A．B．
C．D．
2．（3分）一個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個不等式可能是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
3．（3分）若x＞y，則下列式子中錯誤的是（ ）
A．x+3＞y+3B．x﹣3＞y﹣3C．﹣3x＞﹣3yD．
4．（3分）在下列長度的四根木棒中，能與5cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
5．（3分）王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作的線段AD應(yīng)該是△ABC的（ ）
A．角平分線B．中線
C．高線D．以上都不是
6．（3分）對于命題“若a2＞b2，則a＞b．”下面四組關(guān)于a、b的值中，能說明這個命題是假命題的是（ ）
A．a(chǎn)＝3，b＝2B．a(chǎn)＝﹣3，b＝2C．a(chǎn)＝3，b＝﹣1D．a(chǎn)＝﹣1，b＝3
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊AC，AB于點M、N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝25，則△ABD的面積為（ ）
A．25B．45C．50D．100
8．（3分）如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．若AB＝6，AC＝5，則△ADE的周長為（ ）
A．10B．11C．12D．13
9．（3分）如圖，在三角形ABC中，過點B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于點F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，則線段BF的長度為（ ）
A．2B．C．3D．
10．（3分）如圖，△ABD和△ACE都是等邊三角形，下列結(jié)論：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③∠BFC＝120°；④AF+BF＝DF；其中正確的有（ ）個．
A．2B．3C．1D．4
二.填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：x的3倍與1的差不小于2 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，則∠A的度數(shù)是 ．
13．（3分）如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則∠1的度數(shù)為 ．
14．（3分）如圖，△ABC≌△A′B′C′，若BC′＝9，B′C＝2，則BB′的長度是 ．
15．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別是3cm和7cm，則它的周長是 cm．
16．（3分）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．它由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大、小正方形的面積分別為13和1、則直角三角形的較長直角邊長為 ．
三.解答題（共8小題，共72分）
17．（8分）在6×8長方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點的三角形叫做格點三角形．△ABC是格點三角形，請分別畫出符合下列要求的圖形（各畫出一個即可）．
（1）在圖甲中畫格點△ADC，使△ADC與△ABC全等．
（2）在圖乙中畫格點△DBC，使△DBC與△ABC不全等但面積相等．
18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＞AC．
（1）用直尺和圓規(guī)作BC的中垂線，交AB于點D（要求保留作圖痕跡）；
（2）連接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周長．
19．（8分）如圖，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC與∠ADB的度數(shù)．
20．（8分）△ABC的三邊長分別是a、b、c，且a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．
21．（8分）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）當(dāng)∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過CA的延長線上一點D，作DE⊥BC，垂足為E，交邊AB于點F．
（1）求證：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F(xiàn)為AB的中點，求EF的長．
23．（10分）如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”．
（1）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求證：△ABC是“美麗三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美麗三角形”，求BC的長．
24．（12分）在△DEF中，DE＝DF，點B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線BD上的一個動點（不與點B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA＝BC，連接AC．
（1）當(dāng)點C在線段BD上時，
①若點C與點D重合，請根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為 ；
②如圖2，若點C不與點D重合，請證明AE＝BF+CD；
（2）當(dāng)點C在線段BD的延長線上時，用等式表示線段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要證明）．
2024-2025學(xué)年浙江省杭州市竺可楨學(xué)校教育集團(tuán)濱文中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列體育運(yùn)動圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，利用軸對稱圖形的定義進(jìn)行解答即可．
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
故選：D．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
2．（3分）一個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個不等式可能是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
【答案】A
【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法解答即可．
【解答】解：∵﹣1處是空心圓點，且折線向右，
∴這個不等式可能是x＞﹣1．
故選：A．
【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此題的關(guān)鍵．
3．（3分）若x＞y，則下列式子中錯誤的是（ ）
A．x+3＞y+3B．x﹣3＞y﹣3C．﹣3x＞﹣3yD．
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的兩邊同時加上3，不等號的方向不變，即x+3＞y+3，原變形正確，故此選項不符合題意．
B、在不等式x＞y的兩邊同時減去3，不等號的方向不變，即x﹣3＞y﹣3，原變形正確，故此選項不符合題意．
C、在不等式x＞y的兩邊同時乘以﹣3，不等號的方向改變，即﹣3x＜﹣3y，原變形錯誤，故此選項符合題意．
D、在不等式x＞y的兩邊同時除以3，不等號的方向不變，即＞，原變形正確，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個數(shù)時，不僅要考慮這個數(shù)不等于0，而且必須先確定這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號的方向必須改變．
4．（3分）在下列長度的四根木棒中，能與5cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，判斷即可．
【解答】解：設(shè)第三邊的長為x cm，
則9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴四根木棒中，長度為5cm的木棒，能與5cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形，
故選：C．
【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作的線段AD應(yīng)該是△ABC的（ ）
A．角平分線B．中線
C．高線D．以上都不是
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答．
【解答】解：由三角形的面積公式可知，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分，
∴他所作的線段AD應(yīng)該是△ABC的中線，
故選：B．
【點評】本題考查的是三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）對于命題“若a2＞b2，則a＞b．”下面四組關(guān)于a、b的值中，能說明這個命題是假命題的是（ ）
A．a(chǎn)＝3，b＝2B．a(chǎn)＝﹣3，b＝2C．a(chǎn)＝3，b＝﹣1D．a(chǎn)＝﹣1，b＝3
【答案】B
【分析】要找出命題是假命題的選項，即是找出滿足條件，不滿足結(jié)論的選項；本題中條件為a2＞b2，結(jié)論為a＞b，即需找出滿足a2＞b2，但不滿足a＞b的選項；從選項中先找出滿足a2＞b2的選項，再從中找出不滿足a＞b的選項，問題即可解答．
【解答】解：根據(jù)題意可知，當(dāng)a＝﹣3，b＝2時，a2＞b2，但不滿足a＞b．
故選：B．
【點評】本題側(cè)重考查命題與推理，命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊AC，AB于點M、N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝25，則△ABD的面積為（ ）
A．25B．45C．50D．100
【答案】C
【分析】如圖，過點D作DH⊥AB于H．利用角平分線的性質(zhì)定理證明DC＝DH＝4，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點D作DH⊥AB于H．
由作圖可知，AD平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝4，
∴S△ABD＝?AB?DH＝×25×4＝50，
故選：C．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
8．（3分）如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．若AB＝6，AC＝5，則△ADE的周長為（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【分析】先由平行線的性質(zhì)與角平分線的定義證得∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，再由等腰三角形的判定即可得出BD＝FD，CE＝FE，然后根據(jù)三角形周長公式求解即可．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∴△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AD+FD+FE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝6+5＝11．
故選：B．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，證得BD＝FD，CE＝FE是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在三角形ABC中，過點B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于點F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，則線段BF的長度為（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】根據(jù)ASA證明△ADF與△BDC全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△ADF與△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴DF＝CD，
∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3，
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)ASA證明△ADF與△BDC全等解答是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，△ABD和△ACE都是等邊三角形，下列結(jié)論：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③∠BFC＝120°；④AF+BF＝DF；其中正確的有（ ）個．
A．2B．3C．1D．4
【答案】D
【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，進(jìn)而推出∠DAC＝∠BAE，再結(jié)合SAS即可證明△AEB≌△ACD，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
③根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BFC＝∠BDF+∠DBF，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得∠ADC＝∠ABE，至此不難求出結(jié)果；
②過點A分別作BE，CD的垂線段AM，AN，垂足分別為M，N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得S△AEB＝S△ACD，進(jìn)而得出AM＝AN，據(jù)此證明結(jié)論；
④由②得NF＝MF，∠AFM＝∠DFE＝∠BFC＝60°，進(jìn)而可得NF＝MF＝AF，再結(jié)合全等三角形的知識可證出BM＝DN，至此問題得解．
【解答】解：①∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△AEB和△ACD中，
，
∴△AEB≌△ACD（SAS），
∴BE＝DC，故正確；
③∵△AEB≌△ACD，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠BDF+∠DBA+∠ABE＝∠DBA+∠BDF+∠ADC＝120°，故正確；
②過點A分別作BE，CD的垂線段AM，AN，垂足分別為M，N．
∵△AEB≌△ACD，
∴S△AEB＝S△ACD，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE，故正確．
④由②得NF＝MF，∠AFM＝∠DFE＝∠BFC＝60°，
∴NF＝MF＝AF，
在Rt△AND和Rt△AMB中，
，
∴Rt△AND≌Rt△AMB（HL），
∴BM＝DN，
∴AF+BF＝BM+NF＝DN+NF＝DF，故正確．
故選：D．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
二.填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：x的3倍與1的差不小于2 3x﹣1≥2 ．
【答案】3x﹣1≥2．
【分析】x的3倍與1的差表示為3x﹣1，不小于2表示為≥2，進(jìn)而可列出關(guān)于x的一元一次不等式，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：3x﹣1≥2．
故答案為：3x﹣1≥2．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，則∠A的度數(shù)是 25° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度數(shù)可得∠A的度數(shù)．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠A＝25°，
故答案為：25°．
【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，兩個銳角互余．
13．（3分）如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則∠1的度數(shù)為 105° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和計算即可．
【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)可得：∠1＝（90°﹣45°）+60°＝105°，
故答案為：105°．
【點評】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，△ABC≌△A′B′C′，若BC′＝9，B′C＝2，則BB′的長度是 3.5 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊相等，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴BC＝B'C'，
∴BB'＝CC'，
又∵BC′＝9，B′C＝2，
∴BB′的長度是（9﹣2）÷2＝3.5，
故答案為：3.5
【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．
15．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別是3cm和7cm，則它的周長是 17 cm．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】等腰三角形兩邊的長為3cm和7cm，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．
【解答】解：①當(dāng)腰是3cm，底邊是7cm時：不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．
②當(dāng)?shù)走吺?cm，腰長是7cm時，能構(gòu)成三角形，則其周長＝3+7+7＝17（cm）．
故答案為：17．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．它由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大、小正方形的面積分別為13和1、則直角三角形的較長直角邊長為 3 ．
【答案】3．
【分析】由題意得，正方形ABCD的面積＝13，正方形EFGH的面積＝1，設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，EF＝b﹣a（b＞a），根據(jù)勾股定理得到a2+b2＝13，解方程組即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，由題意得，正方形ABCD的面積＝13，正方形EFGH的面積＝1，
∴AD2＝13，EF2＝1，
設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，EF＝b﹣a（b＞a），
∴（b﹣a）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，b﹣a＝1，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
∴a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6，
解方程組，
解得（舍去負(fù)值），
∴DE＝3，
即直角三角形的較長直角邊長為3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
三.解答題（共8小題，共72分）
17．（8分）在6×8長方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點的三角形叫做格點三角形．△ABC是格點三角形，請分別畫出符合下列要求的圖形（各畫出一個即可）．
（1）在圖甲中畫格點△ADC，使△ADC與△ABC全等．
（2）在圖乙中畫格點△DBC，使△DBC與△ABC不全等但面積相等．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）在BC所在的格線上取格點D，使CD＝CB，作△ADC，△ADC即為所求；
（2）在過A且平行于BC的格線上取格點D，作△DBC，則△DBC即為所求（答案不唯一）．
【解答】解：（1）在BC所在的格線上取格點D，使CD＝CB，作△ADC，如圖甲：
△ADC即為所求；
（2）在過A且平行于BC的格線上取格點D，作△DBC，如圖乙，則△DBC即為所求（答案不唯一）．
【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特征，作出符合條件的圖形．
18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＞AC．
（1）用直尺和圓規(guī)作BC的中垂線，交AB于點D（要求保留作圖痕跡）；
（2）連接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）直接利用線段垂直平分線的作法得出直線MN；
（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出△ADC的周長為＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：
直線MN即為所求；
（2）由（1）可知，直線MN是線段BC的垂直平分線，
∴DC＝DB，
∴△ACD的周長為＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，
∵AB＝8，AC＝4，
∴△ACD的周長為8+4＝12．
【點評】本題考查基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)與作法，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC與∠ADB的度數(shù)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠DAC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠ADB．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝50°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°．
【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）△ABC的三邊長分別是a、b、c，且a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】首先計算a2+b2，再利用因式分解可得a2+b2＝（m2+n2）2＝c2，進(jìn)而可得此三角形是直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形，
∵a2+b2，
＝（m2﹣n2）2+（2mn）2，
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2，
＝m4+2m2n2+n2，
＝（m2+n2）2，
＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
21．（8分）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）當(dāng)∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根據(jù)三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）證明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過CA的延長線上一點D，作DE⊥BC，垂足為E，交邊AB于點F．
（1）求證：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F(xiàn)為AB的中點，求EF的長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）因為AB＝AC，所以∠B＝∠C，再利用DE⊥BC進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)換，得出∠D＝∠DFA，推導(dǎo)出△ADF是等腰三角形；
（2）根據(jù)勾股定理計算EF的長．
【解答】解：（1）證明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D，
又∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴△ADF 是等腰三角形；
（2）∵F為AB的中點，
∴AF＝BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF＝AF＝AD＝13，
∵DE⊥BC，
∴EF＝＝12，
答：EF的長為12．
【點評】本題考查的重點是等腰三角形的定義，熟練運(yùn)用角度之間的轉(zhuǎn)換，掌握勾股定理求線段的長度．
23．（10分）如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”．
（1）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求證：△ABC是“美麗三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美麗三角形”，求BC的長．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)“美麗三角形”的定義證明；
（2）分AC邊上的中線BD等于AC，BC邊上的中線AE等于BC兩種情況，根據(jù)勾股定理計算．
【解答】（1）證明：過點A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝2，
由勾股定理得，AD＝＝4，
∴AD＝BC，即△ABC是“美麗三角形”；
（2）解：當(dāng)AC邊上的中線BD等于AC時，如圖2，
BC＝＝6，
當(dāng)BC邊上的中線AE等于BC時，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，
解得BC＝8．
綜上所述，BC的長是6或8．
【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
24．（12分）在△DEF中，DE＝DF，點B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線BD上的一個動點（不與點B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA＝BC，連接AC．
（1）當(dāng)點C在線段BD上時，
①若點C與點D重合，請根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為 AE＝BF ；
②如圖2，若點C不與點D重合，請證明AE＝BF+CD；
（2）當(dāng)點C在線段BD的延長線上時，用等式表示線段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要證明）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）①如圖1，根據(jù)已知條件得到△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②證明：在BE上截取BG＝BD，連接DG，得到△GBD是等邊三角形．同理，△ABC也是等邊三角形．求得AG＝CD，通過△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）如圖3，連接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根據(jù)線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論；如圖4，連接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根據(jù)線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）①如圖1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC與△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案為：AE＝BF；
②證明：在BE上截取BG＝BD，連接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等邊三角形．
同理，△ABC也是等邊三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE與△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如圖3，連接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如圖4，連接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/25 0:08:44；用戶：13551613617；郵箱：13551613617；學(xué)號：60190894

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