1．（3分）若氣象部門(mén)預(yù)報(bào)明天下雨的概率是85%，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．明天下雨的可能性比較大
B．明天一定不會(huì)下雨
C．明天一定會(huì)下雨
D．明天下雨的可能性比較小
2．（3分）下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（ ）
A．以點(diǎn)O為圓心
B．以10cm長(zhǎng)為半徑
C．以點(diǎn)A為圓心，4cm長(zhǎng)為半徑
D．經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M
3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，則（ ）
A．AC：BD＝3：2B．BD：BF＝2：5C．CD：EF＝2：3D．CE：AC＝2：5
4．（3分）如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．∠AOC＝∠BODC．AC＝2CDD．OC⊥BD
5．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是拋物線(xiàn)y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三點(diǎn)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
6．（3分）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個(gè)，兩個(gè)小球除顏色外無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虛線(xiàn)剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的圖象一定不經(jīng)過(guò)（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
9．（3分）如圖，在⊙O中，C是上一點(diǎn)，OA⊥OB，過(guò)點(diǎn)C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，則∠C與∠AOC滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，點(diǎn)C，D在半圓O上，，AD，BC相交于點(diǎn)E，的值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）有8張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是 ．
12．（3分）如圖，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，則的長(zhǎng)為 ．
13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OBC＝28°，則∠A＝ °．
14．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y之間滿(mǎn)足下列數(shù)量關(guān)系：
則4a﹣2b+c＝ ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是邊AB上的中線(xiàn)，G為△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作GN∥BC交AB于點(diǎn)N，那么△OGN的面積是 ．
16．（3分）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常數(shù)），設(shè)k分別取0，1，2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y0，y1，y2，某學(xué)習(xí)小組通過(guò)畫(huà)圖，探索，得到以下結(jié)論：①函數(shù)y0，y1，y2都是二次函數(shù)；②滿(mǎn)足y1＞y2的x取值范圍是﹣1＜x＜1；③不論k取何實(shí)數(shù)，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（﹣1，2）；④當(dāng)x＞1時(shí)滿(mǎn)足y2＞y1＞y0，則以上結(jié)論正確的是 ．
三、解答題（本題有8小題，共66分）
17．（6分）計(jì)算：
（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．
（2）已知線(xiàn)段a＝4.5，線(xiàn)段b＝2，求線(xiàn)段a，b的比例中項(xiàng)線(xiàn)段c．
18．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（1，0）
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）將二次函數(shù)寫(xiě)成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
19．（8分）某大劇院有A，B，C三個(gè)完全相同的入口，D，E兩個(gè)完全相同的出口，小明周末要去大劇院觀(guān)看話(huà)劇表演，隨機(jī)選擇一個(gè)入口，結(jié)束后任選一個(gè)出口離開(kāi)．
（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，表示小明進(jìn)出大劇院的所有可能路線(xiàn)；
（2）求小明從B入口進(jìn)入大劇院的概率．
20．（8分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，點(diǎn)E在邊AC上，且AD2＝AE?AB，連接DE．
（1）求證：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE＝，求AC的長(zhǎng)．
21．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點(diǎn)，∠ACD的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交⊙O于另一點(diǎn)F，F(xiàn)A＝FE．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）設(shè)FM⊥AB，垂足為M，若OM＝OE＝1，求AC的長(zhǎng)．
22．（10分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就減少10件，設(shè)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元．
（1）當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為多少件；
（2）若商場(chǎng)要每天獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)2000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
23．（12分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．
（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），
①b的值是 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ；
②當(dāng)0＜y＜5時(shí)，借助圖象，求自變量x的取值范圍；
（2）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；
（3）當(dāng)m＜y＜n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．
24．（12分）如圖，半圓O的直徑AB＝6．點(diǎn)C在半圓O上，連結(jié)AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AC分別交BC，于點(diǎn)E，D，連結(jié)AD交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：點(diǎn)D是的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)△BOE與△FDE相似時(shí)，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)．
（3）將點(diǎn)O繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)G．當(dāng)點(diǎn)G在線(xiàn)段AC上，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)．
2024-2025學(xué)年浙江省杭州市觀(guān)成教育集團(tuán)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）若氣象部門(mén)預(yù)報(bào)明天下雨的概率是85%，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．明天下雨的可能性比較大
B．明天一定不會(huì)下雨
C．明天一定會(huì)下雨
D．明天下雨的可能性比較小
【答案】A
【分析】利用概率的意義結(jié)合具體的選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：明天下雨的概率是85%，說(shuō)明明天下雨的可能性比較大，但也可能下雨，也可能不下雨，
因此選項(xiàng)A符合題意，
故選：A．
2．（3分）下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（ ）
A．以點(diǎn)O為圓心
B．以10cm長(zhǎng)為半徑
C．以點(diǎn)A為圓心，4cm長(zhǎng)為半徑
D．經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M
【答案】C
【分析】確定一個(gè)圓有兩個(gè)重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．
【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，
∴C選項(xiàng)正確，
故選：C．
3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，則（ ）
A．AC：BD＝3：2B．BD：BF＝2：5C．CD：EF＝2：3D．CE：AC＝2：5
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，得到比例式BD：DF＝AC：CE，進(jìn)而判斷即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BD：DF＝AC：CE＝2：3，
∴BD：BF＝2：5，
故選：B．
4．（3分）如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．∠AOC＝∠BODC．AC＝2CDD．OC⊥BD
【答案】C
【分析】根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴，故A正確，不符合題意；
∵BC＝CD，
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD，故B正確，不符合題意；
∴AC＝BD，
∴AC＝BD＜BC+CD＝2CD，故C錯(cuò)誤，符合題意；
∵OB＝OD，BC＝CD，
∴OC⊥BD，故D正確，不符合題意；
故選：C．
5．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是拋物線(xiàn)y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三點(diǎn)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【答案】A
【分析】求得拋物線(xiàn)開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)三點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸距離的遠(yuǎn)近來(lái)比較函數(shù)值的大?。?br>【解答】解：∵y＝kx2+2kx+4（k＞0），
∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝﹣1，
∵點(diǎn)B（﹣1，b）在對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)C（3，c）最遠(yuǎn)，
∴b＜a＜c．
故選：A．
6．（3分）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個(gè)，兩個(gè)小球除顏色外無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸出的都是紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的都是紅球的結(jié)果有1種，
∴兩次摸出的都是紅球的概率為．
故選：A．
7．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虛線(xiàn)剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，
A．因?yàn)?，?duì)應(yīng)邊，，
所以沿虛線(xiàn)剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，
故此選項(xiàng)不符合題意；
B．因?yàn)?，?duì)應(yīng)邊，又∠A＝∠A，
所以沿虛線(xiàn)剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，
故此選項(xiàng)符合題意；
C．因?yàn)?，?duì)應(yīng)邊，
即：，
所以沿虛線(xiàn)剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，
故此選項(xiàng)不符合題意；
D．因?yàn)?，?duì)應(yīng)邊，，
所以沿虛線(xiàn)剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，
故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
8．（3分）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的圖象一定不經(jīng)過(guò)（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0和二次函數(shù)的性質(zhì)，可知該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開(kāi)口向下，然后即可判斷該函數(shù)圖象一定不經(jīng)過(guò)第二象限．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0，
∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開(kāi)口向下，
∴該函數(shù)圖象存在三種情況，如圖所示，
∴它的圖象一定不經(jīng)過(guò)第二象限，
故選：B．
9．（3分）如圖，在⊙O中，C是上一點(diǎn)，OA⊥OB，過(guò)點(diǎn)C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，則∠C與∠AOC滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接OD，根據(jù)垂直定義可得∠BOA＝90°，從而可得∠BOC＝90°﹣∠AOC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠D＝∠C，然后根據(jù)已知和等量代換可得OD＝DE，從而可得∠DEO＝∠DOE＝，再利用三角形是外角性質(zhì)可得∠DEO＝∠C+∠BOC，最后利用等量代換進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：連接OD，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA＝90°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣∠AOC，
∵OD＝OC，
∴∠D＝∠C，
∵OD＝OA，OA＝DE，
∴OD＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝＝，
∵∠DEO是△EOC的一個(gè)外角，
∴∠DEO＝∠C+∠BOC，
∴＝∠C+90°﹣∠AOC，
∴3∠C＝2∠AOC，
∴∠C＝∠AOC，
故選：C．
10．（3分）如圖，點(diǎn)C，D在半圓O上，，AD，BC相交于點(diǎn)E，的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖所示，連接AC，連接OD交BC于M，先證明AC＝BC，OD⊥BC，由圓周角定理得到∠ACB＝90°，進(jìn)而證明△ABC是等腰直角三角形，推出∠ABC＝45°，進(jìn)一步證明△OBM是等腰直角三角形，則OM＝BM，設(shè)AC＝BC＝2a，則OM＝BM＝a，，，證明△ACE∽△DME，即可得到．
【解答】解：如圖所示，連接AC，連接OD交BC于M，
∵，
∴AC＝BC，OD⊥BC，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴△OBM是等腰直角三角形，
∴OM＝BM，
設(shè)AC＝BC＝2a，
∴OM＝BM＝a，
∴，
∴，
∵∠C＝90°，OD⊥BC，
∴AC∥OD，
∴△ACE∽△DME，
∴，
故選：D．
二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）有8張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是 ．
【答案】．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵有8張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，其中該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的數(shù)是4，8，
∴該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是＝，
故答案為：．
12．（3分）如圖，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，則的長(zhǎng)為 4π ．
【答案】4π．
【分析】把已知數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得弧AB的長(zhǎng)為
，
故答案為：4π．
13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OBC＝28°，則∠A＝ 62 °．
【答案】62．
【分析】連接OC，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．
【解答】解：連接OC，
∵OB＝OC，∠OBC＝28°，
∴∠OCB＝∠OBC＝28°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝124°，
∴，
故答案為：62．
14．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y之間滿(mǎn)足下列數(shù)量關(guān)系：
則4a﹣2b+c＝ 20 ．
【答案】20．
【分析】由表中數(shù)據(jù)得到點(diǎn)（0，10）和（2，10）為拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)性得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，則x＝﹣2和x＝4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為20，即4a﹣2b+c＝20．
【解答】解：由表中數(shù)據(jù)得到點(diǎn)（0，10）和（2，10）為拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，
∴x＝﹣2和x＝4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為20，
故4a﹣2b+c＝20．
故答案為：20．
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是邊AB上的中線(xiàn)，G為△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作GN∥BC交AB于點(diǎn)N，那么△OGN的面積是 0.5 ．
【答案】0.5．
【分析】先證△ABC∽△OBE，由CO是邊AB上的中線(xiàn)，可得OE的長(zhǎng)，再證△ONG∽△OBC，根據(jù)G為△ABC的重心，可得△ONG與△OBC的面積比，可得△OGN的面積．
【解答】解：
過(guò)O作OE⊥BC，交BC于E，
∴∠ACB＝∠OEB＝90°，
∵∠ABC＝∠OBE，
∴△ABC∽△OBE，
∴＝＝，
∵CO是邊AB上的中線(xiàn)，
∴＝，
∵AC＝3，BC＝6，
∴OE＝1.5，BE＝3，
＝4.5，
∵GN∥BC，
∴∠ONG＝∠OBC，∠OGN＝∠OCB，
∴△ONG∽△OBC，
∴（）2＝，
∵G為△ABC的重心，
∴＝，
∴＝，
∴S△ONG＝0.5，
故答案為：0.5．
16．（3分）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常數(shù)），設(shè)k分別取0，1，2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y0，y1，y2，某學(xué)習(xí)小組通過(guò)畫(huà)圖，探索，得到以下結(jié)論：①函數(shù)y0，y1，y2都是二次函數(shù)；②滿(mǎn)足y1＞y2的x取值范圍是﹣1＜x＜1；③不論k取何實(shí)數(shù)，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（﹣1，2）；④當(dāng)x＞1時(shí)滿(mǎn)足y2＞y1＞y0，則以上結(jié)論正確的是 ②③④ ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】將k＝0，1，2代入可判定①，解不等式可判定②④，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0），（﹣1，2）可知k的系數(shù)為0，則可判定③．
【解答】解：當(dāng)k分別取0，1，2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：
y0＝﹣x2﹣x+2，
y1＝﹣x+1，
y2＝x2﹣x，
由上可知，①錯(cuò)誤；
若y1＞y2，則﹣x+1＞x2﹣x，
∴x2＜1，
即﹣1＜x＜1．
則②正確；
∵關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]＝（x2﹣1）k﹣x2﹣x+2，
∴當(dāng)x＝±1時(shí)，函數(shù)值與k無(wú)關(guān)，
即當(dāng)x＝1，y＝0，
當(dāng)x＝﹣1，y＝2，
∴過(guò)定點(diǎn)（1，0），（﹣1，2），
則③正確；
若﹣x+1＞﹣x2﹣x+2，
∴x＞1或x＜﹣1；
若x2﹣x＞﹣x+1，
∴x＞1或x＜﹣1，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，y2＞y1＞y0；
則④正確．
故答案為：②③④．
三、解答題（本題有8小題，共66分）
17．（6分）計(jì)算：
（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．
（2）已知線(xiàn)段a＝4.5，線(xiàn)段b＝2，求線(xiàn)段a，b的比例中項(xiàng)線(xiàn)段c．
【答案】（1）；
（2）3．
【分析】（1）根據(jù)所給比例式，結(jié)合外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，得出a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合a，b的長(zhǎng)度即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）由3：x＝2：5得，
2x＝3×5，
解得x＝，
故x的值是．
（2）因?yàn)榫€(xiàn)段c是線(xiàn)段a和線(xiàn)段b的比例中項(xiàng)，
所以c2＝ab．
又因?yàn)榫€(xiàn)段a＝4.5，線(xiàn)段b＝2，
所以c2＝4.5×2＝9，
所以c＝3（舍負(fù)），
故線(xiàn)段a，b的比例中項(xiàng)線(xiàn)段c為3．
18．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（1，0）
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）將二次函數(shù)寫(xiě)成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝（x+1）2﹣4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．
【分析】（1）將點(diǎn)（0，﹣3），（1，0）代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）利用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（1，0），
∴，解得：，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．
19．（8分）某大劇院有A，B，C三個(gè)完全相同的入口，D，E兩個(gè)完全相同的出口，小明周末要去大劇院觀(guān)看話(huà)劇表演，隨機(jī)選擇一個(gè)入口，結(jié)束后任選一個(gè)出口離開(kāi)．
（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，表示小明進(jìn)出大劇院的所有可能路線(xiàn)；
（2）求小明從B入口進(jìn)入大劇院的概率．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）．
【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖，即可解決問(wèn)題；
（2）直接由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
所有等可能的結(jié)果有6種，即A﹣D、A﹣E、B﹣D、B﹣E、C﹣D、C﹣E；
（2）∵大劇院有A，B，C三個(gè)完全相同的入口，
∴小明從B入口進(jìn)入大劇院的概率為．
20．（8分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，點(diǎn)E在邊AC上，且AD2＝AE?AB，連接DE．
（1）求證：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE＝，求AC的長(zhǎng)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由AD是∠BAC的角平分線(xiàn)可得出∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AE?AB可得出＝，進(jìn)而即可證出△ABD∽△ADE；
（2）由△ABD∽△ADE可得出∠ADB＝∠AED，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角等于180°，即可得出∠CDE＝∠CAD，結(jié)合公共角相等可得出△DCE∽△ACD，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AC的長(zhǎng)度．
【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵AD2＝AE?AB，
∴＝，
∴△ABD∽△ADE；
（2）解：∵△ABD∽△ADE，
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．
又∵∠DCE＝∠ACD，
△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AC＝4．
21．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點(diǎn)，∠ACD的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交⊙O于另一點(diǎn)F，F(xiàn)A＝FE．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）設(shè)FM⊥AB，垂足為M，若OM＝OE＝1，求AC的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）AC＝．
【分析】（1）證明∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，即可得到∠CDE＝90°，由此得出CD⊥AB；
（2）求出AB和BC的長(zhǎng)，即可求出AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF，
∵∠FAE與∠BCE都是所對(duì)的圓周角，
∴∠FAE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵AF＝EF，F(xiàn)M⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圓的半徑OA＝OB＝AE﹣OE＝3，
∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴．
22．（10分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就減少10件，設(shè)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元．
（1）當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為多少件；
（2）若商場(chǎng)要每天獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)2000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為200件；
（2）商場(chǎng)要每天獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)2000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元；
（3）銷(xiāo)售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2250元．
【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出算式250﹣（30﹣25）×10，然后計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；
（3）根據(jù)題意，可以寫(xiě)出利潤(rùn)與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式，即可求得W的最大值．
【解答】解：（1）由題意可得，
當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為：250﹣（30﹣25）×10＝200（件），
答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為200件；
（2）設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為x元，
由題意可得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40，
答：商場(chǎng)要每天獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)2000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元；
（3）由題意可得，
W＝（x﹣20）×[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴當(dāng)x＝35時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝2250，
答：銷(xiāo)售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2250元．
23．（12分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．
（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），
①b的值是 ﹣2 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 （﹣1，0） ；
②當(dāng)0＜y＜5時(shí)，借助圖象，求自變量x的取值范圍；
（2）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；
（3）當(dāng)m＜y＜n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）①依據(jù)題意，由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過(guò)點(diǎn)A（3，0）代入可得b，進(jìn)而得二次函數(shù)解析式，從而可以求出B；
②依據(jù)題意，由①令y＝0，y＝5分別求出對(duì)應(yīng)自變量進(jìn)而可以得解；
（2）依據(jù)題意，由不等式變形得x2+bx﹣3﹣t＞0，對(duì)于一切實(shí)數(shù)成立，即對(duì)函數(shù)y＝x2+bx﹣3﹣t與x軸無(wú)交點(diǎn)，可得Δ＜0，進(jìn)而可以得解；
（3）依據(jù)題意可得拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為x＝1與x＝2的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，從而求出b，進(jìn)而得二次函數(shù)解析式，再由自變量x的取值范圍是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范圍．
【解答】解：（1）①由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過(guò)點(diǎn)A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0．
∴b＝﹣2．
∴二次函數(shù)為：y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴解得，x＝﹣1或x＝3．
∴B（﹣1，0）．
故答案為：﹣2；（﹣1，0）．
②由題意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上．
∴當(dāng)0＜y＜5時(shí)，滿(mǎn)足題意的自變量有兩部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由題意，∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t開(kāi)口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．
∴t＜﹣．
（3）由題意，拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為x＝1與x＝2的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝．
∴b＝﹣3．
∴二次函數(shù)為y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．
∴當(dāng)x＝1或x＝2時(shí)，y＝﹣5，即此時(shí)n＝﹣5．
由題意，∵m＜y＜﹣5時(shí)，自變量x的取值范圍是1＜x＜2，
∴m＜﹣．
24．（12分）如圖，半圓O的直徑AB＝6．點(diǎn)C在半圓O上，連結(jié)AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AC分別交BC，于點(diǎn)E，D，連結(jié)AD交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：點(diǎn)D是的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)△BOE與△FDE相似時(shí)，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)．
（3）將點(diǎn)O繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)G．當(dāng)點(diǎn)G在線(xiàn)段AC上，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）1.8．
【分析】（1）利用圓周角定理得到AC⊥BC，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和垂徑定理解答即可得出結(jié)論；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠D，利用同圓的半徑相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠CAD＝DAB＝∠B＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）畫(huà)出圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到CG＝EF，CF＝OE，設(shè)OE＝CF＝x，則AC＝2x，DE＝OD﹣OE＝3﹣x，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得EF，BE，再利用勾股定理列出方程解答即可．
【解答】（ 1 ）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠C＝ 90°，
∴AC⊥BC．
∵OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴，
∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)；
（ 2 ）解：當(dāng)△BOE與△FDE相似時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)∠DOB＝∠D時(shí)，不符合題意，舍去．
②當(dāng)∠B＝∠D時(shí)，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∴∠OAD＝∠B，
∴，
∵，
∴，
∴∠CAD＝DAB＝∠B＝30°，
∵OD⊥BC，
∴OE＝OB＝AB＝．
即線(xiàn)段OE的長(zhǎng)為；
（3）解：如圖：
由（ 1 ）知，∠C＝∠OEF＝ 90°，
∴∠CFG+∠CGF＝90°．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠OFG＝ 90°，OF＝GF，
∴∠CFG+∠OFE ＝ 90°，
∴∠CGF＝EFO．
在△FCG和△OEF中，
，
∴△FCG≌△OEF（AAS），
∴CG＝EF，CF＝OE．
由 ①得：OD∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE為△BAC的中位線(xiàn)，
∴AC＝2OE．
設(shè)OE＝CF＝x，則AC＝2x，DE＝OD﹣OE＝3﹣x．
∵OD∥AC，
∴△FCA∽△FED，
∴，
∴．
∴EF＝．
∴BE＝CE＝CF+EF＝x+＝，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴，
解得：x＝ 1.8或x＝﹣3（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴OE＝1.8．x
0
2
4
y
10
10
20
紅
黃
紅
（紅，紅）
（紅，黃）
黃
（黃，紅）
（黃，黃）
x
0
2
4
y
10
10
20

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