1．（3分）﹣的絕對值是（ ）
A．﹣B．C．D．2
2．（3分）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≥﹣6B．x＞﹣6C．x≤﹣6D．x≤6
3．（3分）下列運算，錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）函數(shù)y＝mx+n的圖象如圖所示，則方程mx+n＝0的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝2
5．（3分）冰壺是在冰上進(jìn)行的一種投擲性競賽項目，被喻為冰上的“國際象棋”．如圖是紅、黃兩隊某局比賽投壺結(jié)束后冰壺的分布圖，以冰壺大本營內(nèi)的中心點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，按照規(guī)則更靠近原點的壺為本局勝方，則勝方最靠近原點的壺所在位置位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
6．（3分）若一次函數(shù)y＝﹣2x+5的圖象經(jīng)點A（﹣2，y1）和點B（3，y2），則y1，y2的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1＝y(tǒng)2
7．（3分）2024年河南省夏季圍棋段位賽于8月下旬在溫縣開賽，演繹了一場場精彩絕倫的博弈盛宴．如圖是比賽時部分棋盤的示意圖，若A坐標(biāo)為（﹣2，2），B坐標(biāo)為（1，﹣2），則C坐標(biāo)為（ ）
A．（1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
8．（3分）如圖是一塊長方形草坪，AB是一條被踩踏的小路，已知AC＝12米，BC＝9米．為了避免行人繼續(xù)踩踏草坪（走線段AB），小梅分別在A，B處各掛了一塊下面的牌子，則牌子上“？”處是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）如圖，邊長為2的正方形ABCD面積記為S1，以AD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2025的值為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖1，長方形ABCD中，動點P從點C出發(fā)，速度為2cm/s，沿C→D→A→B方向運動至點B處停止．設(shè)點P運動的時間為x s，△BCP的面積為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則對角線AC長為（ ）
A．48cmB．C．21cmD．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）的算術(shù)平方根為 ．
12．（3分）點P（m，m+1）在直角坐標(biāo)系的x軸上，則P點坐標(biāo)為 ．
13．（3分）已知華氏溫度f和攝氏溫度c的換算關(guān)系為：，在1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下攝氏溫度為5℃，則對應(yīng)的華氏溫度為 ℉．
14．（3分）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，觀察下列各組勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；…，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一組勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)）時，它的股、經(jīng)分別為m2﹣1和m2+1．若一組勾股數(shù)的勾為26，則經(jīng)為 ．
15．（3分）已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C是y軸上一動點，△ABC是以AB為腰的等腰三角形，則滿足條件的點C的坐標(biāo)為 ．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：；
（2）解方程：（1﹣x）3＝﹣27．
17．（9分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點均在格點上．
（1）直接寫出A，B、C三點的坐標(biāo)；
（2）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1；
（3）在y軸上找一點P，使PA+PC最短，在圖中標(biāo)出P點的位置，并寫出P點的坐標(biāo)．
18．（9分）下面是亮亮進(jìn)行二次根式運算的過程，請你仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．
任務(wù)：
（1）從第2步到第3步運用的乘法公式是 （選填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
（2）上述解題過程，最開始出現(xiàn)錯誤的步驟是第 步；
（3）請寫出正確的解題過程；
（4）請根據(jù)本題以及平時學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，給同學(xué)們提一條二次根式運算的注意事項．
19．（9分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P坐標(biāo)為（2m﹣7，3﹣m）．
（1）若點P在x軸下方且到x軸的距離為1，求m的值；
（2）若點P在二、四象限的角平分線上，求點P的坐標(biāo)．
20．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．
（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作∠B的平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若（1）中∠B的平分線交AC于D，求CD的長．
21．（9分）某傳媒公司張貼廣告如圖1所示，已知吊臂總長AB＝15米，吊臂支柱B點與樓房的距離BE＝12米，且吊臂B點距離地面1.5米．
（1）求吊臂最高點A與地面的距離（AO的長度）；
（2）完成A處張貼任務(wù)后，吊車沿射線OP前移，使得吊臂上頂點A下滑至C處，若已知AC長為3米，求吊臂支柱B點移動的距離（BD的長度）．
22．（10分）燈彩（洛陽宮燈）是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．古樸典雅，款式多樣，彩繪蘊蓄，是生活的真實寫照，給人以美的享受．李老師計劃購進(jìn)一批燈彩，已知甲、乙兩個商店的標(biāo)價都是每個10元．
兩商店售賣方式如下：
甲商店
乙商店
設(shè)李老師購買燈彩的個數(shù)為x（個），甲商店所需費用為y1元，且y1＝7x+100；乙商店所需費用為y2元．
（1）甲商店一張會員卡的價格為 元；
（2）求y2的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若李老師準(zhǔn)備買40個燈彩，則選哪個商店比較合算，請說明理由．
23．（10分）數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)重要的思想方法，通過圖象可以數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（0，1），與x軸交于點A．
（1）求b的值和點A的坐標(biāo)；
（2）觀察圖象，當(dāng)x＞0時，y的取值范圍為 ；當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是 ；
（3）若C是y軸上一點，且△ABC的面積為3，求點C的坐標(biāo)．
2024-2025學(xué)年河南省鄭州市新鄭市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的，將正確答案的代號字母填在題后括號內(nèi)．
1．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得答案．
【解答】解：﹣的絕對值是，
故選：C．
【點評】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，熟記絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由題意得：6+x＞0，
解得：x＞﹣6，
故選：B．
【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為零是解題的關(guān)鍵．
3．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對A選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加法運算對C選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D選項進(jìn)行判斷．
【解答】解：A． （）2＝3，所以A選項不符合題意；
B．×＝＝，所以B選項不符合題意；
C．與不能合并，所以C選項符合題意；
D．÷＝＝，所以D選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和除法法則是解決問題的關(guān)鍵．
4．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象看出直線y＝kx+b與x軸的交點坐標(biāo)是（1，0），再根據(jù)交點坐標(biāo)得出方程的解即可．
【解答】解：從圖象可知：函數(shù)y＝mx+n的圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（1，0），
所以方程mx+n＝0的解是x＝1，
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，能正確根據(jù)一次函數(shù)的圖象得出直線y＝kx+b與x軸的交點坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．
5．【分析】根據(jù)圖象可以得到A位置符合題意．
【解答】解：如圖，勝方最靠近原點的壺所在位置是A，位于第四象限．
故選：D．
【點評】本題主要考查了坐標(biāo)確定位置，結(jié)合圖形可以直接得到答案，屬于基礎(chǔ)題型．
6．【分析】將點A（﹣2，y1）和點B（3，y2）坐標(biāo)代入解析式直接求出函數(shù)值比較即可．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時，y1＝9，
當(dāng)x＝3時，y1＝﹣1，
∴y1＞y2．
故選：B．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．
7．【分析】根據(jù)點A、B坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，再結(jié)合圖形可得答案．
【解答】解：由點A、B坐標(biāo)可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則棋子C的坐標(biāo)為（2，1），
故選：B．
【點評】本題主要考查坐標(biāo)確定位置，直角坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置可由點的坐標(biāo)確定，點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)．
8．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵AC＝12米，BC＝9米，
∴AB＝＝＝＝15（米），
∴AC+BC﹣AB＝12+9﹣15＝6（米），
故選：D．
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理求出AB的長是解題的關(guān)鍵．
9．【分析】先根據(jù)題意求得前幾個正方形的面積，再求出第n個正方形的邊長為2×（）n﹣1，則Sn＝（）n﹣3，即可解決問題．
【解答】解：由題意可知，第一個正方形的邊長為2，
∵△DEA是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∴第二個正方形的邊長為DE＝＝＝，
∴S2＝（）2＝2，
同理：第三個正方形的邊長為＝1，
∴S3＝12＝1，
第四個正方形的邊長為＝，
∴S4＝（）2＝，
?，
∴第n個正方形的邊長為2×（）n﹣1，
∴Sn＝[2×（）n﹣1]2＝4×（）n﹣1＝（）n﹣3，
∴S2025＝（）2025﹣3＝（）2022，
故選：B．
【點評】本題考查了勾股定理、規(guī)律型以及等腰直角三角形等知識，熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
10．【分析】通過圖2知，CD段，對應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)，此時CD＝6，而在DA段，△BCE的面積不變，故DA＝2×（8﹣3）＝10，再由勾股定理求解．
【解答】解：由圖象知，
CD＝2×3＝6，DA＝2×（8﹣3）＝10，
∴AC＝＝＝2（cm），
故選：B．
【點評】本題是動點問題的圖象探究題，考查了動點到達(dá)臨界點前后的圖象變化規(guī)律，解答時注意數(shù)形結(jié)合．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．【分析】直接根據(jù)算術(shù)平方根的定義計算即可．
【解答】解：∵ 2＝121
∴＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了平方根的定義．根據(jù)算術(shù)平方根的定義：一個非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個數(shù)的算術(shù)平方根．所以結(jié)果必須為正數(shù)．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．
12．【分析】根據(jù)點在x軸上的坐標(biāo)特征可得m+1＝0，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點P（m，m+1）在直角坐標(biāo)系的x軸上，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1，
∴P點坐標(biāo)為 （﹣1，0）．
故答案為：（﹣1，0）．
【點評】本題主要考查點的坐標(biāo)，熟練掌握點在x軸上的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
13．【分析】將c＝5代入中，即可得出答案．
【解答】解：由題意可知，5＝×（f﹣32），
解得：f＝41．
故答案為：41．
【點評】本題主要考查代數(shù)式求值，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．
14．【分析】當(dāng)一組勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)）時，它的股、經(jīng)分別為m2﹣1和m2+1，由此即可計算．
【解答】解：∵一組勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），2m＝26，
∴m＝13，
∴經(jīng)為m2+1＝132+1＝170．
故答案為：170．
【點評】本題考查勾股數(shù)，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，關(guān)鍵是明白：當(dāng)一組勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)）時，它的股、經(jīng)分別為m2﹣1和m2+1．
15．【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，可求出點A，B的坐標(biāo)，在Rt△AOB中，利用勾股定理，可求出AB的長，分AC為腰及BC為腰兩種情況考慮，當(dāng)AC為腰時，利用等腰三角形的三線合一，可得出OC的長，進(jìn)而可得出點C的坐標(biāo)；當(dāng)BC為腰時，利用等腰三角形的性質(zhì)，可得出BC的長，結(jié)合點B的坐標(biāo)，即可得出點C的坐標(biāo)，綜上所述，即可得出結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝×0﹣4＝﹣4，
∴點B的坐標(biāo)為（0，﹣4），
∴OB＝4；
當(dāng)y＝0時， x﹣4＝0，
解得：x＝3，
∴點A的坐標(biāo)為（3，0），
∴OA＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5．
當(dāng)AC為腰時，OC＝OB＝4，
∴點C的坐標(biāo)為（0，4）；
當(dāng)BC為腰時，BC＝BA＝5，
又∵點B的坐標(biāo)為（0，﹣4），
∴點C的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣9）．
綜上所述，滿足條件的點C的坐標(biāo)為（0，4）或（0，1）或（0，﹣9）．
故答案為：（0，4）或（0，1）或（0，﹣9）．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，分AC為腰及BC為腰兩種情況，求出點C的坐標(biāo)．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．【分析】（1）先根據(jù)二次根式的除法計算，再合并即可；
（2）根據(jù)立方根的定義解方程即可．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣1；
（2）（1﹣x）3＝﹣27，
1﹣x＝﹣3，
x＝4．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，利用立方根解方程，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
17．【分析】（1）由圖可得答案．
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．
（3）取點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接AC'交y軸于點P，則點P即為所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）由圖可得，A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（2）如圖，△A1B1C1即為所求．
（3）如圖，取點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接AC'交y軸于點P，連接CP，
此時PA+PC＝PA+PC'＝AC'，為最小值，
則點P即為所求．
由圖可得，點P的坐標(biāo)為（0，4）．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
18．【分析】（1）根據(jù)平方差公式的特征，即可解答；
（2）利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答；
（3）利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計算，即可解答；
（4）根據(jù)二次根式運算的注意事項，即可解答．
【解答】解：（1）從第2步到第3步運用的乘法公式是平方差公式，
故答案為：平方差公式；
（2）上述解題過程，最開始出現(xiàn)錯誤的步驟是第3步，
故答案為：3；
（3）正確的解題過程如下：
（）2×（5+2）
＝（3﹣2+2）×（5+2）
＝
＝25﹣24
＝1；
（4）根據(jù)本題以及平時學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，給同學(xué)們提一條二次根式運算的注意事項：二次根式的運算，最后結(jié)果應(yīng)化為最簡二次根式．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
19．【分析】（1）根據(jù)點P在x軸下方且到x軸的距離為且x軸的距離為1得出3﹣m＝﹣1，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)點P在二、四象限的角平分線上，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）∵點P在x軸下方且到x軸的距離為且x軸的距離為1，
∴3﹣m＝﹣1，
∴m＝4．
（2）∵點P在二、四象限的角平分線上，
∴2m﹣7+3﹣m＝0，
∴m＝4，
∴2m﹣7＝1，3﹣m＝﹣1，
∴點P的坐標(biāo)為（1，﹣1）．
【點評】本題主要考查點的坐標(biāo)，熟練掌握點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
20．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可．
（2）過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質(zhì)可得DE＝CD，進(jìn)而可得BE＝BC＝4，AE＝AB﹣BE＝1．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3．設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝3﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2＝AE2+DE2，代入求出x的值即可．
【解答】解：（1）如圖，射線BD即為所求．
（2）過點D作DE⊥AB于點E，
∵BD為∠ABC的平分線，∠C＝90°，
∴DE＝CD．
在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC＝，
∴BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝1．
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝3．
設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝3﹣x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＝AE2+DE2，
即（3﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
∴CD的長為．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
21．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出AE的長，再由AO＝AE+OE即可得出結(jié)論；
（2）先由AC＝3米得出CE的長，再由勾股定理求出DE的長，由BD＝DE﹣BE即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米，
∴AE＝＝＝9（米），
∵吊臂B點距離地面1.5米，
∴OE＝1.5米，
∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米），
答：吊臂最高點A與地面的距離是10.5米；
（2）由（1）知，AE＝9米，
∵AC＝3米，
∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米），
∵AB＝CB＝15米，
∴DE＝＝＝＝3（米），
∴BD＝DE﹣BE＝（3﹣12）（米）．
【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
22．【分析】（1）將x＝0代入y1＝7x+100，可以得到相應(yīng)的y1的值，從而可以得到甲商店一張會員卡的價格；
（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出y2的函數(shù)表達(dá)式；
（3）先寫出李老師準(zhǔn)備買40個燈彩，選哪個商店比較合算，然后寫出理由即可．
【解答】解：（1）∵y1＝7x+100，
∴當(dāng)x＝0時，y1＝100，
即甲商店一張會員卡的價格為100元，
故答案為：100；
（2）由題意可得，
y2＝10×0.9x＝9x，
即y2的函數(shù)表達(dá)式為y2＝9x；
（3）李老師準(zhǔn)備買40個燈彩，選乙商店比較合算，
理由：當(dāng)x＝40時，
y1＝7×40+100＝380，y2＝9×40＝360，
∵380＞360，
∴李老師準(zhǔn)備買40個燈彩，選乙商店比較合算．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式．
23．【分析】（1）根據(jù)解析式過點（0，1）直接寫出b值，根據(jù)得到的解析式求出點A的坐標(biāo)即可；
（2）數(shù)形結(jié)合，直接寫出自變量和函數(shù)值的取值范圍即可；
（3）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，m），則BC＝|m﹣1|，根據(jù)三角形面積公式列出方程，求出m值即可得到點C的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（0，1），與x軸交于點A．
∴b＝1，
∴y＝﹣，
當(dāng)y＝0時，x＝3，
∴A（3，0）．
（2）觀察圖象可知，當(dāng)x＞0時，y的取值范圍為y＜1；當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是x＜3；
故答案為：y＜1；x＜3；
（3）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，m），則BC＝|m﹣1|，
S△ABC＝＝3，
∴|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝±2，
∴m＝3或m＝﹣1．
∴點C的坐標(biāo)為（0，3）或（0，﹣1）．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．
解：（）2×（5+2）
＝（3﹣2+2）×（5+2）…第1步
＝…第2步
＝25﹣12…第3步
＝13…第4步
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