1．（2分）在下列代數式中，次數為3的單項式是（ ）
A．3xyB．x3+y3C．x3yD．xy2
2．（2分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．a2+2a+3＝a（a+2）+3
C．30＝2×3×5D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
3．（2分）下列分式中是最簡分式的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列多項式乘以多項式能用平方差公式計算的是（ ）
A．（﹣x+3y）（﹣x﹣3y）B．（x+3y）（﹣x﹣3y）
C．（x﹣3y）（﹣x+3y）D．（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y）．
5．（2分）一件商品按成本提高40%后標價，再打8折（標價的80%）銷售，售價為240元．設這件商品的成本價為x元，根據題意，下面所列的方程正確的是（ ）
A．x?40%?80%＝240B．40%?x＝240×80%
C．240×40%×80%＝xD．（1+40%）?x?80%＝240
6．（2分）圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（ ）
A．a2﹣b2B．（a﹣b）2C．（a+b）2D．ab
二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分共24分）
7．（2分）用代數式表示：“比x的2倍小3的數”是 ．
8．（2分）單項式的系數是 ．
9．（2分）計算：（b﹣a）2（a﹣b）3＝ （結果用冪的形式表示）．
10．（2分）將多項式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x的降冪排列為 ．
11．（2分）如果3xm﹣1y2與﹣2x3yn+1是同類項，那么m+n＝ ．
12．（2分）化簡：＝ ．
13．（2分）當x＝ 時，分式的值為零．
14．（2分）如果am＝3，an＝5，則am+2n＝ ．
15．（2分）若x2+2ax+16是一個完全平方式，則a＝ ．
16．（2分）已知：（x+y）2＝15，（x﹣y）2＝17，則xy＝ ．
17．（2分）互聯(lián)網信息傳遞具有指數增長的特征．若有一則新聞很吸引人，假設每個人轉發(fā)后會被朋友圈里的100人看到（假設朋友圈人數大于100人），看到新聞的人里10%會進行第二次轉發(fā)，假設每輪看到消息的人是不重復的．如果第一個人轉發(fā)后，吸引了10個人轉發(fā)，按此規(guī)律則有10×100＝1000個人看到，第2輪轉發(fā)的人數為這1000個人里的10%，即1000×10%＝100人，依次類推．
請問，經過第 次轉發(fā)后，這條新聞會被全國網民都看到（全國網民數量按照10億計算）．
18．（2分）現有足夠多的甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖所示，且a≠4b）．從這三種矩形紙片中選取任意4張（每種紙片可重復選擇或者不選擇），拼成一個中間無空隙的正方形，可能性有 種．
三、簡答題（本大題共7題，19-24題每題5分，25題6分，滿分36分）
19．（5分）計算：a+2a+3a﹣a?a2?a3+（﹣a3）2．
20．（5分）計算：（3a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）
21．（5分）計算：．
22．（5分）計算：．
23．（5分）分解因式：（x﹣2y）2﹣4x2．
24．（5分）分解因式：3a3b3﹣6a2b2+3ab．
25．（6分）已知A＝﹣x2﹣1，A﹣B＝﹣x3+2x2﹣5，求B．
四、解答題（本大題共3題，26題7分，27題7分，28題5分，滿分19分）
26．（7分）先化簡，再求值：，其中x＝2．
27．（7分）若關于x的多項式2x+a與x2﹣bx﹣2的乘積展開式中沒有二次項，且常數項為10，求a+b的值．
28．（5分）如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”，如：4＝2×2＝22﹣02，12＝6×2＝42﹣22，20＝10×2＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數”．
（1）28是“神秘數”，請將28表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，即28＝ ．
（2）2024是神秘數嗎？如果是請將2024表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，如果不是，請說明理由．
五、綜合題（滿分9分）
29．（9分）閱讀下列材料：
材料一：
如圖1所示，如果直線AB∥直線CD．那么△ABC和△ABD的AB邊上的兩條高相等．因為倆個三角形共用一條底邊AB，所以兩個三角形面積相等．
材料二：
如圖2所示，如果∠AGH＝∠GHD，那么AB∥CD．
根據以上材料完成下列題目：
已知正方形ABCD與正方形EFGH，AB＝a，EF＝b（b＜a）．
（1）如圖3，若點B與點E重合，點H在線段BC上，點F在線段AB的延長線上，聯(lián)結AC、AG、CG，將陰影部分三角形ACG的面積記作S，則S＝ （用含有a、b的代數式表示）．
（2）如圖4，若將正方形EFGH沿射線BC方向平移，使得點E、H在線段BC上（點H不與點C重合、點E不與點B重合），聯(lián)結AC、AG、CG，設BE＝x，將陰影部分三角形ACG的面積記作S，則S＝ （用含有a、b、x的代數式表示）．
（3）如圖5，若將正方形EFGH沿射線BC方向平移，使得點H、E在BC的延長線上，聯(lián)結AC、AG、CG，設BE＝x，將陰影部分三角形ACG的面積記作S，則S＝ （用含有a、b、x的代數式表示）．
（4）觀察上述3題的結論，陰影部分的面積與小正方形的邊長b是否有關？請說明理由．
2024-2025學年上海市華東師大二附中七年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有6題，每題2分，滿分12分）
1．（2分）在下列代數式中，次數為3的單項式是（ ）
A．3xyB．x3+y3C．x3yD．xy2
【答案】D
【分析】單項式的次數是指單項式中所有字母因數的指數和．
【解答】解：根據單項式的次數定義可知：
A、3xy的次數為2，不符合題意；
B、x3+y3不是單項式，不符合題意；
C、x3y的次數為4，不符合題意；
D、xy2的次數為3，符合題意．
故選：D．
2．（2分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．a2+2a+3＝a（a+2）+3
C．30＝2×3×5D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
【答案】D
【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合題意；
B、等式右邊不是整式積的形式，故不是分解因式，故本選項不符合題意；
C、30不是多項式，故C不符合題意；
D、把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故D符合題意；
故選：D．
3．（2分）下列分式中是最簡分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據最簡分式的定義求解即可．
【解答】解：A．＝，不符合題意；
B．是最簡分式，符合題意；
C．＝＝，不符合題意；
D．＝＝，不符合題意；
故選：B．
4．（2分）下列多項式乘以多項式能用平方差公式計算的是（ ）
A．（﹣x+3y）（﹣x﹣3y）B．（x+3y）（﹣x﹣3y）
C．（x﹣3y）（﹣x+3y）D．（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y）．
【答案】A
【分析】對A變形得到（x﹣3y）（x+3y），根據平方差公式得到x2﹣9y2；而對B、C、D進行變形可得到完全平方式．
【解答】解：A、（﹣x+3y）（﹣x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2，所以A選項正確；
B、（x+3y）（﹣x﹣3y）＝﹣（x+3y）2，可用完全平方公式計算，所以B選項不正確；
C、（x﹣3y）（﹣x+3y）＝﹣（x﹣3y）2，可用完全平方公式計算，所以C選項不正確；
D、（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y）＝（x+3y）2，可用完全平方公式計算，所以D選項不正確．
所以選A．
5．（2分）一件商品按成本提高40%后標價，再打8折（標價的80%）銷售，售價為240元．設這件商品的成本價為x元，根據題意，下面所列的方程正確的是（ ）
A．x?40%?80%＝240B．40%?x＝240×80%
C．240×40%×80%＝xD．（1+40%）?x?80%＝240
【答案】D
【分析】首先理解題意找出題中存在的等量關系：成本價×（1+40%）×80%＝售價240元，根據此列方程即可．
【解答】解：設這件商品的成本價為x元，成本價提高40%后的標價為x（1+40%），再打8折的售價表示為x（1+40%）×80%，又因售價為240元，
列方程為：x（1+40%）×80%＝240．
故選：D．
6．（2分）圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（ ）
A．a2﹣b2B．（a﹣b）2C．（a+b）2D．ab
【答案】B
【分析】先求出正方形的邊長，繼而得出面積，然后根據空白部分的面積＝正方形的面積﹣矩形的面積即可得出答案．
【解答】解：圖1是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，
∴正方形的邊長為：a+b，
∵由題意可得，正方形的邊長為（a+b），
正方形的面積為（a+b）2，
∵原矩形的面積為4ab，
∴中間空的部分的面積＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
故選：B．
二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分共24分）
7．（2分）用代數式表示：“比x的2倍小3的數”是 2x﹣3 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】先求倍數，然后求差．
【解答】解：∵x的2倍是2x，
∴比2x小3的數是2x﹣3．
8．（2分）單項式的系數是 ．
【答案】．
【分析】根據單項式系數的定義來求解．單項式中數字因數叫做單項式的系數．
【解答】解：根據單項式的系數的定義可知：的系數是．
故答案為：．
9．（2分）計算：（b﹣a）2（a﹣b）3＝ （a﹣b）5 （結果用冪的形式表示）．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據同底數冪的乘法法則計算即可．
【解答】解：（b﹣a）2（a﹣b）3
＝（a﹣b）2（a﹣b）3
＝（a﹣b）2+3
＝（a﹣b）5．
故答案為：（a﹣b）5．
10．（2分）將多項式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x的降冪排列為 ﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 ．
【答案】﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2．
【分析】先分清各項，再根據多項式降冪排列的定義解答．
【解答】解：多項式2x3﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x的降冪排列：﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2．
故答案為：﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2．
11．（2分）如果3xm﹣1y2與﹣2x3yn+1是同類項，那么m+n＝ 5 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據同類項的概念求解．
【解答】解：∵3xm﹣1y2與﹣2x3yn+1是同類項，
∴，
解得：，
則m+n＝4+1＝5．
故答案為：5．
12．（2分）化簡：＝ ．
【答案】．
【分析】先將分子和分母分別進行因式分解，再運用分式的性質化簡即可．
【解答】解：．
故答案為：．
13．（2分）當x＝ ﹣5 時，分式的值為零．
【答案】﹣5．
【分析】根據分式的值為零的條件可以求出x的值．
【解答】解：由題意可得|x|﹣5＝0且x2﹣4x﹣5≠0，
解得x＝﹣5．
故當x＝﹣5時，分式的值為零．
故答案為：﹣5．
14．（2分）如果am＝3，an＝5，則am+2n＝ 75 ．
【答案】75．
【分析】根據冪的乘方與積的乘方法則、、同底數冪的乘法法則進行解題即可．
【解答】解：∵am＝3，an＝5，
∴am+2n＝am?a2n＝am?（an）2＝3×52＝75．
故答案為：75．
15．（2分）若x2+2ax+16是一個完全平方式，則a＝ ±4 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定a的值．
【解答】解：∵x2+2ax+16＝x2+2ax+（±4）2，
∴2ax＝±2×4×x，
解得a＝±4．
故答案為：±4．
16．（2分）已知：（x+y）2＝15，（x﹣y）2＝17，則xy＝ ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】把兩式相減，從而可求解．
【解答】解：∵（x+y）2＝15，（x﹣y）2＝17，
∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝15﹣17，
x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣2，
4xy＝﹣2，
xy＝﹣．
故答案為：﹣．
17．（2分）互聯(lián)網信息傳遞具有指數增長的特征．若有一則新聞很吸引人，假設每個人轉發(fā)后會被朋友圈里的100人看到（假設朋友圈人數大于100人），看到新聞的人里10%會進行第二次轉發(fā)，假設每輪看到消息的人是不重復的．如果第一個人轉發(fā)后，吸引了10個人轉發(fā)，按此規(guī)律則有10×100＝1000個人看到，第2輪轉發(fā)的人數為這1000個人里的10%，即1000×10%＝100人，依次類推．
請問，經過第 7 次轉發(fā)后，這條新聞會被全國網民都看到（全國網民數量按照10億計算）．
【答案】7．
【分析】根據各輪轉發(fā)曝光的人數，可找出變化規(guī)律“第n輪轉發(fā)，曝光人數為10n+2（n為正整數）”，結合全國網民數量按照10億計算，即可求出n的值．
【解答】解：第1輪轉發(fā)，曝光人數為1000個，即101+2；
第2輪轉發(fā)，曝光人數為10000個，即102+2；
第3輪轉發(fā)，曝光人數為100000個，即103+2；
…，
第n輪轉發(fā)，曝光人數為10n+2（n為正整數），
∴10n+2＝1000000000＝109，
∴n＝7，
∴經過第7次轉發(fā)后，這條新聞會被全國網民都看到（全國網民數量按照10億計算）．
故答案為：7．
18．（2分）現有足夠多的甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖所示，且a≠4b）．從這三種矩形紙片中選取任意4張（每種紙片可重復選擇或者不選擇），拼成一個中間無空隙的正方形，可能性有 3 種．
【答案】3．
【分析】根據完全平方公式可得所有可能性結果．
【解答】解：如圖所示，
從這三種矩形紙片中選取任意4張（每種紙片可重復選擇或者不選擇），拼成一個中間無空隙的正方形，可能性有3種，
故答案為：3．
三、簡答題（本大題共7題，19-24題每題5分，25題6分，滿分36分）
19．（5分）計算：a+2a+3a﹣a?a2?a3+（﹣a3）2．
【答案】6a．
【分析】根據冪的乘方與積的乘方法則、同底數冪的乘法法則、合并同類項的方法進行解題即可．
【解答】解：原式＝6a﹣a6+a6＝6a．
20．（5分）計算：（3a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）
【答案】見試題解答內容
【分析】根據完全平方公式和平方差公式化簡后，再合并同類項即可．
【解答】解：（3a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）
＝9a2+12ab+4b2+a2﹣4b2
＝10a2+12ab．
21．（5分）計算：．
【答案】．
【分析】先通分再算加法即可．
【解答】解：原式＝+
＝．
22．（5分）計算：．
【答案】．
【分析】根據去括號的法則直接求解即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
23．（5分）分解因式：（x﹣2y）2﹣4x2．
【答案】﹣（3x﹣2y）（x+2y）．
【分析】根據平方差公式進行計算即可．
【解答】解：原式＝[（x﹣2y）+2x][（x﹣2y）﹣2x]
＝（3x﹣2y）（﹣x﹣2y）
＝﹣（3x﹣2y）（x+2y）．
24．（5分）分解因式：3a3b3﹣6a2b2+3ab．
【答案】3ab（ab﹣1）2．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3ab（a2b2﹣2ab+1）
＝3ab（ab﹣1）2．
25．（6分）已知A＝﹣x2﹣1，A﹣B＝﹣x3+2x2﹣5，求B．
【答案】見試題解答內容
【分析】將A代入A﹣B＝﹣x3+2x2﹣5，去括號合并即可得到B．
【解答】解：∵A＝﹣x2﹣1，A﹣B＝﹣x3+2x2﹣5，
∴B＝（﹣x2﹣1）﹣（﹣x3+2x2﹣5）
＝﹣x2﹣1+x3﹣2x2+5
＝x3﹣3x2+4．
四、解答題（本大題共3題，26題7分，27題7分，28題5分，滿分19分）
26．（7分）先化簡，再求值：，其中x＝2．
【答案】見試題解答內容
【分析】原式第二項第二個因式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用十字相乘法分解因式，約分后通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣?＝﹣＝，
當x＝2時，原式＝＝．
27．（7分）若關于x的多項式2x+a與x2﹣bx﹣2的乘積展開式中沒有二次項，且常數項為10，求a+b的值．
【答案】﹣7.5．
【分析】先利用多項式乘多項式法則計算，根據展開式中沒有二次項和常數項為10得到關于a、b的方程，求解即可．
【解答】解：（2x+a）×（x2﹣bx﹣2）
＝2x3﹣2bx2﹣4x+ax2﹣abx﹣2a
＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（4+ab）x﹣2a．
∵乘積展開式中沒有二次項，且常數項為10，
∴a﹣2b＝0，﹣2a＝10，
∴a＝﹣5，b＝﹣2.5，
∴a+b＝﹣5+（﹣2.5）＝﹣7.5．
28．（5分）如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”，如：4＝2×2＝22﹣02，12＝6×2＝42﹣22，20＝10×2＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數”．
（1）28是“神秘數”，請將28表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，即28＝ 82﹣62 ．
（2）2024是神秘數嗎？如果是請將2024表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，如果不是，請說明理由．
【答案】（1）82﹣62；（2）見解析．
【分析】（1）將28用兩個連續(xù)偶數的平方差表示即可；
（2）令4（2k+1）＝2024，判斷k是否是整數即可．
【解答】解：（1）∵28＝x2﹣（x﹣2）2，
解得x＝8，x﹣2＝6，
∴28＝82﹣62，
故答案為：82﹣62；
（2）假設2024是“神秘數”，則4（2k+1）＝2024，
解得k＝252.5，
∵k不是整數，
∴假設不成立，2024不是“神秘數”．
五、綜合題（滿分9分）
29．（9分）閱讀下列材料：
材料一：
如圖1所示，如果直線AB∥直線CD．那么△ABC和△ABD的AB邊上的兩條高相等．因為倆個三角形共用一條底邊AB，所以兩個三角形面積相等．
材料二：
如圖2所示，如果∠AGH＝∠GHD，那么AB∥CD．
根據以上材料完成下列題目：
已知正方形ABCD與正方形EFGH，AB＝a，EF＝b（b＜a）．
（1）如圖3，若點B與點E重合，點H在線段BC上，點F在線段AB的延長線上，聯(lián)結AC、AG、CG，將陰影部分三角形ACG的面積記作S，則S＝ ab （用含有a、b的代數式表示）．
（2）如圖4，若將正方形EFGH沿射線BC方向平移，使得點E、H在線段BC上（點H不與點C重合、點E不與點B重合），聯(lián)結AC、AG、CG，設BE＝x，將陰影部分三角形ACG的面積記作S，則S＝ a（a﹣x） （用含有a、b、x的代數式表示）．
（3）如圖5，若將正方形EFGH沿射線BC方向平移，使得點H、E在BC的延長線上，聯(lián)結AC、AG、CG，設BE＝x，將陰影部分三角形ACG的面積記作S，則S＝ a（x﹣a） （用含有a、b、x的代數式表示）．
（4）觀察上述3題的結論，陰影部分的面積與小正方形的邊長b是否有關？請說明理由．
【答案】（1）ab；
（2）a（a﹣x）；
（3）a（x﹣a）；
（4）陰影部分的面積與小正方形的邊長b無關，
【分析】（1）證明AC∥GB，推出S陰＝S△ABC，可得結論；
（2）證明AC∥GE，推出S陰＝S△AEC，可得結論；
（3）證明EG∥AC，推出S陰＝S△AEC，可得結論．
（4）由前面3題的結論可得出答案．
【解答】解：（1）如圖3中，連接BG．
∵四邊形ABCD，EFGH都是正方形，
∴∠ACB＝∠CBG＝45°，
∴AC∥GB，
∴S陰＝S△AGH＝S△ABC＝?AB?BC＝ab．
故答案為：ab；
（2）如圖4中，連接EG，AE．
∵四邊形ABCD，EFGH都是正方形，
∴∠ACB＝∠HEG＝45°，
∴AC∥GE，
∴S陰＝S△AEC＝?EC?AB＝a（a﹣x）；
故答案為：a（a﹣x）；
（3）如圖5中，連接EG，AE．
同法可證，EG∥AC，
∴S陰＝S△AEC＝?EC?AB＝a（x﹣a）．
故答案為：a（x﹣a）．
（4）由上述3題的結論可知，陰影部分的面積與小正方形的邊長b無關，
理由：E在直線BC上，設BE＝x，則CE＝|a﹣x|，
由三角形面積可知S＝a|a﹣x|．
即陰影部分的面積與小正方形的邊長b無關．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/23 0:23:00；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學號：43314264第n輪轉發(fā)
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