）
A．14B．18C．24D．48
8． 如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，，的周長是，若點(diǎn)P在直線上，則的最大值為（ ）
A．12cmB．8cmC．6cmD．2cm
9． 關(guān)于x的不等式組有解，且使關(guān)于x的分式方程
有非負(fù)整數(shù)解的所有m的值的和是（ ）
A．-1B．2C．-6D．0
10. 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，與y軸交于，對稱軸為直線．以下結(jié)論：①；②；③對于任意實(shí)數(shù)m，都有成立；④若，，在該函數(shù)圖象上，則；⑤方程（ ，且k為常數(shù)）的所有根的和為4．其中正確結(jié)論有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．
11. 某超市出售一種商品，其原來售價(jià)為a元，若先提價(jià)30%，再
降價(jià)30%，則現(xiàn)在售價(jià)為___________元．
若正六邊形與正方形按圖中所示擺放，連接
，則__________．
13. 若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長是_________．
14. 已知：且，，，，，則等
于______．
15．現(xiàn)將背面完全相同，正面分別標(biāo)有數(shù)字2、1、2、3的4張卡片洗勻后，背面朝上，從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為，再從剩下的3張卡片中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為，則數(shù)字、都不是方程的解的概率為________．
16．如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點(diǎn)A在軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)， 頂點(diǎn)B在軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=24,BC=5,給出下列結(jié)論：①點(diǎn)A從點(diǎn)O出發(fā)，到點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)O為止，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為6π；②△OAB的面積的最大值為144；③當(dāng)OD最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，其中正確的結(jié)論是_________（填寫序號）.
三、本大題共9小題，共86分．
17．（8分）(1)計(jì)算：；
(2)先化簡，再求值：，其中，．
18．（8分）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，， 且，連，．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
19．（8分）為落實(shí)“雙減提質(zhì)”，進(jìn)一步深化“數(shù)學(xué)提升工程”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，某學(xué)校擬開展“雙減”背景下的初中數(shù)學(xué)活動(dòng)作業(yè)成果展示現(xiàn)場會，為了解學(xué)生最喜愛的項(xiàng)目，現(xiàn)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）參與此次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是____人，并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖①（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
（2）圖②中扇形的圓心角度數(shù)為_____度；
（3）若參加成果展示活動(dòng)的學(xué)生共有1200人，估計(jì)其中最喜愛“測量”項(xiàng)目的學(xué)
生人數(shù)是多少；
（4）計(jì)劃在，，，，五項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選取兩項(xiàng)作為直播項(xiàng)目，請用列表
或畫樹狀圖的方法，求恰好選中，這兩項(xiàng)活動(dòng)的概率．
20．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y＝ （m≠0）的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，AO＝5，OD＝AD，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，n）．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）P是y軸上一點(diǎn),且△AOP是等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
21．（10分）為了美化環(huán)境，建設(shè)宜居成都，我市準(zhǔn)備在一個(gè)廣場 上種植甲、乙兩種花卉.經(jīng)市場調(diào)查，甲種花卉的種植費(fèi)用（元）與種植面積之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種花卉的種植費(fèi)用為每平方米100元.
（1）直接寫出當(dāng)和時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共，若甲種花卉的種植面積不少于，且不超過乙種花卉種植面積的2倍，那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用為多少元？
22．（10分）已知方程的兩根是、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求作一個(gè)新的一元二次方程，使其兩根分別等于、的倒數(shù)的立方．
（參考公式：．
23．（10分）如圖，在中，，平分交 于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn).
（1）求證：是的切線；
（2）設(shè)，，試用含的代數(shù)式表示線段的長；
（3）若，，求的長.
24．（10分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長線交于點(diǎn)F．設(shè)＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長．
（2）連接EG，若EG⊥AF，
①求證：點(diǎn)G為CD邊的中點(diǎn)．
②求λ的值．
25．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，
記的面積為，的面積為，求的最大值；
（3）如圖2，連接，，過點(diǎn)作直線，點(diǎn)，分別為直線和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，，使．若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
四川省閬中中學(xué)校2023年春初2020級4月月考
數(shù)學(xué)試題參考答案
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。
二、填空題（24分，每小題4分）
11．； 12．； 13．； 14．； 15． ； 16．①②③
17．【詳解】(1)原式 ……………………………………2分
； …………………………………4分
(2)原式
， ……………………………………3分
當(dāng)，時(shí)，原式 ……………………………………4分
18．【詳解】（1）證明：∵，
∴，即， ………………………1分
在和中，
∴， ……………………………………3分
∴； ……………………………………4分
（2）解：∵，
∴， ……………………………………6分
∴．…………………8分
19【詳解】（1）因?yàn)閰⑴c活動(dòng)的人數(shù)為36人，占總?cè)藬?shù)，
所以總?cè)藬?shù)人， …………………………………1分
則參與活動(dòng)的人數(shù)為：人；
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下： …………………………2分
（2）扇形的圓心角為：，故答案為：90； ……………………3分
（3）最喜愛“測量”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)是：人； ………………………4分
（4）列表如下：
或者樹狀圖如下： ………………………………6分
所以，選中、這兩項(xiàng)活動(dòng)的概率為：. ……………8分
20．【詳解】（1）∵AD⊥x軸，∴∠ADO＝90°．
在Rt△AOD中，AO＝5，ODAD，∴AD＝4，OD＝3，∴A（3，4），
∴k＝3×4＝12，∴y． …………………………………2分
又點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，∴n2，∴B（﹣6，﹣2）．
∵點(diǎn)A（3，4），B（﹣6，﹣2）在直線AB上，∴，∴ ………4分
∴AB直線的表達(dá)式為yx+2； ……………………………………5分
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，m）．
∵A（3，4），O（0，0），∴OA＝5，OP＝|m|，AP． …………………6分
∵△AOP是等腰三角形，∴分三種情況討論：
①當(dāng)OA＝OP時(shí)，∴|m|＝5，∴m＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5）； ………………7分
②當(dāng)OA＝AP時(shí)，∴5，∴m＝0（舍）或m＝8，∴P（0，8）；………8分
③OP＝AP時(shí)，∴|m|，∴m，∴P（0，）． …………………9分
綜上所述：當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）時(shí)，△AOP是等腰三角形． ……………………………………10分
21．【詳解】（1） ……………………………………4分
（2）設(shè)甲種花卉種植面積為，則乙種花卉種植面積為.
. ……………………………………5分
當(dāng)時(shí)，. …………………………6分
當(dāng)時(shí)，元. ………………………………………7分
當(dāng)時(shí)，. ………………………………8分
當(dāng)時(shí)，元. ………………………………………9分
，當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用最低，最低為119000元.
此時(shí)乙種花卉種植面積為.
答：應(yīng)分配甲種花卉種植面積為，乙種花卉種植面積為，才能使種植總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為119000元. ………………………………10分
22．【詳解】（1）解：∵方程的兩根是、∴
∴∴； ………………………………………3分
（2）解：由（1）可知：，
…………………5分
∴（負(fù)值舍去）； ……………………………………6分
（3）解：由題意可得新一元二次方程的兩個(gè)根為和
則
……………………………………8分
……………………………………9分
所以新的一元二次方程． ……………………………………10分
23．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，
∵AD為∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD， ……………………………………1分
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，
∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∴BC為圓O的切線；………………………3分
（2）連接DF，由（1）知BC為圓O的切線，
∴∠FDC=∠DAF，
∴∠CDA=∠CFD，
∴∠AFD=∠ADB，
∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF， ………………………………………5分
∴ ，即AD2=AB?AF=xy，則AD= ……………………………………6分
（3）連接EF，在Rt△BOD中，sinB=，
設(shè)圓的半徑為r，可得，解得：r=5，∴AE=10，AB=18，…………………7分
∵AE是直徑，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∴sin∠AEF=，
∴AF=AE?sin∠AEF=10×， ……………………………………8分
∵AF∥OD，∴，即DG=AD，
∵AD=，則DG=×=．…………………10分
24．【詳解】（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，………………1分
∵AB＝2，∠B＝90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝， ……………………………………2分
∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； ……………………………………3分
（2）①證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG， ……………………………………4分
在△ADG和△FCG中， ……………………………………5分
∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，即點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)； ……………………6分
②設(shè)CD＝2a，則CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，………………………………………8分
∵GC＝a，F(xiàn)C＝2a，∴，∴，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝． …………………………………10分
25．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．∴，∴， …………………………………2分
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為； ………………………………………3分
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)．
則DG//AK，∴△AEK∽△DEF，∴， ………………………………………4分
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，
將、代入則有：，解得，…………………………5分
∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)x=-1時(shí)，，即K（-1，），∴．
∵．∴ ………………………………………6分
設(shè)點(diǎn)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），
∴．
∴，
當(dāng)時(shí)，有最大值． ……………………………………7分
（3）∵，，．
∴AC=，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=25=52=AB2，∴∠ACB=90°，
∵過點(diǎn)作直線，直線的表達(dá)式為，
∴直線的表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．…………………………………8分
①當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，如圖，∠BPQ=90°，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)Q作QM⊥PN于點(diǎn)M，∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，∴，∴，
又∵，∴，∴，…………………9分
∵NB=t-4，PN=，∴，∴QM=，PM=，
∴MN=+，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得
，解得：，t2=0（舍去），此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
……10分
②當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)．如圖，∠BPQ=90°，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)Q作QM⊥PN于點(diǎn)M，∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，∴∠QPM=∠PBN，
∴，∴，又∵，∴，
∴， ……………………………………11分
∵NB=4-t，PN=，∴，∴QM=，PM=，
∴MN=+，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得
，解得：，

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