第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知集合，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?，而，?br>故.
故選：D.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意可得.
故選：A.
3. 命題“或”的否定形式是（ ）
A. 且B. 或
C. 且D. 或
【答案】A
【解析】命題“或的否定形式是且.
故選：A
4. 公差不為的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】由題可知，，則，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：C.
5. 已知，則（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】由，可得，所以，
所以，
即，
所以或.
故選：C.
6. 已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函數(shù)定義域可知，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，要題目條件成立，只需的圖象與的圖象有公共點(diǎn)，即方程在時(shí)有解，
所以，即在時(shí)有解，
作出函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知，，得，綜上所述，，
故選：D.
7. 已知集合，集合，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題可知，，
若，則，
若時(shí)，則.
因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，則集合是集合的真子集，顯然時(shí)成立，
當(dāng)時(shí)，則，且這兩個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)取到，故解得且，
綜上所述：.
故選：B.
8. 若曲線的一條切線為，則的最大值為（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)椋?，切線方程為，
整理得，所以，
設(shè)得，
又因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列四個(gè)條件中，能成為的充分條件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，若，則，是的充分條件，A正確；
對(duì)于B，若，則，是的必要不充分條件，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，是充要條件，C正確；
對(duì)于D，，則，即是的充分條件，D正確.
故選：ACD.
10. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，且，記的前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以公比，
又，所以數(shù)列遞增或遞減或?yàn)槌?shù)列，
化簡(jiǎn)不等式，得，
所以，所以一個(gè)大于，一個(gè)小于，
所以有且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即，
故A正確，B正確；
又因?yàn)?，所以?br>，所以C正確，D不正確.
故選：ABC
11. 下列關(guān)于平面向量的命題，正確的是（ ）
A. 已知點(diǎn)在直線AB上，若點(diǎn)為直線AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，滿足，則
B. 向量在向量上投影向量為
C. 向量滿足，則
D. 若，則向量與向量共線
【答案】BD
【解析】對(duì)A：當(dāng)點(diǎn)在直線AB上時(shí)，和取值不確定，故A錯(cuò)；
對(duì)B：向量在向量上的投影向量的數(shù)量為，
故向量在向量上的投影向量為，B正確；
對(duì)C：向量共線時(shí)，和不唯一，故C錯(cuò)；
對(duì)D：
若，則，
所以有與共線，即或者，
得到或者，
所以共線，D正確.
故選：BD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 滿足不等式的的集合為______；
【答案】
【解析】，得，即，
故答案為：.
13. 已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為______；
【答案】
【解析】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪ⅲ?br>令可得，解得，
若，則上恒成立，
原不等式等價(jià)于在x∈0,+∞上恒成立，
因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像開口向上，對(duì)稱性，
當(dāng)，即時(shí)，
則在上恒成立，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，
則，
可知，符合題意；
綜上所述：的取值集合為.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則______，若在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】 1
【解析】由題，因，則.
則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以.
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
若，則，
構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，
又，則
結(jié)合，則，使得，與已知矛盾；
若，則，
構(gòu)造函數(shù)，則.
構(gòu)造函數(shù)，則.
,
則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，
則，得在上遞減，
則.又，所以，使得，與已知矛盾；
綜上可知，．
，當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，由第一空分析可知，，設(shè)，
則.
設(shè)，則.
.
得在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，
故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：；.
四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
15. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，若是函數(shù)的一個(gè)正極大值點(diǎn)，且的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的取值集合.
解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值，有，
解得，當(dāng)時(shí)，取到最小正值，
即，解得.
（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，
則，可得，
由，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，
又，所以和相差最小正周期的整數(shù)倍或者為極值點(diǎn)，
根據(jù)周期范圍可得符合題意的有三種情況：
（i），則；
（ii），則；
（iii），則.
所以，的取值集合為.
16. 已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，其前項(xiàng)和為，則是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，
解得：，，
于是有，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，，
因此，.
假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得成等差數(shù)列，
則，
即，整理得，
顯然是50的正約數(shù)，又，則或25，50.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，與矛盾，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，無(wú)解
所以存在正整數(shù)使得成等差數(shù)列，此時(shí).
17. 已知中，點(diǎn)在邊BC上，且.
（1）當(dāng)面積最大時(shí)，求值；
（2）當(dāng)周長(zhǎng)最大時(shí)，求的面積．
解：（1）當(dāng)面積最大時(shí)，顯然，
此時(shí)，所以；
（2）設(shè)，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫?br>，化簡(jiǎn)得：，
設(shè)，
得，化簡(jiǎn)得，所以，
解得，所以周長(zhǎng)最大值為，
此時(shí)，由余弦定理解得，所以，
所以的面積為.
18. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于中心對(duì)稱.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）證明：；
（3）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（1）解：
（2）證明：的定義域?yàn)椋O(shè)，
，
，得，得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，所以；
設(shè)，
，得，得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，所以；
綜上所述，成立.
（3）解：
，
設(shè)
令，得
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，
下面證明當(dāng)時(shí)，在時(shí)不恒成立，
，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，值域是，
當(dāng)時(shí)，，使得，此時(shí)，，
即在時(shí)不恒成立；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 已知數(shù)列中，對(duì)，都有，設(shè)，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值．
（1）數(shù)列為，滿足：，寫出的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)為負(fù)整數(shù)，證明：的充要條件是數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；
（3）設(shè)函數(shù)，已知，求函數(shù)的值域.
（1）解：由題意得：，當(dāng)時(shí)，，
所以；
（2）證明：充分性：
若是公差為的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，
所以，
必要性：
若，假設(shè)是第一個(gè)使得的項(xiàng)，
則，與矛盾，
所以是遞減數(shù)列，
所以，
所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；
（3）解：因?yàn)?，所以，且存在，使得?br>下面證明，
假設(shè)中存在小于1的項(xiàng)，則設(shè)是第一個(gè)小于1的項(xiàng)，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以時(shí)，，
所以，
則，與矛盾，
所以，
又因?yàn)?，所以或?br>所以的值域是.

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