一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．2024的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．2024D．
2．下列幾何體中，主視圖是三角形的為（ ）
A．B．C．D．
3．據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數(shù)據(jù)7358萬用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
4．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．若是方程的兩個根，則（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，平分，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．不等式組的解集在數(shù)軸上可以表示為（ ）
A．B．C．D．
8．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為（ ）
A．B．C．D．
9．我國南宋數(shù)學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設寬為步，根據(jù)題意列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若分式方程無解，則實數(shù)的取值是（ ）
A．0或2B．4C．8D．4或8
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是_______________．
12．關于的一元一次方程的解為，則的值為_______________．
13．某跳遠隊準備從甲、乙兩名運動員中選取一名成績穩(wěn)定的參加比賽．這兩名運動員10次測試成績（單位：）的平均數(shù)是，方差是，那么應選_______________去參加比賽．（填“甲”或“乙”）
14．《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點在同一水平線上，和均為直角，與相交于點．測得，則樹高_______________．
第14題圖
15．如圖，四邊形內(nèi)接于，點在的延長線上．若，則_______________度．
第15題圖
16．如圖，菱形的對角線相交于點是的中點，則的長是_______________．
第16題圖
三、解答題（共9小題，共72分）
17．計算：．
18．先化簡，再求值：，其中．
19．“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機看建筑物頂部的仰角為，看底部的俯角為，無人機到該建筑物的水平距離為10米，求該建筑物的高度．（結果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：）
20．某學校為扎實推進勞動教育，把學生參與勞動教育情況納入積分考核．學校抽取了部分學生的勞動積分（積分用表示）進行調(diào)查，整理得到如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．
請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）統(tǒng)計表中_______________，等級對應扇形的圓心角的度數(shù)為_______________；
（2）學校規(guī)定勞動積分大于等于80的學生為“勞動之星”．若該學校共有學生2000人，請估計該學?！皠趧又恰贝蠹s有多少人；
（3）等級中有兩名男同學和兩名女同學，學校從等級中隨機選取2人進行經(jīng)驗分享，請用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率．
21．如圖，在中，為的角平分線．以點圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點，連接．
（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
22．如圖，在中，點分別在上，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，求的長．
23．某中學組織畢業(yè)班的同學到當?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學校準備為同學們購進兩款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元購進款和用400元購進款的文化衫的數(shù)量相同．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？
（3）在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，款七折優(yōu)惠，款每件讓利元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求值．
24．如圖1，點在圓上運動，滿足，過點的切線交延長線于點．
圖1 圖2
（1）求證：；
（2）記的面積為，若，求
（3）如圖2，點是線段上一動點（不與重合），于P，交于點．若，設，且，試求關于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．
25．已知四個實數(shù)，規(guī)定新運算：；若一次函數(shù)和二次函數(shù)滿足，則稱該一次函數(shù)與二次函數(shù)互為“和諧函數(shù)”；
（1）下列關于的二次函數(shù)是否與一次函數(shù)互為“和諧函數(shù)”？如果是，請在相應的括號中打“√”，不是的打“×”；
①（ ）；②（ ）；③（ ）．
（2）已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點（不重合），若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，證明：上述一次函數(shù)與二次函數(shù)互為“和諧函數(shù)”；
（3）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)互為“和諧函數(shù)”，并且二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（在的左邊），與軸交于點，記拋物線的頂點為，設的外接圓圓心為與軸的另一個交點為，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點的坐標；若不存在，請說明理由．
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題）
1．D 2．A 3．A 4．C 5．A． 6．C 7．D 8．B 9．D 10．D
二、填空題（共6小題）
11．． 12．3 13．甲． 14． 15． 16．5．
三、解答題（共9小題）
17．【解答】解：
．
18．【解答】解：原式，
當時，原式．
19．【解答】解：由題意知，．
，．
．（米）．
在中，
（米）
（米）
答：該建筑物的高度約為27.3米．
20．【解答】解：（1）抽取的學生人數(shù)為：（人），
，
等級對應扇形的圓心角的度數(shù)為：，
故答案為：；
（2）（人），
答：估計該學?！皠趧又恰贝蠹s有760人；
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中恰好抽取一名男同學和一名女同學的結果有8種，
恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率為．
21．【解答】（1）證明：是的角平分線，．
由作圖知：．
在和中，，
；
（2）解：為角平分線，，
由作圖知：．，
，
為的角平分線，．
．
22．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
即，四邊形是平行四邊形，
，平行四邊形是矩形；
（2）解：四邊形是矩形，，
．是等腰直角三角形，
，
，，
，即的長為．
23．【解答】解：（1）設款文化衫每件元，則款文化衫每件元，
根據(jù)題意得：，解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
（2）設購買件款文化衫，則購買件款文化衫，
根據(jù)題意得：，解得：，
又為正整數(shù)，
可以為275，276，277，278，279，，280，共有6種購買方案；
（3）設購買300件兩款文化衫所需總費用為元，
則，
（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，
的值與值無關，，．
24．【解答】（1）證明：在中，．
為圓的切線，即．
（2）解：，設，由，得，即，平方并整理得，解得或（舍），即．
（3）解：，設，則．
易證
易證，
，
．
25．（1）①（√）；②（×）；③（√）
（2）一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點
又二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，
，即，并且
一次函數(shù)和二次函數(shù)滿足
該一次函數(shù)與二次函數(shù)互為“和諧函數(shù)”
（3）法一：假設存在，理由：
二次函數(shù)與一次函數(shù)互為“和諧函數(shù)”，
二次函數(shù)與軸交于點
點即點，
又二次函數(shù)，
對稱軸為直線，
二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點
令，設點，
則
的外接圓圓心為 設
，，，
，即
，即
與軸的另一個交點為
由垂徑定理知，點在的中垂線上，則．
四邊形為平行四邊形，
則，解得：，即
又，
則，，或．
等級
勞動積分
人數(shù)
4
20
8
3

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