8 ．D
解：如圖所示：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
C
B
B
A
D
D
AD
BD
BCD
F1F2
設(shè)橢圓與雙曲線的焦距為
, 1
= 2c | PF
= t , 由題意可得
:t + c = 2a1 ,t - c = 2a2
:t = 2a1 - c, t = 2a2 + c ， :2a1 - c = 2a2 + c ，即 a1 - a2 = c
= 1 ，即e1 =
由e2 > 1可知0 < < 1，令x = ， :y = x2 + x ∈ 所以e2 - e1 > ，故選 D.
11．BCD
2 2
解：A 選項： 由橢圓方程 = 1 ，所以a2 = 8 ，b2 = 4 ，所以c2 = a2 -b2 = 4 ， 所以 △F1PF2 的面積為S = b2 tan = 4 ，故 A 錯誤；
B 選項：當(dāng)PF1 丄 F1F2 或PF2 丄 F1F2 時 △F1PF2 為直角三角形，這樣的點P 有 4 個，
設(shè)橢圓的上下頂點分別為S ，T ，則 = 2, : , 同理 ， 知上F1SF2 = 上F1TF2 = 90。，所以當(dāng)P 位于橢圓的上、下頂點時 △F1PF2 也為直角三角形，
其他位置不滿足，滿足條件的點P 有 6 個，故 B 正確；
C 選項： 由于PF1 - 2PF2 = 2a - PF2 - 2 PF2 = 4 2 - 3 PF2 ，
所以當(dāng)PF2 最小即 = a - c = 22 - 2 時， PF1 - 2PF2 取得最大值6 - 2 · , 故 C 正確；
D 選項：因為PF1 + PM = 2a - PF2 + PM = 4 2 + PM - PF2 ，
又 則 PF1 + PM 的最大、最小值分別為和
當(dāng)點P 位于直線MF2 與橢圓的交點時取等號，故 D 正確.
故選：BCD
14 ． [5, +∞)
解：由題意，知2x3 - 2mx + m ≤ -3x2 ，即2x3 + 3x2 ≤ m(2x -1) .
因為 ，所以m ≥ 在 上有解，只需m ≥ min .
設(shè) 對函數(shù)h (x ) 求導(dǎo)，
所以函數(shù)h (x )在[1, +∞) 上單調(diào)遞增，所以h (x)min = h (1) = 5 ，所以m ≥ 5 . 故答案為： [5, +∞) .
15 ．解（1）在 △ABC 中， 由已知可得b > a > c ，故由sin C = ，可得cs C = . 由已知及余弦定理，有c2 = a2 + b2 - 2ab csC = 13 ，所以c = · ,
由正弦定理 得sin A = 所以， c 的值為 ， sin A 的值為 .
（2）設(shè)BC 邊的中點為D ，在 △ACD 中， cs C = ，由余弦定理得：
16 ．解（1） 由已知，可設(shè)拋物線的方程為y2 = 2px(p > 0)，
雙曲線的標準方程為
把點M(1, 2) 代入拋物線方程，求得p = 2 ，
: 拋物線的方程為y2 = 4x ，焦點坐標為F1 (1, 0) .
則對于雙曲線，右焦點坐標為F1 (1, 0) ，則另一個焦點坐標為F2 (-1, 0) ，故c = 1， 又M(1, 2) 在雙曲線上，根據(jù)雙曲線的定義知，
2a = MF1 - MF2 = ·22 + 22 - ·、02 + 22 = 2 ·i2 - 2 ， :a = · -1 ， a2 = 3 - 2 ·i2 ，b2 = c2 - a2 = 2 · - 2 .
故雙曲線的標準方程為22-2 = 1 .
（2） 由題意可得， AP 的中點為C ， l 的方程為x=n ，以線段AP 為直徑的圓C 交 l 于D 、E 兩 個點，DE 的中點為H ，則 CH 丄 l .
設(shè) A(x1, y1 ) ，則 C (|( , ), ，D (x2, y2 ) ， x2 = n ，H (|(x2 , ), ，
因為， △CHD 為直角三角形，且上CHD = ， CD2 = CH2 + HD2
所以， DH |2 = DC |2 - | HC |2 = + 3]2 = x1 - n2 + 3n ，
顯然，當(dāng)n = 2 時， DH2 = -4 + 6 = 2 為定值.
所以，弦長為DE = 2 DH = 2 · 為定值.
故存在垂直于x 軸的直線l （即直線DE ），被圓截得的弦長為定值， 直線l 的方程為x = 2 .
17 ．解（1）連接BC1 ，交B1C 于點N ，連接NE ，
因為側(cè)面BCC1B1 是平行四邊形，
所以N 為B1C 的中點，又因為點E 為線段 AC 的中點， 所以NE//AB1 ，
因為 AB1 丈 面BEC1 ， NE 面BEC1 ， 所以 AB1 // 面BEC1 .
（2）連接 A1C ， A1E ，因為上A1AC = ， AC = AA1 = 2 ，
所以△AA1C 為等邊三角形， A1C = 2 ，
因為點E 為線段AC 的中點， 所以A1E 丄 AC ，
因為側(cè)面 ACC1A1 丄 底面 ABC ，平面 ACC1A1 ∩ 平面 ABC = AC ， A1E 平面 ACC1A1 ， 所以 A1E 丄 底面ABC ，
過點E 在底面 ABC 內(nèi)作EF 丄 AC ，如圖以E 為坐標原點，分布以E-- ，E-- ，E--A 的方向為x, y, z
軸正方向建立空間直角坐標系，
則 ， C1 (0, 2, ·i3 )， 所以
設(shè)平面BEC1 的法向量為預(yù)=(x,y, z)，
則 ，令x = 1 ，則y = , z = -2 ，
所以平面BEC1 的法向量為 = (1, ·i3, -2)，
又因為平面 ABE 的法向量為 = (0, 0, 1)，
經(jīng)觀察，二面角 A - BE - C1 的平面角為鈍角，
所以二面角 A - BE - C1 的余弦值為- .
18 ．解（1）當(dāng)k = 2 時， f (x) = x -1- 2ln x ， (x > 0) ，
所以 所以切線的斜率為f,(1) = -1，
又因為f (1) = 1-1- 2ln1 = 0 ，
所以曲線f (x)在x =1 處的切線方程為y = -(x -1) ，即y = -x +1 .
答案第5頁，共 7頁
因為f, ,k ≠ 0 ， 當(dāng)k < 0 時， f,
所以f (x ) = x -1-klnx 在(0, +∞) 上單調(diào)遞增，
又因為f(|( ), = - +kln 2 < 0 ，與f (x ) ≥ 0 不符； 當(dāng)k > 0 時， 由f, 0 得x > k ，
所以f (x ) = x -1-klnx 在(0, k) 上單調(diào)遞減，在(k, +∞) 上單調(diào)遞增.
所以f (x ) ≥ f(k) = k-1-kln k ，所以k-1-kln k = 0，
設(shè)g(x) = x -1 - x ln x (x > 0) ， 則g,(x) = 1- (1+ ln x) = -ln x ， 由g ,(x) > 0 ，可得0 < x < 1，
所以g(x) = x -1 - x ln x 在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1, +∞) 上單調(diào)遞減， 所以g (x ) ≤ g(1) = 1-1-ln1 = 0 ，
所以k-1-klnk = 0 有唯一解，且k = 1 .
（3） 由（2）知當(dāng)x > 0 時， f (x) = x -1 -ln x ≥ 0， 當(dāng)且僅當(dāng)x = 1 時， f (1) = 0 .
所以當(dāng)x > 0 且x ≠ 1 時， f (x ) = x -1-ln x > 0 ， 則x -1 > ln x .
取x = 1+ 所以 ，
所以ln(1 + ) < ，ln(1 + ) < ， ? , ln(1 + ) <
2 2 2 2 2 2
所以ln(1 + 1) + ln(1 + + …+ ln(1 + 1n) < 1 + + …+ .
1
所以(1 + 1)(1 + 12 ) …(1 + 1n) < e 1- 2n < e
所以
2 2 2
答案第6頁，共 7頁
于是對于任意正整數(shù)
只需e ≤ m ，又因為m ∈ Z ，所以m ≥ 3 ， 則 m 的最小值為3 .
19．解（1）因為 f (x ) = cs |(( + x,) + cs (-x ) = - sin x + cs x ，所以f (x) 的互生向量-M--→ = (-1, 1) .
（2） 由題意可得3 sin x - cs x = 2 = 2 sin 所以
令2kπ - ≤ 2x - ≤ 2kπ + , k ∈Z ，解得 ≤ x ≤ kπ + ,k ∈ Z ， 因為 所以0 ≤ x ≤ ,
所以函數(shù)y = f (2x)在x 上的嚴格增區(qū)間為 .
（3） 由題f (x) = 2 sin x ，則g (x ) = f (x )+ 2 ·i3 csx -k = 2 sin x + 2 csx -k ，
若函數(shù)g(x)在[0, 2π ]上有四個零點，則k = 2 sin x + 2·、i3 csx 在[0, 2π ]上有四個實數(shù)根，
則函數(shù)h (x ) = 2 sin x + 2csx 與y = k 在[0, 2π ]上的圖象有四個交點，
因為h (x ) = 2 sin x + 2 csx = { 2 sin x + 23 cs x, 0 ≤ x ≤ 2 或 2 ≤ x ≤ 2 π , 2 sin x - 2 cs x π < x < 3π
則由三角函數(shù)性質(zhì)作其函數(shù)圖象如圖所示，
由三角函數(shù)圖象及性質(zhì)可知 k 的取值范圍為(2, 2 ·i3 ) (2 ·, 4 ).

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