浙江省錢塘聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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考生須知：
1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得集合B，利用交集概念即可得出答案.
【詳解】
故，，即C正確.
故選：C
2. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】求絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.
【詳解】由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要條件.
故選：A
3. 命題“，”否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.
【詳解】“，”的否定是“，”.
故選：D
4. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)于AC：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于BD：根據(jù)不等式性質(zhì)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
且，所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如，滿足題意，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
5. 已知是定義在上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)單調(diào)性解不等式即可，注意函數(shù)的定義域.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，且，
則，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A.
6. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一次函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)的圖象可知，
由的圖象可知，互相矛盾，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由函數(shù)的圖象可知，
由的圖象可知，互相矛盾，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由函數(shù)的圖象可知，
由的圖象可知且，符合題意，正確；
對(duì)于D，由函數(shù)的圖象可知，
由的圖象可知且，互相矛盾，錯(cuò)誤.
故選：C
7. 正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）．
A. 4B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】將變形為，再用基本不等式“1”的用法求解即可.
【詳解】解：因?yàn)闉檎龜?shù)，且，所以有，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式“1”的妙用求最值問(wèn)題，屬于中檔題.
8. 已知函數(shù)，記，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 函數(shù)的最小值為
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
D. 若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合分式不等式的解法、數(shù)形結(jié)合思想、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】由，或，
由，或，
所以，
因此選項(xiàng)A正確；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的最小值為，選項(xiàng)B正確；
當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增，選項(xiàng)C不正確；
函數(shù)圖象如下圖所示：
因?yàn)殛P(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
因此有或，因此選項(xiàng)D正確，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化法判斷方程解的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵
二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）
9. 下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且值域?yàn)榈挠校? ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于AD：根據(jù)值域即可排除；對(duì)于BC：根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)于以及函數(shù)值域分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即值域不為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，
可知為偶函數(shù)，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可知的值域?yàn)椋蔅正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>可知為偶函數(shù)，
又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可知的值域?yàn)椋蔆正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，即值域不為，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
10. 受亞洲飛人蘇炳添勇奪東京奧運(yùn)百米決賽第四并破亞洲記錄的影響，甲、乙、丙三名短跑運(yùn)動(dòng)員同時(shí)參加了一次百米賽跑，所用時(shí)間分別為，，.甲有一半的時(shí)間以速度米/秒奔跑，另一半的時(shí)間以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.則下列結(jié)論中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分別列出，，的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式逐一判斷即可．
【詳解】由題意知：，所以，，
，
由基本不等式可得，所以，
所以故，當(dāng)且僅且時(shí)等號(hào)全部成立.
故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤
又由，
故易知，即C項(xiàng)正確；
，，
取，此時(shí)，
所以D選項(xiàng)不一定成立，
故選：AC．
11. 設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 的值域是；
B 任意且，都有；
C. 任意且，都有；
D. 規(guī)定，其中，則.
【答案】ABD
【解析】
【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性就能判斷AB；分別取特殊值代入即可驗(yàn)證C；對(duì)D由遞推式得到的表達(dá)式即可判斷.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以有，
因?yàn)椋裕?br>因此當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，
所以的值域是，故A正確；
對(duì)于B： 函數(shù)是增函數(shù)，
由A可知：奇函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，
∴在時(shí)也單調(diào)遞增，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)任意且時(shí)，令，則有
，，顯然，
因此不成立，故C不正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，
，
于是有，因此，故D正確，
故選：ABD.
非選擇題部分
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.
12. 計(jì)算：____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可得：.
故答案為：.
13. 已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，且，則不等式的解集為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到不等式的解集．
【詳解】由題意可得在上為單調(diào)減函數(shù)，且，
則時(shí)，時(shí)，時(shí)或；
由可得或，則或，
故不等式的解集為．
故答案為：．
14. 已知，集合，集合，若中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】
【分析】分類討論整數(shù)解的正負(fù)性，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列式求解.
【詳解】因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，且，
當(dāng)中有負(fù)整數(shù)時(shí)，若負(fù)整數(shù)小于等于?2，
根據(jù)對(duì)稱性可知：也符合題意，此時(shí)整數(shù)集不止2個(gè)，
所以恰有2個(gè)整數(shù)只能為，
則，解得；
當(dāng)中沒(méi)有負(fù)整數(shù)時(shí)，則恰有2個(gè)整數(shù)，
則，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知集合為全體實(shí)數(shù)集，集合或，．
（1）若，求和；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）或，.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用補(bǔ)集及并集的定義運(yùn)算即得；
（2）分，討論，根據(jù)條件列出不等式，解之即得.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以或，又或x>5，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由題可得，
當(dāng)時(shí)，則 ，即時(shí)，此時(shí)滿足，
②當(dāng)時(shí)，則，所以，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)，求b的取值范圍；
（2）若的解集為，求關(guān)于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.
（2）根據(jù)的解集求得的關(guān)系式，從而求得不等式的解集.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，
由于函數(shù)在上單調(diào)，
所以或，
解得或，
所以的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
由于的解集為，
所以，即，
所以，
所以不等式，即，
所以，，
解得或，所以不等式的解集為.
17. 習(xí)近平總書(shū)記一直重視生態(tài)環(huán)境保護(hù)，十八大以來(lái)多次對(duì)生態(tài)文明建設(shè)作出重要指示，在不同場(chǎng)合反復(fù)強(qiáng)調(diào)“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)保問(wèn)題已經(jīng)成為一個(gè)不容忽視的問(wèn)題.某污水處理廠在國(guó)家環(huán)保部門的支持下，引進(jìn)新設(shè)備，新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉化工原料的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的化工原料的價(jià)值為400元.
（1）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利，如果獲利，求出最大利潤(rùn).
（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？
【答案】（1）該項(xiàng)目會(huì)獲利，當(dāng)時(shí)，S取得最大值
（2）當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由項(xiàng)目獲利為求解；
（2）根據(jù)題意求的解析式，結(jié)合二次函數(shù)以及基本不等式求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)目獲利為S，
則，
當(dāng)時(shí)，則，可得，
因此該項(xiàng)目會(huì)獲利，當(dāng)時(shí)，S取得最大值.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知，生活垃圾每噸平均處理成本為：
，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值240；
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值200，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．
18. 已知是定義在上的函數(shù)，若滿足且.
（1）求的解析式；
（2）判斷單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)都有成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）函數(shù)在上為單調(diào)遞增，證明見(jiàn)詳解
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義和函數(shù)值求得，，即可得解析式；
（2）根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義分析證明；
（3）根據(jù)題意分析可知，結(jié)合單調(diào)性可知在1,2上有解，利用參變分離結(jié)合存在性問(wèn)題分析求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，可知為奇函?shù)，
則，即，
且，即，
則，且，
可知為奇函數(shù)，即，符合題意，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)在上為單調(diào)遞增，證明如下：
對(duì)任意，且，
則，
因?yàn)?，則，，
可得，即，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增.
【小問(wèn)3詳解】
對(duì)都有成立，可知，
由（2）可知在單調(diào)遞增，則，
可得在1,2上有解，只需在1,2上有解，
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，可知在1,2上的最小值為，
可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. 對(duì)于數(shù)集M，定義M的特征函數(shù)：，對(duì)于兩個(gè)數(shù)集，定義.
（1）已知集合，
（i）求的值，并用列舉法表示；
（ii）若用表示有限集合M所包含的元素個(gè)數(shù)，已知集合X是正整數(shù)集的子集，求的最小值（無(wú)需證明）；
（2）證明：.
【答案】（1）①；；②4
（2）證明見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】（1）分析可知當(dāng)元素與數(shù)集的關(guān)系相同時(shí)，，不同時(shí).①結(jié)合題意直接運(yùn)算即可；②根據(jù)給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論分析證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
對(duì)于兩個(gè)數(shù)集，
若，則，即，；
若，則，即，；
若，則，即，；
若，則，即，；
綜上所述：當(dāng)元素與數(shù)集的關(guān)系相同時(shí)，，不同時(shí).
①因?yàn)榧希?br>且，所以，
又因?yàn)?，所以?br>②對(duì)任意，
若元素與數(shù)集的關(guān)系相同時(shí)，且；
若元素與數(shù)集的關(guān)系不相同時(shí)，或；
若取到最小值，則，
當(dāng)為的子集與的并集時(shí)，此時(shí)取到最小值4.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知：對(duì)于兩個(gè)數(shù)集，
綜上所述：當(dāng)元素與數(shù)集關(guān)系相同時(shí)，則，
可得；
當(dāng)元素與數(shù)集的關(guān)系不同時(shí)，則，
可得；
綜上所述：.