一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．
1. 下列式子是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，是整式，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B．，含有兩個未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
C．，未知數的最高次數為1，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
D．，整理可得，是一元二次方程，故本選項符合題意．
故選：D．
2. 根據下列表格的對應值：
可以判斷方程，為常數的一個解x的范圍是（ ）
A. B.
C. D. 無法判定
【答案】B
【解析】由題意，列出表格如下：
由表格可知，當時，存在一個的值使，即滿足方程，
故選B．
3. 2021年5月11日我國第七次人口普查數據出爐，與第五次、第六次人口普查數據相比較，我國人口總量持續(xù)增長．第五次人口普查全國總人口約12.95億，第七次人口普查全國總人口約14.11億，設從第五次到第七次人口普查總人口平均增長率為，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設從第五次到第七次人口普查總人口平均增長率為，根據題意得：
，
故選：A．
4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列哪個條件不能判定平行四邊形ABCD是矩形的是( )
A. AC=BDB. OA=OBC. ∠ABC=90°D. AB=AD
【答案】D
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC=BD，
∴ABCD是矩形，故A正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴ABCD是矩形，故B正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC=90°，
∴ABCD是矩形，故C正確；
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴ABCD是菱形，故D錯誤．
故選：D．
5. 如圖，點分別是四邊形邊的中點．則下列說法：①若，則四邊形為矩形；②若，則四邊形為菱形；③若四邊形是平行四邊形，則與互相平分；④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等．其中正確的個數是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】點分別是四邊形邊的中點，
，，，，
四邊形是平行四邊形，
①若，則，則四邊形是菱形，故原說法錯誤，不符合題意；
②若，則，則四邊形為矩形，故原說法錯誤，不符合題意；
③若四邊形是平行四邊形，不能判定與互相平分，故原說法錯誤，不符合題意；
④若四邊形是正方形，則，，則與互相垂直且相等，故原說法正確，符合題意；
綜上所述，正確的有④，共個，
故選：A．
6. 如圖，將矩形折疊，使點和點重合，折痕為，與交于點若，，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由對折可得：
矩形，




BC=8

由對折得：
故選C．
7. 如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE + PF的最小值是（ ）
A. 2B. C. 1.5D.
【答案】A
【解析】取AB中點G點，連接PG，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為2，∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E點、G點分別為AD、AB的中點，
∴根據菱形的性質可知點E、點G關于對角線AC軸對稱，
∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，
即可知當G、P、F三點共線時，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，
如下圖，G、P、F三點共線，連接FG，
∵F點是DC中點，G點為AB中點，
∴，
∵在菱形ABCD中，，∴，
∴四邊形AGFD是平行四邊形，∴FG=AD=2，
故PE+PF最小值為2，故選：A．
8. 如圖，在正方形外取一點E，連接、、．過點A作的垂線交于點P．若，．下列結論：①；②點B到直線的距離為；③；④；⑤，其中正確的結論是（ ）
A. ①②③B. ①③⑤
C. ①②④⑤D. ①③④⑤
【答案】B
【解析】①，，
，又，，
（故①正確）；
③，，
又，，
，（故③正確）；
②過作，交的延長線于，
，，
，
又③中，，
，
又，
（故②不正確）；
④如圖，連接，在中，
，
，
又，
，
，
，
．（故④不正確）．
⑤，，
在中，，
（故⑤正確）；
故選：B．
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．
9. 已知關于x的一元二次方程有一個根為，則______．
【答案】
【解析】將代入方程，得：，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案為：．
10. 如圖，將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為6cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積為600cm3，若設原鐵皮的邊長為xcm，則根據題意可得關于x的方程是___．
【答案】6（x?12）2＝600
【解析】正方形鐵皮的邊長應是x厘米，則沒有蓋的長方體盒子的長、寬為（x?6×2）厘米，高為6厘米，根據題意列方程得，
（x?6×2）（x?6×2）×6＝600，即6（x?12）2＝600．
故答案是：6（x?12）2＝600．
11. 如圖，菱形的面積為，對角線長，點O為的中點，過點A作交的延長線于點E，連接，則線段的長度是_____．
【答案】
【解析】四邊形是菱形，，
，，，
，，
，
故答案為：．
12. 如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是__．
【答案】4.8
【解析】連接OP，
∵矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA?PE＋OD?PF＝×5×PE＋×5×PF
＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8．
故答案：4.8．
13. 如圖，，是正方形的對角線上的兩點，，，則四邊形的周長是_____．
【答案】
【解析】如圖，連接交于點，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四邊形為平行四邊形，且，
∴四邊形菱形，
∴，
∵，，
由勾股定理得：，
∴四邊形的周長，
故答案為.
14. 如圖，已知直線，過點作x軸的垂線交直線l于點,以為邊作正方形，過點作x軸的垂線交直線l于點，以為邊作正方形，…；則點的坐標為______.
【答案】（2n，2n-1）
【解析】直線y=x，點A1坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線于點B1，可知B1點的坐標為（1，1）；
∴以A1 B1為邊作正方形A1B1C1A2，
則A1B1=A1A2=1，
∴OA2=1+1=2，
點A2的坐標為（2，0），C1的坐標為（2，1），
根據這種方法可求得B2的坐標為（2，2），
故點A3的坐標為（4，0），C2的坐標為（4，2），
以此類推便可求出點Cn的坐標為（2n，2n-1）．
故答案為：（2n，2n-1）．
三、解答題：
15. 已知：線段，直線及直線外一點．
求作：矩形，使得邊在直線上，垂足為，對角線的長度為．
解：如圖，矩形為所作．
16. 解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）；
（3）；
解：（1）
解得：，；
（2）
或，
解得：，；
（3）
，，，
，
，
則，．
17. 若關于的一元二次方程有兩個不相等實數根，求的取值范圍．
解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等實數根，
∴且，
∴且．
18. 一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“美”、“麗”、“揚”、“州”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．
（1）從中任取一個球，球上的漢字是“揚”的概率為_____．
（2）從中任取一個球，不放回，再從中任取一個球，請用樹狀圖或列表法，求取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“揚州”的概率．
解：（1）∵有漢字“美”“麗”、 “揚”、“州”的四個小球，任取一球，共有4種不同結果，
∴球上漢字是“揚”的概率為；
（2）樹狀圖如圖，
所有等可能的情況有12種，其中取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“揚州”的情況有4種，
則取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“揚州”的概率為．
19. 如圖，在中，是邊上的中線,是的中點，過點作，交的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．
解：（1）∵，
，
是的中點，是邊上的中線，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
∵，
四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形是正方形．理由如下：
證明：在中，，，是斜邊上的中線，
，，
平行四邊形是正方形．
20. 尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據市場調查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降價5元，則商店每天的平均銷量是________件（直接填寫結果）；
（2）不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達到1280元，每件商品的定價應為多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要銷售200件該商品，求商品的銷售單價．
解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案為：280．
（2）設每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依題意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定價應為23元或19元．
（3）當x=2時，40x+80=160＜200，不合題意，舍去；
當x=6時，40x+80=320＞200，符合題意，
∴25-x=19．
答：商品的銷售單價為19元．
21. [問題提出]：如圖1，由n×n×n（長×寬×高）個小立方塊組成正方體中，到底有多少個長方體（包括正方體）呢？
[問題探究]：我們先從較為簡單的情形入手．
（1）如圖2，由2×1×1個小立方塊組成的長方體中，長共有1+2＝＝3條線段，寬和高分別只有1條線段，所以圖中共有3×1×1＝3個長方體．
（2）如圖3，由2×2×1個小立方塊組成的長方體中，長和寬分別有1+2＝＝3條線段，高有1條線段，所以圖中共有3×3×1＝9個長方體．
（3）如圖4，由2×2×2個小立方體組成的正方體中，長、寬、高分別有1+2＝＝3條線段，所以圖中共有 個長方體．
（4）由2×3×6個小立方塊組成的長方體中，長共有1+2＝＝3條線段，寬共有 條線段，高共有 條線段，所以圖中共有 個長方體．
[問題解決]
（5）由n×n×n個小立方塊組成的正方體中，長、寬、高各有 線段，所以圖中共有 個長方體．
[結論應用]
（6）如果由若干個小立方塊組成的正方體中共有3375個長方體，那么組成這個正方體的小立方塊的個數是多少？請通過計算說明你的結論．
解：[問題探究]
（3）3×3×3＝27（個）．
故答案為：27．
（4）由題意，寬有：（條），
高有：（條），
長方體共有：3×6×21＝378（個）．
故答案為：6，21，378．
[問題解決]
（5）由題意，長、寬、高各有條線段，
∴圖中共有個長方體．
故答案為：，n3(n+1)38；
[結論應用]
（6）依題意有：n3(n+1)38=3375，
∴，
解得n1＝5，n2＝﹣6（不合題意，舍去），
∴5×5×5＝125（個）．
答：組成這個正方體的小立方塊的個數是125個．
22. 如圖所示，在中，，，，點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動,同時點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點、運動的時間是秒．過點作于點，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的值；如果不能，請說明理由；
（3）當為何值時，為直角三角形？請說明理由．
解：（1）如圖，由題意得：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形能夠成為菱形，理由如下：
如圖，由（1）可知：四邊形是平行四邊形，
若四邊形為菱形，則，
，，
，
又，
，
，
即：當時，四邊形能夠成為菱形；
（3）分三種情況：
當時，如圖，
，
，
又，
四邊形為矩形，
，
，，
，
，
，
，
，，
；
當時，如圖，
由（1）可知：四邊形是平行四邊形，
，
，
在中，，，
，
，
，
即，
；
當時，
由（1）可知：四邊形是平行四邊形，
，
此種情況不成立；
綜上所述，當或時，為直角三角形．
x
1.1
1.2
13
1.4
0.84
2.29
3.76
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
1.29
2.76

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