1．（3分）下列各式中，整式的個數(shù)有（ ）
①x+6；②3﹣2x＝1；③；④0；⑤；⑥
A．3個B．4個C．5個D．6個
2．（3分）計算（﹣）2021?（﹣）2022的結果是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1
C．a(chǎn)2﹣a﹣1＝a（a﹣1）﹣1
D．a(chǎn)3+2a2+3a＝a（a2+2a+3）
4．（3分）下列整式的乘法中，不能用平方差公式進行計算的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
C．（﹣x﹣y）（x+y）D．（﹣x+y）（x+y）
5．（3分）如果多項式A、B的次數(shù)都是八次，那么A﹣B的次數(shù)（ ）
A．低于八次B．等于八次
C．不低于八次D．不高于八次
6．（3分）如圖，正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果要拼一個長為（a+3b），寬為（2a+b）的大長方形，則需要A類、B類和C類卡片的張數(shù)分別為（ ）
A．2，5，3B．3，7，2C．2，3，7D．2，5，7
二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．（2分）練習本每本a元，鉛筆每支b元，買3本練習本和10支筆，共付 元．
8．（2分）多項式2y3﹣9y2+7xy+1是 次 項式．
9．（2分）把整式按照字母x降冪排列為 ．
10．（2分）已知單項式3xm+1y4與是同類項，則m+n＝ ．
11．（2分）計算：（﹣3a2b）3＝ ．
12．（2分）已知整式（x+3）（x﹣a）中無一次項，求a＝ ．
13．（2分）計算：＝ ．
14．（2分）若2x+5y﹣3＝0，則4x?32y的值為 ．
15．（2分）因式分解：15a2b﹣3ab＝ ．
16．（2分）因式分解：ax﹣ay+2x﹣2y＝ ．
17．（2分）如果4x2+（m﹣1）x+25是一個完全平方式，那么常數(shù)m＝ ．
18．（2分）我們學習了冪的意義，知道an表示n個a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我們不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？對于an＝m，規(guī)定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝ ．（用含x的代數(shù)式表示y）
三、簡答題：（本大題共6題，每題5分，滿分30分）
19．（5分）計算：（﹣2a3）2+（﹣a2）3﹣a?a2?a3．
20．（5分）計算：﹣8x2﹣[6﹣2x（x﹣3y）]+6（x+1）（x+y）．
21．（5分）計算：（3a﹣2）2﹣（3a+2）（﹣3a+2）．
22．（5分）計算：（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
23．（5分）運用整式乘法公式進行計算：20242﹣2023×2025．
24．（5分）因式分解：2x2（a+b）2﹣2xy（a+b）2﹣12y2（﹣a﹣b）2．
四、解答題（本大題共4題，25題7分，26，27題每題8分，28題5分，滿分28分）
25．（7分）先化簡，再求值：（9an+2+6a3n﹣1﹣an）÷（﹣6an﹣1）+（﹣an+1）2÷（﹣a）2（n為正整數(shù)），其中a＝﹣2．
26．（8分）已知A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣a2．
（1）化簡：3A﹣B；
（2）已知a、b滿足（a+1）2+|b+2|＝0，求3A﹣B的值．
27．（8分）圖1是一個長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝一個方向水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．當遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（長方形ABCD）的面積．
如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平方向向左拉伸2a至GH．當下面窗戶的遮陽簾水平方向向右拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．
（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）
（2）如圖3，如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，將下面窗戶的遮陽簾繼續(xù)水平方向向右拉伸b至PQ時，求此時窗戶透光的面積（即圖中空白部分的面積）為多少？（用含a、b的代數(shù)式表示）
附加題：（3）如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，當下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點處時，請通過計算比較窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積的大小．
28．（5分）在3×3的方格中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和格”，如圖1的“等和格”中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都等于15．
（1）在圖2的“等和格”方格圖中，可得a＝ （用含b的代數(shù)式表示）：
（2）在圖3的“等和格”方格圖中，可得a＝ ，b＝ ；
（3）在圖4的“等和格”方格圖中，可得b＝ ．
2024-2025學年上海市浦東新區(qū)建平實驗中學七年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）
1．（3分）下列各式中，整式的個數(shù)有（ ）
①x+6；②3﹣2x＝1；③；④0；⑤；⑥
A．3個B．4個C．5個D．6個
【答案】B
【分析】直接利用單項式和多項式統(tǒng)稱為整式，進而分析得出答案．
【解答】解：整式有：①x+6；③；④0；⑥﹣，共有4個．
故選：B．
2．（3分）計算（﹣）2021?（﹣）2022的結果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)冪的乘方運算以及積的乘方運算即可求出答案．
【解答】解：原式＝[（﹣）×（﹣）]2021×（﹣）
＝12021×（﹣）
＝﹣，
故選：B．
3．（3分）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1
C．a(chǎn)2﹣a﹣1＝a（a﹣1）﹣1
D．a(chǎn)3+2a2+3a＝a（a2+2a+3）
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解的定義對各選項進行逐一分析即可．
【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，從左到右是整式的乘法，不是因式分解；
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1，等式的右邊不是幾個整式的積，不是因式分解；
C、a2﹣a﹣1＝a（a﹣1）﹣1，等式的右邊不是幾個整式的積，不是因式分解；
D、a3+2a2+3a＝a（a2+2a+3），等式的右邊是幾個因式積的形式，故是因式分解；
故選：D．
4．（3分）下列整式的乘法中，不能用平方差公式進行計算的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
C．（﹣x﹣y）（x+y）D．（﹣x+y）（x+y）
【答案】C
【分析】利用平方差公式的結構特征判斷即可．
【解答】解：A、原式＝x2﹣y2，不符合題意；
B、原式＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，不符合題意；
C、原式＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，符合題意；
D、原式＝y(tǒng)2﹣x2，不符合題意．
故選：C．
5．（3分）如果多項式A、B的次數(shù)都是八次，那么A﹣B的次數(shù)（ ）
A．低于八次B．等于八次
C．不低于八次D．不高于八次
【答案】D
【分析】根據(jù)多項式減多項式的方法可知，兩式作差后的最后次數(shù)不高于原來兩個多項式的最高次數(shù)．
【解答】解：∵多項式A、B的次數(shù)都是八次，
∴A﹣B的次數(shù)不高于八次，
故選：D．
6．（3分）如圖，正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果要拼一個長為（a+3b），寬為（2a+b）的大長方形，則需要A類、B類和C類卡片的張數(shù)分別為（ ）
A．2，5，3B．3，7，2C．2，3，7D．2，5，7
【答案】C
【分析】根據(jù)多項式乘多項式的運算法則可求出長方形的面積．
【解答】解：長方形的面積為（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，
∵A類卡片的面積為a2，B類卡片的面積為b2，C類卡片的面積為ab，
∴需要A類卡片2張，B類卡片3張，C類卡片7張．
故選：C．
二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．（2分）練習本每本a元，鉛筆每支b元，買3本練習本和10支筆，共付 （3a+10b） 元．
【答案】（3a+10b）．
【分析】根據(jù)練習本每本a元，鉛筆每支b元，可以用含a、b的代數(shù)式表示出買3本練習本和10支筆共付的錢數(shù)．
【解答】解：∵練習本每本a元，鉛筆每支b元，
∴買3本練習本和10支筆，共付（3a+10b）元，
故答案為：（3a+10b）．
8．（2分）多項式2y3﹣9y2+7xy+1是 三 次 四 項式．
【答案】三，四．
【分析】根據(jù)多項式的性質(zhì)進行解答．多項式的次數(shù)是多項式中最高次項的次數(shù)，多項式的項數(shù)為組成多項式的單項式的個數(shù)．
【解答】解：多項式2y3﹣9y2+7xy+1中最高次項是2y3，次數(shù)是3，由四個單項式組成．
故答案為：三，四．
9．（2分）把整式按照字母x降冪排列為 ．
【答案】．
【分析】先分清各項，再根據(jù)多項式冪的排列的定義解答．
【解答】解：按照字母x降冪排列：．
故答案為：．
10．（2分）已知單項式3xm+1y4與是同類項，則m+n＝ 8 ．
【答案】8．
【分析】根據(jù)同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代數(shù)式計算即可．
【解答】解：由題意得，m+1＝3，n﹣2＝4，
解得m＝2，n＝6，
所以m+n＝8．
故答案為：8．
11．（2分）計算：（﹣3a2b）3＝ ﹣27a6b3 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)積的乘方與冪的乘方運算法則進行計算．
【解答】解：原式＝（﹣3）3?（a2）3?b3
＝﹣27a6b3，
故答案為：﹣27a6b3．
12．（2分）已知整式（x+3）（x﹣a）中無一次項，求a＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】先根據(jù)多項式乘多項式法則計算，再根據(jù)結果中無一次項得出3﹣a＝0，即可求出a的值．
【解答】解：（x+3）（x﹣a）
＝x2﹣ax+3x﹣3a
＝x2+（3﹣a）x﹣3a，
∵整式（x+3）（x﹣a）中無一次項，
∴3﹣a＝0，
∴a＝3，
故答案為：3．
13．（2分）計算：＝ ．
【答案】．
【分析】根據(jù)多項式除以單項式的運算法則計算即可．
【解答】解：
＝
＝．
14．（2分）若2x+5y﹣3＝0，則4x?32y的值為 8 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)同底數(shù)的乘法和冪的乘方的性質(zhì)，先都化成以2為底數(shù)的冪相乘的形式，再代入已知條件計算即可．
【解答】解：∵2x+5y﹣3＝0，
∴2x+5y＝3，
∴4x?32y＝22x?25y＝22x+5y＝23＝8．
故答案為：8．
15．（2分）因式分解：15a2b﹣3ab＝ 3ab（5a﹣1） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先確定公因式為3ab，然后提取公因式后整理即可．
【解答】解：15a2b﹣3ab＝3ab（5a﹣1）．
故答案為：3ab（5a﹣1）．
16．（2分）因式分解：ax﹣ay+2x﹣2y＝ （x﹣y）（a+2） ．
【答案】（x﹣y）（a+2）．
【分析】根據(jù)題意，先把ax﹣ay+2x﹣2y，分組得（ax﹣ay）+（2x﹣2y），然后再提取公因式，得出a（x﹣y）+2（x﹣y），最后再提取公因式即可得出答案．
【解答】解：ax﹣ay+2x﹣2y
＝（ax﹣ay）+（2x﹣2y）
＝a（x﹣y）+2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a+2）．
故答案為：（x﹣y）（a+2）．
17．（2分）如果4x2+（m﹣1）x+25是一個完全平方式，那么常數(shù)m＝ 21或﹣19 ．
【答案】21或﹣19．
【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷，即可得出m的值．
【解答】解：∵4x2+（m﹣1）x+25是一個完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2×2x×5，即（m﹣1）x＝±20x，
∴m﹣1＝±20，
解得：m＝21或﹣19．
故答案為：21或﹣19．
18．（2分）我們學習了冪的意義，知道an表示n個a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我們不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？對于an＝m，規(guī)定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝ 9x ．（用含x的代數(shù)式表示y）
【答案】9x．
【分析】根據(jù)新定義運算法則得到：3m＝x，3m+2＝y(tǒng)，據(jù)此解答．
【解答】解：根據(jù)題意知：3m＝x，3m+2＝y(tǒng)．
所以y＝3m×32＝9x，即y＝9x．
故答案為：9x．
三、簡答題：（本大題共6題，每題5分，滿分30分）
19．（5分）計算：（﹣2a3）2+（﹣a2）3﹣a?a2?a3．
【答案】2a6．
【分析】先根據(jù)積的乘方、冪的乘方法則計算乘方，再根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則計算乘法，最后利用合并同類項法則計算加減即可．
【解答】解：原式＝4a6+（﹣a6）﹣a6
＝4a6﹣a6﹣a6
＝2a6．
20．（5分）計算：﹣8x2﹣[6﹣2x（x﹣3y）]+6（x+1）（x+y）．
【答案】6x+6y﹣6．
【分析】根據(jù)整式的混合運算法則，利用單項式乘多項式的運算法則，多項式乘多項式的運算法則進行計算，最后合并同類項即可．
【解答】解：﹣8x2﹣[6﹣2x（x﹣3y）]+6（x+1）（x+y）
＝﹣8x2﹣（6﹣2x2+6xy）+6（x2+xy+x+y）
＝﹣8x2﹣6+2x2﹣6xy+6x2+6xy+6x+6y
＝6x+6y﹣6．
21．（5分）計算：（3a﹣2）2﹣（3a+2）（﹣3a+2）．
【答案】18a2﹣12a．
【分析】先根據(jù)平方差公式、完全平方公式計算，再合并同類項即可．
【解答】解：（3a﹣2）2﹣（3a+2）（﹣3a+2）
＝（3a﹣2）2﹣（2+3a）（2﹣3a）
＝9a2﹣12a+4﹣（4﹣9a2）
＝9a2﹣12a+4﹣4+9a2
＝18a2﹣12a．
22．（5分）計算：（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答．
【解答】解：原式＝[2x+（y﹣3）][2x﹣（y﹣3）]
＝4x2﹣（y﹣3）2
＝4x2﹣（y2﹣6y+9）
＝4x2﹣y2+6y﹣9．
23．（5分）運用整式乘法公式進行計算：20242﹣2023×2025．
【答案】1．
【分析】利用平方差公式進行簡便運算即可．
【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1．
24．（5分）因式分解：2x2（a+b）2﹣2xy（a+b）2﹣12y2（﹣a﹣b）2．
【答案】2（a+b）2（x+2y）（x﹣3y）．
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式＝2x2（a+b）2﹣2xy（a+b）2﹣12y2（a+b）2
＝2（a+b）2（x2﹣xy﹣6y2）
＝2（a+b）2（x+2y）（x﹣3y）．
四、解答題（本大題共4題，25題7分，26，27題每題8分，28題5分，滿分28分）
25．（7分）先化簡，再求值：（9an+2+6a3n﹣1﹣an）÷（﹣6an﹣1）+（﹣an+1）2÷（﹣a）2（n為正整數(shù)），其中a＝﹣2．
【答案】﹣a3+a，11．
【分析】先根據(jù)多項式除單項式和單項式除單項式法則算除法，再合并同類項，化簡后將a＝﹣2代入計算即可．
【解答】解：（9an+2+6a3n﹣1﹣an）÷（﹣6an﹣1）+（﹣an+1）2÷（﹣a）2
＝﹣a3﹣a2n+a+a2n
＝﹣a3+a，
當a＝﹣2時，
原式＝﹣×（﹣2）3+×（﹣2）
＝﹣×（﹣8）﹣
＝12﹣
＝11．
26．（8分）已知A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣a2．
（1）化簡：3A﹣B；
（2）已知a、b滿足（a+1）2+|b+2|＝0，求3A﹣B的值．
【答案】（1）﹣2a2+12ab+b2；
（2）26．
【分析】（1）把A與B代入原式，去括號合并即可得到結果；
（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入原式計算即可求出值．
【解答】解：（1）∵A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣a2，
∴3A﹣B＝3（b2﹣a2+5ab）﹣（3ab+2b2﹣a2）＝3b2﹣3a2+15ab﹣3ab﹣2b2+a2＝﹣2a2+12ab+b2；
（2）∵（a+1）2+|b+2|＝0，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
則原式＝﹣2×1+12×（﹣1）×（﹣2）+4
＝﹣2+24+4
＝26．
27．（8分）圖1是一個長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝一個方向水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．當遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（長方形ABCD）的面積．
如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平方向向左拉伸2a至GH．當下面窗戶的遮陽簾水平方向向右拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．
（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）
（2）如圖3，如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，將下面窗戶的遮陽簾繼續(xù)水平方向向右拉伸b至PQ時，求此時窗戶透光的面積（即圖中空白部分的面積）為多少？（用含a、b的代數(shù)式表示）
附加題：（3）如果上面窗戶的遮陽簾保持不動，當下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點處時，請通過計算比較窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積的大小．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)題意，可以用a、b的代數(shù)式表示出AB、AD，然后即可計算出長方形窗戶ABCD的總面積；
（2）根據(jù)題意，可以計算出AE、AG、CF、CP，然后即可計算出窗戶透光的面積；
（3）根據(jù)題意和圖形，可以分別計算出窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積，然后作差比較即可．
【解答】解：（1）由題意可得，
AD＝2a+2b，AB＝a+2b，
∴長方形窗戶ABCD的總面積是AD?AB＝（2a+2b）（a+2b）＝2a2+6ab+4b2，
即長方形窗戶ABCD的總面積是2a2+6ab+4b2；
（2）由圖3可得，
AG＝2b，AE＝a，CF＝2b，CP＝（2a+2b）﹣（2b+b）＝2a﹣b，
則窗戶透光的面積是：AG?AE+CF?CP
＝2b?a+2b（2a﹣b）
＝2ab+4ab﹣2b2
＝6ab﹣2b2；
（3）當上面窗戶的遮陽簾保持不動，下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點處時，窗戶透光的面積是：2b?a+2b（a+b）＝2ab+2ab+2b2＝4ab+2b2，
被遮陽簾遮住的面積是：（2a2+6ab+4b2）﹣（4ab+2b2）
＝2a2+6ab+4b2﹣4ab﹣2b2
＝2a2+2ab+2b2，
（4ab+2b2）﹣（2a2+2ab+2b2）
＝4ab+2b2﹣2a2﹣2ab﹣2b2
＝﹣2a2+2ab
＝2a（b﹣a），
∵b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴2a（b﹣a）＞0，
即窗戶的透光的面積大于被遮陽簾遮住的面積．
28．（5分）在3×3的方格中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和格”，如圖1的“等和格”中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都等于15．
（1）在圖2的“等和格”方格圖中，可得a＝ ﹣b （用含b的代數(shù)式表示）：
（2）在圖3的“等和格”方格圖中，可得a＝ ﹣2 ，b＝ 2 ；
（3）在圖4的“等和格”方格圖中，可得b＝ ﹣9 ．
【答案】（1）﹣b；
（2）﹣2；2；
（3）﹣9．
【分析】（1）根據(jù)“等和格”的定義，即可得出﹣2a+a＝3b+2a，變形后即可用含b的代數(shù)式表示出a；
（2）根據(jù)“等和格”的定義，即可得出關于a，b的二元一次方程組，解之即可求出a，b的值；
（3）根據(jù)“等和格”的定義，即可得出關于a，b的二元二次方程組，方程①變形后可得出方程③，方程②變形后可得出方程④，再將③代入④中即可求出b的值．
【解答】解：（1）依題意得：﹣2a+a＝3b+2a，
∴a＝﹣b．
故答案為：﹣b．
（2）依題意得：，
解得：．
故答案為：﹣2；2．
（3）依題意得：，
由①可得：a2+a＝3③，
由②可得：b＝﹣2a2﹣2a﹣3④，
將③代入④中得：b＝﹣2（a2+a）﹣3＝﹣2×3﹣3＝﹣9．
故答案為：﹣9．
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