（時間80分鐘總分100分）
一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用集合的并運(yùn)算求集合即可.
【詳解】由題知.
故選：D
2. 函數(shù)的定義域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零可得出關(guān)于的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.
【詳解】由對數(shù)的真數(shù)大于零得，解得，因此，函數(shù)的定義域為.
故選：A.
3. 設(shè)命題：，則的否定為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.
【詳解】解：因為命題：，
所以的否定：，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，是基礎(chǔ)題.
4. 設(shè)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】，
故選：D
5. 已知向量，，若，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.
【詳解】，且，則，解得.
故選：C.
6. 若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用期望、方差性質(zhì)求新數(shù)據(jù)的期望、方差.
【詳解】由期望、方差的性質(zhì)知：，.
故選：C
7. 為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）
A. 向右平移個單位B. 向左平移個單位
C. 向右平移個單位D. 向左平移個單位
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換的原則，即可容易求得.
【詳解】因為將函數(shù)的圖象向左平移個單位，
則.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)圖像平移前后的解析式變化，屬基礎(chǔ)題.
8. 甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中，若或，就稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)在任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用列舉法結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.
【詳解】甲、乙的所有可能情況用二維有序數(shù)組表示：
，
，
，
總共有36種，
符合條件的有，共11種，
所以他們“心有靈犀”的概率為.
故選：C.
9. 科學(xué)研究已經(jīng)證實，人的智力，情緒和體力分別以天、天和天為周期，按進(jìn)行變化，記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，且現(xiàn)在三條曲線都處于軸的同一點(diǎn)處，那么第天時（）
A. 智力曲線處于最低點(diǎn)
B. 情緒曲線與體力曲線都處于上升期
C. 智力曲線與情緒曲線相交
D. 情緒曲線與體力曲線都關(guān)于對稱
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得第322天時，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲線位于周期處，情緒曲線E位于周期處，體力曲線P剛好位于起始點(diǎn)處，逐一判斷可得選項．
【詳解】第322天時，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲線位于周期處，情緒曲線E位于周期處，體力曲線P剛好位于起始點(diǎn)處，
A項，則智力曲線不處于最低點(diǎn)，故A錯誤；
B項，情緒曲線E處于最高點(diǎn)，即將開始下降，故B錯誤；
C項，經(jīng)過n個周期后，因為周期不同，所以智力曲線與情緒曲線不一定相交，故C錯誤；
D項，(322, 0)位于體力曲線P和情緒曲線E的交點(diǎn)x軸上，故D正確，
故選：D．
10. 兩條異面直線與同一平面所成的角，不可能是（）
A. 兩個角均為銳角B. 一個角為，一個角為
C. 兩個角均為D. 兩個角均為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)異面直線和直線與平面所成角的概念逐個分析可得答案.
【詳解】對于A，兩個角可能均為銳角，故A不正確；
對于B，可能一個角為，一個角為，故B不正確；
對于C，可能兩個角均為，故C不正確；
對于D，如果兩個角均為，則兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行，不是異面直線，故這兩個角不可能均為，故D正確.
故選：D.
11. 已知定義在上的函數(shù)滿足:為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇、偶函數(shù)的定義，推得的最小正周期為4，運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和已知區(qū)間上的函數(shù)的解析式，計算可得所求值．
【詳解】定義在上的函數(shù)滿足：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
可得，，
則，故，
可得的最小正周期為4，
由于，則，
當(dāng)時，，
所以，
則,
故選:A
12. 在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的半徑為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，進(jìn)而根據(jù)已知條件證明三棱錐的外接球的球心在上，再設(shè)外接球的半徑為，球心為，中點(diǎn)為，連接，再根據(jù)幾何關(guān)系得，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)計算即可得答案
【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，連接，
因為是以為斜邊的等腰直角三角形，
所以，，
過點(diǎn)作，
因為平面平面，平面平面,平面，平面，
所以平面，平面，
所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)外接球的半徑為，
則由得，由得，
又因為，
所以為等腰直角三角形，
設(shè)球心為，中點(diǎn)為，連接，
則，
所以，
即，解得，
故選：B
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分）
13. 關(guān)于復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）下列說法正確的是（）
A. B. 若，則
C. 若為純虛數(shù)，則D.
【答案】BC
【解析】
【分析】通過復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，故選項A可判定；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可解讀，故選項B可判定；利用純虛數(shù)的概念可得，故選項C可判定；特殊值代入可判定選項D.
【詳解】，故選項A錯誤；
，由幾何意義可得到的距離為2，
進(jìn)而可得，，即，故選項B正確；
且為純虛數(shù)，，故選項C正確；
，可取則，
，選項D錯誤.
故選：BC.
14. 已知函數(shù)，函數(shù)，則下列命題中正確的是（）
A. 是偶函數(shù)B. 是奇函數(shù)
C. 是偶函數(shù)D. 是偶函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，逐項判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的定義域為，
，
對于，函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，A正確；
對于B，函數(shù)的定義域為，，是奇函數(shù)，B正確；
對于C，函數(shù)的定義域為，，是奇函數(shù)，C錯誤；
對于D，函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，D正確.
故選：ABD
15. 下列命題中，正確的是（）
A. 若事件A，B互斥，則
B. 若事件A，B相互獨(dú)立，則
C. 若事件A，B，C兩兩互斥，則
D. 若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式判斷選項AC；利用獨(dú)立事件的乘法公式判斷選項B；舉反例判斷選項D.
【詳解】對于A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷A正確；
對于B，若事件A，B相互獨(dú)立，則，也相互獨(dú)立，所以，故B正確；
對于C，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷C正確；
對于D，例如，從1，2，3，4中隨機(jī)選出一個數(shù)字，記事件“取出的數(shù)字為1或2”，“取出的數(shù)字為1或3”，“取出的數(shù)字為1或4”，則“取出的數(shù)字為1”，
顯然，
，
滿足，，，
所以事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但是，故D錯誤.
故選：ABC.
16. 如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面截正方體，得到截面多邊形，則下列說法正確的是（）
A. 多邊形是一個六邊形
B. 多邊形的周長為
C. 平面
D. 截面多邊形在頂點(diǎn)處的內(nèi)角的余弦值為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可得截面圖形為五邊形，即可求解AB，根據(jù)線面垂直的判斷得矛盾，即可求解C，根據(jù)余弦定理即可求解D.
【詳解】延長相交于，連接交于，連接,
則由可得
又,
取,連接，過作，連接,
由于，又,
所以,四邊形為平行四邊形，
故，又，所以,
根據(jù)所以,
則五邊形即為截面多邊形，故A錯誤；
由于可知,
所以五邊形的周長為，故B正確；
由于且平面,所以平面，
平面,所以，
若平面，平面,則,,故,
平面，故平面，這顯然是不成立的，故與平面不垂直，故C錯誤；
連接,由于，所以四邊形均為平四邊形，
則
，故D正確，
故選：BD
非選擇題部分
三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）
17. 已知函數(shù)，則_______；_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用函數(shù)解析式可求得、的值.
【詳解】因為，則，
.
故答案為：；.
18. 某班共有學(xué)生40人，將一次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，成績不低于85分的人數(shù)有___人.
【答案】9
【解析】
【分析】先求出a，然后求出成績不低于85分的人的頻率即可成績不低于85分的人數(shù).
【詳解】由頻率分布直方圖的頻率和為1，可得：，解得：.
故成績不低于85分的人的頻率為，
所以成績不低于85分的人數(shù)有.
故答案為：9.
19. 已知實數(shù)，，，則的最小值為______．
【答案】3
【解析】
【分析】由已知變形得出積為定值，然后由基本不等式得最小值．
【詳解】解：實數(shù)，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，取等號，
的最小值為：3．
故答案為：3．
20. 已知兩單位向量滿足：對任意的，有恒成立. 若，則對任意的，的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及一元二次不等式恒成立得到，即可求出與的夾角，不妨設(shè)、，，即可求出點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑的圓上，設(shè)，根據(jù)共線定理得到在直線上，則，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線段的長度問題，求出圓心到直線的距離，即可求出最小值.
【詳解】因為對任意的，有恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
又、為單位向量，所以恒成立，
所以，
所以，所以，設(shè)與的夾角為，則，
又，所以，
不妨設(shè)、，，
因為，所以，所以點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑圓上，
設(shè)，則在直線上，
又直線的方程為，即，
所以，
所以，
又到直線的距離，所以，
即的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：首先由不等式恒成立求出與的夾角，再者是將向量用坐標(biāo)表示，最后是將向量模的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圓上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線段長度問題.
四、解答題（本大題共3小題，共33分）
21. 已知在中，角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，，求面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平行向量的坐標(biāo)關(guān)系得，結(jié)合正弦定理與角度關(guān)系，即可得角；
（2）根據(jù)余弦定理求得邊長，再利用面積公式求解即可.
【小問1詳解】
解：因為向量，，且
所以，由正弦定理得，
又，則，即，又，所以；
【小問2詳解】
解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），
所以的面積.
22. 如圖，在三棱錐中，，，，.設(shè)分別為棱的中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
分析】（1）根據(jù)中位線及勾股定理得出線面垂直，再應(yīng)用面面垂直判定定理得證；
（2）根據(jù)線面垂直，作面面交線的垂線得出二面角，計算即得正弦值.
【小問1詳解】
由，分別為棱的中點(diǎn)，得
,分別為棱的中點(diǎn)，且,
，，平面,平面,,
平面,平面
所以平面平面.
【小問2詳解】
連，則由，,得，,平面，平面,平面.
過點(diǎn)作，垂足為，連，則是二面角的平面角.
于是，，
所以.
23. 已知函數(shù)，
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（不必寫明證明過程）；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（3）當(dāng)時，若對任意的，恒有成立，求的最大值.
【答案】（1）
（2）見解析（3）10
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解，
（2）根據(jù)奇偶性的定義和性質(zhì)及可求解，
（3）根據(jù)分情況討論去掉絕對值，結(jié)合函數(shù)和的單調(diào)性，即可通過求解函數(shù)最值求解.
小問1詳解】
時，，
又二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)，此時在單調(diào)遞增，
當(dāng)，在單調(diào)遞增，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為
【小問2詳解】
當(dāng)時，，對于，，故為偶函數(shù)；
當(dāng)時，，故不是奇函數(shù)；
又，，顯然，即，故不是偶函數(shù)，
綜上所述，當(dāng)時，是偶函數(shù)，當(dāng)時，既不是偶函數(shù)又不是奇函數(shù).
【小問3詳解】
（?。┊?dāng)時，“在恒成立”等價于“在恒成立”，也就是恒成立，
由于對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，
若，則在單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取最小值，則，所以，
故，當(dāng)，時，取到；
若，則在單調(diào)遞增，，所以，
于是，當(dāng)，時，取到.
（ⅱ）當(dāng)時，“在恒成立”等價于“在恒成立”.
由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，
①當(dāng)時，，；
②當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，故，.
綜上所述，的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

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