一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．函數(shù)是( )
A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)
C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
3．已知直線是雙曲線的一條漸近線，則C的離心率等于( )
A.B.C.D.或
4．將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則"是偶函數(shù)"是""的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．已知向量，，若，則( )
A.1或B.或C.或2D.或1
6．設(shè)，滿足.若函數(shù)存在零點，則( )
A.B.C.D.
7．已知，則( )
A.1B.C.D.2
8．對，不等式恒成立，則( )
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若，則
二、多項選擇題
9．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點.則滿足的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函數(shù)，則( )
A.若，則
B.若，則
C.若，則在上單調(diào)遞減
D.若，則在上單調(diào)遞增
11．已知函數(shù)的定義域為R，若，則( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．曲線在點處的切線的斜率是________.
13．已知雙曲線，都經(jīng)過點，離心率分別記為，，設(shè)雙曲線，的漸近線分別為和.若，則________.
四、雙空題
14．已知復數(shù)，的實部和虛部都不為0，滿足①；②.則________，________.（寫出滿足條件的一組和）
五、解答題
15．已知在中，，.
（1）判斷的形狀，并說明理由;
（2）若點D在邊上，且.若，求的面積.
16．在直角坐標系中，拋物線的焦點為F，點M在拋物線C上，若的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為.
（1）求C的方程;
（2）若點關(guān)于直線對稱的點在C上，求k的值.
17．一設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，，…，，，且.定義事件的信息量為，稱X的平均信息量為信息熵.
（1）若，，求此時的信息熵;
（2）最大熵原理:對一個隨機事件的概率分布進行預測時，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風險最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定.證明:，并解釋等號成立時的實際意義.
（參考不等式:若，則）
18．已知函數(shù).
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間;
（2）若，求證:;
（3）若，使得，求證:.
19．已知正項有窮數(shù)列A：，，…，，設(shè)，記T的元素個數(shù)為.
（1）若數(shù)列A：1，2，4，16，求集合T，并寫出的值;
（2）若A是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證:”的充要條件是“A為等比數(shù)列”;
（3）若，數(shù)列A由2，4，8，…，，這個數(shù)組成，且這個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求的取值個數(shù).
參考答案
1．答案：A
解析：因為，則，解得，
則，所以.
故選：A
2．答案：B
解析：當時，，則，
當時，，則，
綜上可得，，
即函數(shù)為偶函數(shù).
故選：B
3．答案：A
解析：的漸近線方程為，
因此，故，
故離心率為，
故選：A
4．答案：B
解析：由題意可得，由是偶函數(shù)可得，
且，當時，，當時，，
所以由是偶函數(shù)可得或，故充分性不滿足；
當時，可得為偶函數(shù)，故必要性滿足；
所以"是偶函數(shù)"是""的必要不充分條件.
故選：B
5．答案：D
解析：，
，
，即
或.
故選：D.
6．答案：B
解析：函數(shù)的定義域為，且，均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)，
由于，故，
滿足，說明，，中有1個是負數(shù)一定是，兩個正數(shù)或3個負數(shù)，
由于存在零點，故.
故選：B.
7．答案：C
解析：由可得
，
故選：C
8．答案：D
解析：由得，
對于選項A、B，若，可令，不等式可化為，
當時，，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
，
當時，，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
，
，
當時，，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
，
綜上可得，不存在b使得不等式恒成立，選項A、B錯誤.
對于選項C、D，若，
，
，
要使不等式恒成立，則需，
函數(shù)，在為增函數(shù)，
函數(shù)，有相同的零點，
由得，由得，，
，即，
，
，選項D正確.
故選D.
9．答案：BC
解析：設(shè)正方體的棱長為2，
對于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補角）為異面直線，所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯誤.
對于B，如圖（2）所示，取的中點為Q，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.
對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.
對于D，如圖（4），取的中點Q，的中點K，連接，，，，，
則，
因為，故，故，
所以或其補角為異面直線，所成的角，
因為正方體的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故，不垂直，故D錯誤.
故選：BC.
10．答案：ACD
解析：對于AB，，
因為，所以是的極小值點，
則，解得，
此時，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故A正確，B錯誤；
對于C，若，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；
對于D，若，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：ACD.
11．答案：BC
解析：令，，則
令，則
則，，
或
令，，則
若，則，矛盾，
，則，A選項錯誤；
令，則，B選項正確；
令，則，則，即，C選項正確；
由A、C選項中結(jié)論，令，則，則
令，則，
即，D選項錯誤.
故選：BC.
12．答案：
解析：對函數(shù)求導得，當時，，因此，所求切線的斜率為，故答案為.
13．答案：1
解析：當時，，則，
當時，不妨設(shè)，
則，
因為雙曲線經(jīng)過點，
所以，
所以，
因為，所以，則雙曲線的焦點在y軸上，
所以，
同理，
因為，所以，則雙曲線的焦點在x軸上，
所以，
所以，即，
綜上所述，.
故答案為：1.
14．答案：；
解析：設(shè)，，
則，
，
由，
整理得，即，
所以，
可取，，
所以，.
故答案為：；.（答案不唯一，只要滿足，，即可）
15．答案：（1）三角形為直角三角形；
（2）
解析：（1）由可得，
故，進而，
由于，故，
又，故，
化簡可得，故，
由于，故，
進而，故三角形為直角三角形，
（2）由于，，且為直角三角形，
設(shè)，則，，，
故在三角形中，由余弦定理可得，
即，解得，
故
16．答案：（1）；
（2）1
解析：（1）
因為的外接圓的面積為，則其半徑為，
且外接圓的圓心一定在的垂直平分線上，
其中焦點，準線方程為，
所以圓心的橫坐標為，則圓心到準線的距離為，
即，所以C的方程為.
（2）設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，
則兩點連線的中點坐標在直線上，即，
化簡可得①，
由對稱性又可知，和所在直線與垂直，則②，
聯(lián)立①②可得，，解得，所以，
又因為在拋物線上，則，即，
即，
即，即，
所以，
其中時，，所以，
所以，即.
17．答案：（1）；
（2）證明見詳解.
解析：（1）當時，，且，，
，，，
（2）令，則，
有題意可知當時，風險最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定，
當隨機變量中每個變量發(fā)生的概率相同的時候，這時事物中每一個結(jié)果發(fā)生的可能性相同，情況分析是最復雜的，也是最合理的.
18．答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，無增區(qū)間；
（2）證明見詳解；
（3）證明見詳解
解析：（1）當時，，，
則
令，則，
令，，
，
在區(qū)間上單調(diào)遞減增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
的單調(diào)遞減區(qū)間是，無增區(qū)間.
（2），
當時，顯然成立，
當時，，令，
，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
綜上所述，當時，.
（3），
，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，.
不妨設(shè)，則，，
先證：，
易知在處的切線方程為，
該切線與直線的交點的橫坐標為，
令，則，
當時，，此時，
當時，圖像在下方.
，
，
再證，設(shè)，，
易知直線方程為，直線方程為，
則直線，與直線交點的橫坐標為，，
，
，同理可證：，
，類似的可以證明，
，即，
19．答案：（1），；
（2）證明見解析
（3）
解析：（1）因為，，，，
故，，，，，，
所以，；
（2）充分性：若A是等比數(shù)列，設(shè)公比為q.
不妨考慮數(shù)列A是遞增數(shù)列，所以.
則當時，.
所以，故，得證.
必要性：若.
因為A是遞增數(shù)列，所以，
所以且互不相等，又，
所以，
又，
所以，且互不相等.
所以，，，.
所以，
所以A為等比數(shù)列；
若A為單調(diào)遞減數(shù)列，同理可證.
（3）因為數(shù)列A由2，4，8，…，，這個數(shù)組成，任意兩個不同的數(shù)作商（可相等），
比值只可能為1，2，，…，，，…，，，，…，，，…，，共個不同的值；
又因為2，4，8，…，，這個數(shù)在數(shù)列A中共出現(xiàn)次，所以數(shù)列A中存在，所以.
綜上，，且.
設(shè)數(shù)列：2，，…，，，，，…，，
此時，.
現(xiàn)對數(shù)列分別作如下變換：
把前面的移動到和后面的之間，得到數(shù)列：2，，…，，，，，…，，
此時，.
再把前面的移動到和之間，得到數(shù)列：2，，…，，，，，，，…，，
此時，.
依次類推，最后把前面的2移動到最后一項，得到數(shù)列：：，，，，，…，2，2，
此時，，
綜上，可以取到從到的所有個整數(shù)值，所以的取值個數(shù)為.

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