1．（4分）如果，那么等于（ ）
A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9
2．（4分）如果C是線段AB延長線上一點，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
3．（4分）已知△ABC的三邊長分別為：6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一邊長為4cm，當(dāng)△DEF的另兩邊長是下列哪一組時，這兩個三角形相似（ ）
A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm
4．（4分）如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點P表示的數(shù)是（ ）
A．1B．C．D．5
5．（4分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E為BC中點，DF＝3FC，連接AE、AF、EF，那么下列結(jié)論中：①△ABE與△EFC相似；②△ABE與△AEF相似；③△ABE與△AFD相似：④△AEF與△EFC相似；⑤∠AEF＝90°；其中錯誤的有（ ）個．
A．0個B．1個C．2個D．3個
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）線段a＝2cm，線段b＝8cm，線段a、b的比例中項是線段c，則線段c＝ cm．
8．（4分）在比例尺為1：1000000的地圖上量得港珠澳大橋長5.5厘米，則大橋的實際長度為 千米．
9．（4分）若點P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，AB＝2，則AP＝ ．（保留根號）
10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，則a+b﹣c＝ ．
11．（4分）兩個相似三角形的面積比為4：9，其中較小三角形的周長為4，則較大三角形的周長為 ．
12．（4分）如圖，直線AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的長為 ．
13．（4分）如圖，G為△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么MN：BC＝ ．
14．（4分）如圖，在?ABCD中，連接AC，點E是AD上一點，AE：DE＝1：2，連接BE交AC于點F，若S△BCF＝9，則四邊形CDEF的面積是 ．
15．（4分）如圖，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，點P是線段DB上一動點，當(dāng)DP＝ 時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、A、B三點為頂點的三角形相似．
16．（4分）如圖，在?ABCD中，點E是BC邊上的中點，G為線段CD上一動點，連接BG，交AE于點F，若＝m+1，則的值為 ．
17．（4分）如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于點D，∠BED＝90°，EB＝ED，連接AE，若BC＝3，則△ABE的面積為 ．
18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點D、E分別是邊BC、BA的中點，聯(lián)結(jié)DE．將△BDE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，點D、E的對應(yīng)點分別是點D1、E1．如果點E1落在線段AC上，那么線段CD1＝ ．
三、解答題：（19-22題，每題10分，23-24題，每題12分，25題14分，滿分78分）
19．（10分）如圖，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，若∠APB＝120°，求證：△ACP∽△PDB．
20．（10分）已知：如圖，在△ABC中，點D，點E分別是邊AC、AB上的點，EC和BD相交于點O，且∠ABD＝∠ACE，連接DE．若，求的值．
21．（10分）有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖，此時，這個矩形零件的兩邊長分別為多少毫米？
22．（10分）如圖，△ABC中，M為AC邊的中點，E為AB上一點，且AE＝AB，連接EM并延長交BC的延長線于D，求證：BC＝2CD（請用4種方法解決）．
23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC、BD相交于點E，且AC⊥BD．
（1）求證：CD2＝BC?AD；
（2）點F是邊BC上一點，聯(lián)結(jié)AF，與BD相交于點G，且∠BAF＝∠ADB，求證：＝．
24．（12分）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標(biāo)是（1，0），連接BC．
（1）求△ABC的面積；
（2）如果動點D在直線BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求點D的坐標(biāo)；
（3）如果動點P在直線y＝x+3上，且△ABC與△POB相似，求點P的坐標(biāo)．
25．（14分）如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC?BD，AB＝3，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，延長AE、CB交于點F，聯(lián)結(jié)DF．
（1）求證：AE＝AC；
（2）設(shè)BC＝x，＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（3）當(dāng)△ABC與△DEF相似時，求邊BC的長．
2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．（4分）如果，那么等于（ ）
A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9
【考點】比例的性質(zhì)．
【專題】計算題；運算能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求出b＝a，再代入要求的式子進(jìn)行計算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴b＝a，
∴＝＝＝．
故選：D．
【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（4分）如果C是線段AB延長線上一點，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
【考點】比例線段．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】A
【分析】設(shè)AC＝3x，則BC＝x，AB＝2x，據(jù)此即可求解．
【解答】解：∵AC：BC＝3：1，
∴設(shè)AC＝3x，則BC＝x，AB＝2x，
則AB：BC＝2：1．
故選：A．
【點評】本題考查了比例線段，正確設(shè)出線段的長度是關(guān)鍵．
3．（4分）已知△ABC的三邊長分別為：6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一邊長為4cm，當(dāng)△DEF的另兩邊長是下列哪一組時，這兩個三角形相似（ ）
A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm
【考點】相似三角形的判定．
【專題】常規(guī)題型．
【答案】C
【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊可能是6cm或7.5cm或9cm，所以有三種情況．
【解答】解：設(shè)△DEF的另兩邊為x cm，y cm，
若△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊為6cm，
則：，
解得：x＝5，y＝6；
若△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊為7.5cm，
則：，
解得：x＝3.2，y＝4.8；
若△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊為9cm，
則：，
解得：x＝，y＝；
故選：C．
【點評】此題考查了相似三角形的判定：三邊對應(yīng)成比例的三角形相似．解此題的關(guān)鍵要注意△DEF中為4cm邊長的對應(yīng)邊不確定，答案不唯一，要仔細(xì)分析，小心別漏解．
4．（4分）如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點P表示的數(shù)是（ ）
A．1B．C．D．5
【考點】平行線分線段成比例；實數(shù)與數(shù)軸．
【專題】圖形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．
【解答】解：如圖，OB＝1.5，OA＝3，OC＝10，
∵PB∥AC，
∴，
∴，
∴OP＝5．
∴點P表示的數(shù)是5．
故選：D．
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【考點】平行線分線段成比例．
【專題】圖形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【解答】解：∵，
∴DE∥BC，故A正確；
∵，
∴DE∥BC，故B正確；
∵，
∴DE∥BC，故D正確，
故選：C．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E為BC中點，DF＝3FC，連接AE、AF、EF，那么下列結(jié)論中：①△ABE與△EFC相似；②△ABE與△AEF相似；③△ABE與△AFD相似：④△AEF與△EFC相似；⑤∠AEF＝90°；其中錯誤的有（ ）個．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【考點】相似三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)．
【專題】矩形 菱形 正方形；圖形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定逐一判斷即可．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長為4a，則AB＝BC＝CD＝AD＝4a，
∵E為BC中點，DF＝3FC，
∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴，，，
∵AE2+EF2＝AF2＝25a2，
∴△AEF為直角三角形，∠AEF＝90°，故⑤正確；
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，故①正確；
∵，
∴△ABE∽△AEF，故②正確；
∵，
∴△ABE和△AFD不相似，故③錯誤；
④正確；
∴正確的有：①②④⑤，錯誤的有1個，
故選：B．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）線段a＝2cm，線段b＝8cm，線段a、b的比例中項是線段c，則線段c＝ 4 cm．
【考點】比例線段．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出中項，注意線段不能為負(fù)．
【解答】解：根據(jù)比例中項的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得比例中項的平方等于兩條線段的乘積．
即c2＝ab，則c2＝2×8，
解得c＝±4，（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）．
故答案為：4．
【點評】本題考查了比例線段，理解比例中項的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．
8．（4分）在比例尺為1：1000000的地圖上量得港珠澳大橋長5.5厘米，則大橋的實際長度為 55 千米．
【考點】比例尺．
【專題】實數(shù)；運算能力．
【答案】55．
【分析】依據(jù)題意，根據(jù)比例尺的定義列式計算，然后再把單位換算為千米即可．
【解答】解：由題意，根據(jù)比例尺的性質(zhì)可得，
大橋的實際長度為：5.5÷＝5500000（cm）．
∴5500000cm＝55km．
故答案為：55．
【點評】本題主要考查了比例尺，解題時要能熟練掌握并能靈活根據(jù)題意列出關(guān)系式計算是關(guān)鍵．
9．（4分）若點P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，AB＝2，則AP＝ ﹣1 ．（保留根號）
【考點】黃金分割．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AP＞BP；則AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長．
【解答】解：由于P為線段AB＝2的黃金分割點，
且AP＞BP；
則AP＝AB＝×2＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查了黃金分割的概念．應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長的線段＝原線段的．
10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，則a+b﹣c＝ 2 ．
【考點】比例的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由a：b：c＝2：3：4，可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后由a+b+c＝18，即可求得a，b，c的值，繼而求得a+b﹣c的值．
【解答】解：∵a：b：c＝2：3：4，
設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝6，c＝8，
∴a+b﹣c＝4+6﹣8＝2．
故答案為：2．
【點評】此題考查了比例的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握由a：b：c＝2：3：4，可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k的解題方法．
11．（4分）兩個相似三角形的面積比為4：9，其中較小三角形的周長為4，則較大三角形的周長為 6 ．
【考點】相似三角形的性質(zhì)．
【專題】圖形的相似；運算能力．
【答案】6．
【分析】先求出相似三角形的相似比，再求出兩三角形的周長比，代入求出即可．
【解答】解：設(shè)較大的三角形的周長為x，
∵兩個相似三角形的面積的比是4：9，
∴這兩個相似三角形的相似比為2：3，
∴這兩個三角形的周長比為2：3，
∵較小的三角形的周長為4，
∴，
∴x＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比．
12．（4分）如圖，直線AB∥CD∥EF，若AD＝12，DF＝4，BE＝20，那么CE的長為 5 ．
【考點】平行線分線段成比例．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】5．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD＝12，DF＝4，
∴，
∴BC＝3CE，
∴BE＝4CE，
∵BE＝20，
∴CE＝BE＝5，
故答案為：5．
【點評】本題考查平行線分線段成比例，熟平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）如圖，G為△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么MN：BC＝ 1：6 ．
【考點】三角形的重心；相似三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】三角形；圖形的相似．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)三角形的重心的概念和性質(zhì)得到AM是△ABC的中線，MG：GA＝1：2，根據(jù)平行線的性質(zhì)計算．
【解答】解：∵G為△ABC的重心，
∴AM是△ABC的中線，MG：GA＝1：2，
∴BM＝MC，MG：MA＝1：3，
∵GN∥AC，
∴MN：MC＝MG：MA＝1：3，
∴MN：BC＝1：6，
故答案為：1：6．
【點評】本題考查的是三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，在?ABCD中，連接AC，點E是AD上一點，AE：DE＝1：2，連接BE交AC于點F，若S△BCF＝9，則四邊形CDEF的面積是 11 ．
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．
【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運算能力；推理能力．
【答案】11．
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，由AE：DE＝1：2得AE：BC＝1：3，證明△AFE∽△CFB得，進(jìn)而得到△AFB，△AEF的面積，即可得△ABC的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE：DE＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∵AD＝BC，
∴AE：BC＝1：3，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴，
∴，＝3，
∵S△BCF＝9，
∴S△AEF＝1，
∴S△ACD＝S△ABC＝S△BCF+S△AFB＝12，
∴S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1＝11．
故答案為：11．
【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點．
15．（4分）如圖，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，點P是線段DB上一動點，當(dāng)DP＝ 2或12或5.6 時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、A、B三點為頂點的三角形相似．
【考點】相似三角形的判定．
【專題】圖形的相似；推理能力．
【答案】2或12或5.6．
【分析】分別從若△PCD∽△APB與若△PCD∽△PAB去分析求解，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵①若△PCD∽△APB，則，
即，
解得DP＝2或12；
②若△PCD∽△PAB，則，
即，
解得DP＝5.6．
∴DP＝2或12或5.6．
故答案為：2或12或5.6．
【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，在?ABCD中，點E是BC邊上的中點，G為線段CD上一動點，連接BG，交AE于點F，若＝m+1，則的值為 ．
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．
【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】過E作EH∥AB，EH交BG于H，根據(jù)相似三角形的判定得出△HEF∽△BAF，△BEH∽△BCG，根據(jù)相似得出比例式，求出AB和CG，再求出DG，即可求出答案．
【解答】解：過E作EH∥AB，EH交BG于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴EH∥CD∥AB，
∴△HEF∽△BAF，△BEH∽△BCG，
∴＝，＝，
∵點E是BC邊上的中點，＝m+1，
∴AB＝mEH，CG＝2EH，
∴CD＝mEH，
∴DG＝CD﹣CG＝mEH﹣2EH＝（m﹣2）EH，
∴＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能求出△HEF∽△BAF和△BEH∽△BCG是解此題的關(guān)鍵．
17．（4分）如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于點D，∠BED＝90°，EB＝ED，連接AE，若BC＝3，則△ABE的面積為 ．
【考點】射影定理；等腰直角三角形．
【專題】圖形的相似；推理能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】作EF⊥AB于點F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF＝BD，根據(jù)射影定理得到BD?AB＝BC2＝18，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．
【解答】解：作EF⊥AB于點F，
∵∠BED＝90°，EB＝ED，EF⊥AB，
∴EF＝BD，
∵∠BCA＝90°，CD⊥AB，
∴BD?AB＝BC2＝18，
∴△ABE的面積＝?AB?EF＝×AB×BD＝，
故答案為：．
【點評】本題考查的是射影定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點D、E分別是邊BC、BA的中點，聯(lián)結(jié)DE．將△BDE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，點D、E的對應(yīng)點分別是點D1、E1．如果點E1落在線段AC上，那么線段CD1＝ ．
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】由“HL”可證Rt△BDE≌Rt△E1CB，可得CE1＝BD＝1，通過證明△BCD1∽△BAE1，即可求解．
【解答】解：∵點D、E分別是邊BC、BA的中點，
∴DE＝AC＝2，BD＝CD＝1，DE∥AC，
∴DE＝BC＝2，∠BED＝∠BAC，∠BDE＝∠BCA＝90°，
∵將△BDE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，
∴BE＝BE1，∠BE1D1＝∠BED＝∠BAC，∠BD1E1＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E1BD1，
∴∠CBD1＝∠ABE1，
在Rt△BDE和Rt△E1CB中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△E1CB（HL），
∴CE1＝BD＝1，
∴AE1＝3，
∵∠BD1E1＝∠BDE＝90°＝∠BCA，
∴點B，點D1，點C，點E1四點共圓，
∴∠BCD1＝∠BE1D1＝∠BAC，
∴△BCD1∽△BAE1，
∴＝，
∴CD1＝×3＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（19-22題，每題10分，23-24題，每題12分，25題14分，滿分78分）
19．（10分）如圖，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，若∠APB＝120°，求證：△ACP∽△PDB．
【考點】相似三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先證明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可證明∠A＝∠DPB，從而可證明△ACP∽△PDB．
【解答】證明：∵△PCD為等邊三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
【點評】本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，能夠證明兩個三角形有兩組角對應(yīng)相等是解題的關(guān)鍵．
20．（10分）已知：如圖，在△ABC中，點D，點E分別是邊AC、AB上的點，EC和BD相交于點O，且∠ABD＝∠ACE，連接DE．若，求的值．
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】圖形的相似；運算能力．
【答案】．
【分析】先證明△ABD∽△ACE，再證明△AED∽△ACB，列出比例式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠ACE，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∵，
∴．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖，此時，這個矩形零件的兩邊長分別為多少毫米？
【考點】相似三角形的應(yīng)用；列代數(shù)式．
【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．
【答案】矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm．
【分析】由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，由相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵四邊形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝，
∴PN＝×2＝（mm）．
∴這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，△ABC中，M為AC邊的中點，E為AB上一點，且AE＝AB，連接EM并延長交BC的延長線于D，求證：BC＝2CD（請用4種方法解決）．
【考點】平行線分線段成比例；三角形中位線定理．
【專題】證明題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由ME∥CF得到＝，加上AM＝MC，則AE＝EF，由于AE＝AB，所以EF＝AB，BF＝AB，則BF＝2EF，然后由CF∥DE得到＝＝2，所以BC＝2CD；
方法二：過E作EN∥AC，交BD于N，如圖，證明方法與方法一類似；
方法三：過C點作CP∥AB，交DE于P，如圖，證明方法與方法一類似；
方法四：過E點作EQ∥BD，交AC于Q，如圖，證明方法與方法一類似．
【解答】證明：方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如圖，
∵M(jìn)E∥CF，
∴＝，
而M為AC邊的中點，
∴AM＝MC，
∴AE＝EF，
∵AE＝AB，
∴EF＝AB，BF＝AB，
∴BF＝2EF，
∵CF∥DE，
∴＝＝2，
∴BC＝2CD；
方法二：過E作EN∥AC，交BD于N，如圖，
∵EN∥AC，
∴＝＝，
∵AE＝AB，
∴BE＝AB，
∴＝＝，
∴BC＝4NC，
∵AC＝2MC，
∴＝，
∵M(jìn)C∥EN，
∴＝＝，
∴DC＝2NC，
∴BC＝2CD；
方法三：過C點作CP∥AB，交DE于P，如圖，
∵PC∥AE，
∴＝，
而AM＝CM，
∴PC＝AE，
∵AE＝AB，
∴CP＝AB，
∴CP＝BE，
∵CP∥BE，
∴＝＝，
∴BD＝3CD，
∴BC＝2CD；
方法四：過E點作EQ∥BD，交AC于Q，如圖，
∵EQ∥BC，
∴＝＝＝，
∴BC＝4EQ，AC＝4AQ，
∵AM＝CM，
∴CM＝2MQ，
∵EQ∥CD，
∴＝＝2，
∴CD＝2EQ，
∴BC＝2CD．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
23．（12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC、BD相交于點E，且AC⊥BD．
（1）求證：CD2＝BC?AD；
（2）點F是邊BC上一點，聯(lián)結(jié)AF，與BD相交于點G，且∠BAF＝∠ADB，求證：＝．
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．
【專題】圖形的相似；推理能力．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）證明過程見解答．
【分析】（1）由AD∥BC，∠BCD＝90°，得∠CDA＝∠BCD，由∠CED＝90°，得∠ACB＝∠CDB＝90°﹣∠ACD，則∠DAC＝∠CDB，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△DAC∽△CDB，得＝，所以CD2＝BC?AD；
（2）先由∠BAF＝∠ADB，∠ABG＝∠DBA，證明△BAG∽△BDA，得＝＝，再將＝兩邊分別平方得＝，由＝，得AB2＝BG?BD，將AB2＝BG?BD代入＝并化簡，即可得到＝．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB，∠CDA＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠CDA＝∠BCD，
∵AC⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°﹣∠ACD，
∴∠DAC＝∠CDB，
∴△DAC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝BC?AD．
（2）∵∠BAF＝∠ADB，∠ABG＝∠DBA，
∴△BAG∽△BDA，
∴＝＝，
∴＝，AB2＝BG?BD，
∴＝＝．
【點評】此題重點考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地找到相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明△DAC∽△CDB及△BAG∽△BDA是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標(biāo)是（1，0），連接BC．
（1）求△ABC的面積；
（2）如果動點D在直線BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求點D的坐標(biāo)；
（3）如果動點P在直線y＝x+3上，且△ABC與△POB相似，求點P的坐標(biāo)．
【考點】一次函數(shù)綜合題．
【專題】代數(shù)幾何綜合題；運算能力；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）點D的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；
（3）點P的坐標(biāo)為（﹣2，1）或（﹣，）．
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出AC＝OA+OC＝4，進(jìn)而可以求出△ABC的面積；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y＝﹣3x+3，∠CBO＝∠CAD，分兩種情況：①點D在x軸上方，②點D在x軸下方，分別求解即可；
（3）過點P作PE⊥y軸于點E，根據(jù)P在直線y＝x+3上，設(shè)P（x，x+3），可得PE＝BE＝|x|，所以PB＝|x|，分兩種情況討論：①當(dāng)△ABC∽△BOP時，②當(dāng)△ABC∽△BPO時，分別列式計算求出x的值，即可求點P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
令x＝0，則y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
令，y＝0，則x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵點C的坐標(biāo)是（1，0），
∴OC＝1，
∴AC＝OA+OC＝4，
∴△ABC的面積＝AC?OB＝4×3＝6；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，
∵B（0，3），點C的坐標(biāo)是（1，0），
∴，解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+3，
∠CBO＝∠CAD，分兩種情況：
①當(dāng)點D在x軸上方時，如圖1，設(shè)AD與y軸交于點E，
∵OA＝OB＝3，∠COB＝∠EOA，
又∵∠CBO＝∠CAD，
∴△CBO≌△EAO（ASA），
∴OE＝OC＝1，
∴E（0，1），
設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，
∴，解得，
∴直線AE的解析式為y＝x+1，
聯(lián)立y＝﹣3x+3得，
解得，
∴點D的坐標(biāo)為（，）；
②當(dāng)點D在x軸下方時，如圖2，設(shè)AD與y軸交于點E′，
同理得，E′（0，﹣1），
直線AE′的解析式為y＝﹣x﹣1，
聯(lián)立y＝﹣3x+3解得，
∴點D的坐標(biāo)為（，﹣）；
綜上，點D的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）；
（3）如圖，過點P作PE⊥y軸于點E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴PE＝BE，
∵P在直線y＝x+3上，
設(shè)P（x，x+3），
∴PE＝BE＝|x|，
∴PB＝|x|，
①當(dāng)△ABC∽△BOP時，
∴，
∴，
∴x＝±2，
∵﹣3＜x＜0，
∴x＝﹣2，
∴P（﹣2，1）；
②當(dāng)△ABC∽△BPO時，
∴，
∴，
∴x＝±，
∵﹣3＜x＜0，
∴x＝﹣，
∴P（﹣，）．
綜上所述：點P的坐標(biāo)為（﹣2，1）或（﹣，）．
【點評】本題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了三角形的面積，待定系數(shù)法，兩直線的交點，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
25．（14分）如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC?BD，AB＝3，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，延長AE、CB交于點F，聯(lián)結(jié)DF．
（1）求證：AE＝AC；
（2）設(shè)BC＝x，＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（3）當(dāng)△ABC與△DEF相似時，求邊BC的長．
【考點】相似形綜合題．
【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力．
【答案】（1）證明過程詳見解答；
（2）y＝（0＜x＜）；
（3）BC＝或．
【分析】（1）將AB2＝BC?BD轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)勾股定理和比例性質(zhì)推出，進(jìn)而△ABC∽△DAB，進(jìn)一步證明△BAE≌△BAC，從而命題得證；
（2）作AG∥BE交BC的延長線于G，作GH⊥AB，推出△FBE∽△FGA和cs∠ABC＝，再根據(jù)比例性質(zhì)求得結(jié)果；
（3）兩種情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，當(dāng)△ACB∽△DEF時，由y＝1求得結(jié)果，當(dāng)△ACB∽△FED時，推出DF∥AB，從而＝，根據(jù)△ABE∽△DBA，推出BD＝，進(jìn)而可求得結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵AB2＝BC?BD，
∴，
∴＝，
∴＝，
即：＝，
∴，
∵∠C＝∠BAD＝90°，
∴△ABC∽△DAB，
∴∠ADB＝∠BAC，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB，
∴∠BAE＝∠BAC，
∵∠AEB＝∠C，AB＝AB
∴△BAE≌△BAC（AAS），
∴AE＝AC；
（2）如圖1，
作AG∥BE交BC的延長線于G，作GH⊥AB，
∴△FBE∽△FGA，∠ABE＝∠BAG，
∴，
由（1）得，∠EAB＝∠BAC，
∵∠AEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠BAG，
∴AG＝BG，
∴BH＝AH＝AB＝，
∵cs∠ABC＝，
∴，
∴BG＝，
∴AG＝，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∴y＝（0＜x＜）；
（3）如圖2，
當(dāng)△ACB∽△DEF時，∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠DEA，DE＝DE，
∴△DEF≌△DEA（ASA），
∴EF＝AE，
∴y＝1，
∴＝1，
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴BC＝，
如圖3，
當(dāng)△ACB∽△FED時，∠BAC＝∠DFE，
∵∠BAE＝∠BAC，
∴∠DFE＝∠BAE，
∴DF∥AB，
∴＝，
∵△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴BD＝，
∴DE＝BD﹣BE＝﹣x，
∴＝，
∴x＝，
∴BC＝，
綜上所述：BC＝或．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線和正確分類，計算能力也很關(guān)鍵

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