審題學校：武穴中學審題教師：范超
考試時間：2024年11月14日下午15:00-17:00試卷滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.設復數(shù)，則的虛部為（ ）
A.2iB.C.2D.-2
2.已知三點，則過點的直線與線段AB有公共點時，直線斜率的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
3.已知，則在方向上的投影向量的坐標為（ ）
A.B.C.D.
4.圓與圓的公共弦長為
A.B.C.D.
5.已知平面向量滿足.則向量與向量的夾角為（ ）
A.B.C.D.
6.一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4，5，6的6個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和不超過6”，事件“摸出的兩個球的編號都大于3”，事件“摸出的兩個球中有編號為4的球”，則（ ）
A.事件與事件是相互獨立事件B.事件與事件是對立事件
C.事件與事件是互斥事件D.事件與事件是互斥事件
7.如圖，在正四棱臺中，.直線與平面EFG交于點，則（ ）
A.B.C.D.
8.閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9.下列說法不正確的是（ ）
A.若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
B.不與坐標軸平行或重合的直線，其方程一定可以寫成兩點式
C.是直線與直線垂直的充要條件
D.是直線與直線平行的充要條件
10.如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)的一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（ ）
A.的最小值為
B.當與垂直時，直線與平面ABCD所成的角的正切值為
C.三棱錐體積的最小值為
D.當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為
11.已知曲線，點為曲線上任意一點，則（ ）
A.曲線的圖象表示兩個圓B.的最大值是
C.的取值范圍是D.直線與曲線有且僅有2個交點
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.經(jīng)過點，且在軸上的截距為軸上截距的2倍的直線方程為______.
13.在平面直角坐標系Oxy中，圓上存在點到點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍為______.
14.已知實數(shù)滿足，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.在中，已知點邊上的高線所在的直線方程為，角的平分線所在的直線方程為.
（1）求直線AC的方程；
（2）求直線AB的方程.
16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
（1）求；
（2）若的面積為，求BC邊上中線的長.
17.黃石二中舉行數(shù)學競賽校內(nèi)選拔賽（滿分100分），為了了解本次競賽成績的情況，隨機抽取了100名參賽學生的成績，并分成了五組：第一組[50，60），第二組[60，70）．第三組，第四組，第五組[90，100]繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.
（1）求出頻率分布直方圖中a，b的值，并估計此次競賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組所有參賽學生成績的方差；
（3）甲、乙、丙3名同學同時做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為，假設他們?nèi)耸欠窠獬鲈擃}互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.
18.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，為AD的中點.
（1）求證：平面平面ABCD；
（2）若點E在線段PC上運動（不包括端點），設平面平面，當直線與平面BEF所成角取最大值時，求平面BEF與平面CEF夾角的余弦值.
19.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)且，那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，已知直線，直線，點為和的交點.
（1）求點的軌跡方程；
（2）點為曲線與軸正半軸的交點，直線交曲線于A，B兩點，與A，B兩點不重合，直線MA、MB的斜率分別為，且，證明直線過定點，并求出該定點；
（3）當點在曲線上運動時，求的最小值.
2024年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校期中聯(lián)考高二數(shù)學參考答案
12.或13.14.
部分小題詳解：
7.依題意，，在四棱臺中，
，設，則四點共面，
.
8.依題意，平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，設直線的方向向量為，則有，令.
10.對A，將平面和平面DMN展開到一個平面內(nèi)，的最小值即點和D點連線的距離，，故選項A正確；
對B，如圖，令中點為中點為，連接MN，
又正方體中，為棱的中點，可得，
平面平面，又，
且平面平面平面，
又平面，且平面平面，
又為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），平面平面，而平面平面，即的軌跡為線段與平面ABCD所成的角即與平面所成的角，F(xiàn)點到平面的距離為點在平面的射影P在上靠近點的四等分點，，故直線與平面ABCD所成的角的正切值為，故選項B正確；
對C，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時，體積最小，如圖，，易得在處時最小，此時，所以體積最小值為，故選項C正確；
對D，如圖，當在處時，三棱錐的體積最大時，
由已知得此時，所以在底面的射影為底面外心，
，所以底面為直角三角形，
所以在底面的射影為中點，設為，如圖，設外接球半徑為，
由，可得外接球半徑，其外接球的表面積為，故選項D錯誤．
11.對于A，由得，
即，
所以或，
所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個圓．
對于表示到原點距離的平方再加1，故最大值為.
對于表示點與點連線的斜率.設過點且與圓相切的直線為，則由直線與圓相切可得或
對于D，由C知直線與圓M，N都相切，故直線與曲線有且僅有兩個交點.
13.圓的標準方程為，故圓是以為圓心，1為半徑的圓，的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.依題意，兩圓有交點，則
14.設，
為正三角形.
表示點和點到直線的距離之和的倍.
設點是線段AB的中點，則，故點在圓上.
.
15.解：（1）邊上的高線所在的直線方程為，
邊可設為.…………………………………………………………………………2分
又點在AC邊上，，求得……………………………………………4分
直線AC的方程為……………………………………………………………………5分
（2）由，解得…………………………………………………7分
設點關于直線對稱的點
，解得……………………………………………10分
又點在直線AB上，……………………………………………………………………12分
求得直線AB的方程為：………………………………………………………………13分
16.解：（1）由題設得
于是故……………………………………3分
由正弦定理得………………………………5分
又……………………………………………………………………………………6分
…………………………………………………………7分
故………………………………………………………………………………………………………8分
（2）由（1）知
所以是頂角為，底角為的等腰三角形，即
.………………………………………………………………………11分
設BC邊上中線的長為，則有
.………………………………14分
……………………………………………………………………………………………………15分
17.（1）由題意可知：，解得………………………………2分
可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均數(shù)等于，………………………4分
（2）設第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，
且兩組頻率之比為，成績在第二組、第四組的平均數(shù)……………6分
成績在第二組、第四組的方差
故估計成績在第二組、第四組的方差是．…………………………………………………………9分
（3）設“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，
由題意得，
所以，
所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為.…………………………………………11分
則，因為，
所以，因為相互獨立，
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.……………………………………………15分
18.（1）證明：連，又
即
均為等邊三角形，
所以四邊形ABCD為菱形．……………………………………………………………………………2分
取AB中點，連OP，OD
為等邊三角形，
又，即
又平面ABCD
平面ABCD
又平面平面平面ABCD.……………………………………………………7分
（2）解：平面平面平面PCD又平面平面，建立如圖的空間直角坐標系，易得
令
，令平面BEF法向量為
解得…………………………………………………………………10分
，………………………11分
令
當
…………………………………………………………………………………13分
所以平面BEF的法向量
，
設平面EFC的法向量
解得……………………………………………………15分
設二面角的夾角為
…………………………………………………………………………17分
19.（1）當時，，此時，交點為
當時，由，斜率為t，
由，斜率為，綜上，.
直線恒過，直線恒過，若為的交點，則，設點，
所以點的軌跡是以EF為直徑的圓，除去點，則圓心為EF的中點，圓的半徑為，故的軌跡方程為……………………………………5分
（沒有扣1分）
（2），設，
當斜率存在時，直線的方程為，故
……6分
將直線方程與圓的方程進行聯(lián)立，得：
.……………………………………………………………………8分
將其帶入中可得：或，由于M與A，不重合，則直線的方程為恒過定點（）………………………10分
當直線L的斜率不存在時，設，則，故可得，即則直線仍恒過定點，綜上可得，則直線恒過定點
…………………………………………11分
（3），易知R、Q在該圓內(nèi)，又由題意可知圓上一點滿足，取，則，滿足.下面證明任意一點，都滿足，即，
即,所以…………………………15分
，即當且僅當D，P，Q三點共線，且P位于D，Q之間時，等號成立.即的最小值為…………………………………………………………………17分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
D
C
A
D
A
B
ACD
ABC
ACD

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