一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。
1．（2分）“二十四節(jié)氣”是中華農(nóng)耕文明的結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五大發(fā)明”．下列圖案分別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）將拋物線y＝2x2向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的拋物線，其解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x﹣3）2﹣1
C．y＝2（x+3）2﹣1D．y＝2（x﹣3）2+1
3．（2分）把如圖中的三角形A（ ）可以得到三角形B．
A．．先向右平移5格，再向上平移2格
B．．先向右平移7格，再以直角頂點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向上平移1格
C．．先以直角頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移5格
D．．先向右平移5格，再以直角頂點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°
4．（2分）方程x2+4x+3＝0的兩個(gè)根為（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
5．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BCD＝110°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
6．（2分）如圖，⊙O的半徑為9，AB是弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D，若OD＝DC，則弦AB的長為（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△ADE，AB，CE相交于點(diǎn)F，若AD∥CE時(shí)，則∠BAE的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
8．（2分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝，經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．以下結(jié)論：
①﹣＞0；
②b2﹣4ac＝0；
③abc＜0；
④a+b+c＜0；
⑤若（，y1），（﹣，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則y1＞y2．
其中結(jié)論正確的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．①④⑤
二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。
9．（2分）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m＝ ．
10．（2分）拋物線y＝3（x+2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
11．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則2023﹣6m2+9m的值為 ．
12．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
13．（2分）如圖，仁和橋有一段拋物線形狀的拱梁，拋物線的解析式為y＝ax2+bx．小輝騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小輝騎自行車行駛7秒時(shí)和13秒時(shí)拱梁的高度相同，則小輝騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需 秒．
14．（2分）如圖，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE＝8cm，EB＝4cm，則OG＝ cm．
15．（2分）已知函數(shù)y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m為實(shí)數(shù)）若該方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 ．
16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC繞AC邊的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后得△DEF，若直角頂點(diǎn)F恰好落在AB邊上，且DE邊交AB邊于點(diǎn)G，若AC＝12，BC＝5，則AG的長為 ．
三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．解方程：（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．
18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍．
（2）設(shè)x1，x2是方程的兩個(gè)根且，求m的值．
19．如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BOC＝150°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADC，連接OD，OA．
（1）求∠ODC的度數(shù)；
（2）若OB＝3，OC＝2，求AO的長．
20．如圖，某校進(jìn)行校園改造，準(zhǔn)備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊減少了4m，另一邊減少了5m，剩余部分面積為650m2，求原正方形空地的邊長．
22．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（5，2），B（5，5），C（1，1）．
（1）△ABC向左平移3個(gè)單位得到的△A1B1C1，則點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)分別為A1（ ），B1（ ），C1（ ）．
（2）畫出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C．
（3）請(qǐng)計(jì)算四邊形ACA2B2的面積．
23．我市某公司在直播中推出的一款“忘憂”產(chǎn)品禮盒，每盒的成本為100元，若按每盒150元銷售，則同時(shí)段每小時(shí)可售出40盒．為了讓利全國網(wǎng)友，公司決定降價(jià)銷售，經(jīng)核算，發(fā)現(xiàn)銷售價(jià)每降低1元，同時(shí)段每小時(shí)的銷量就增加2盒．設(shè)該禮盒售價(jià)為每盒x元（x≥100），每小時(shí)的銷售利潤為w元．
（1）求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）直播間在讓利顧客的前提下，要使一小時(shí)的銷售利潤達(dá)到2400元，銷售價(jià)應(yīng)定為每盒多少元？
（3）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)每小時(shí)的利潤最大？并求出最大利潤．
24．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
25．如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長為16m，寬為6m，拋物線的最高點(diǎn)C離地面AA1的距離為8m．
（1）按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）一大型汽車裝載某大型設(shè)備后，高為7m，寬為4m，如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
26．已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）．
（1）用含a的代數(shù)式表示b為 ；
（2）當(dāng)拋物線與x軸交于點(diǎn)B（2，0）時(shí)，求此時(shí)a的值；
（3）設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為d．當(dāng)d＜2時(shí)，求a的取值范圍．
27．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F．
（1）如圖1，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)，易證S△DEF+S△CEF與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖2，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；
（3）如圖3，這種情況下，請(qǐng)猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的數(shù)量關(guān)系，不需證明．
28．定義：函數(shù)圖象G上的點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差y﹣x叫做點(diǎn)P的“雙減差”，圖象G上所有點(diǎn)的“雙減差”中最小值稱為函數(shù)圖象G的“幸福值”如：拋物線y＝x2上有點(diǎn)P（4，16），則點(diǎn)P的“雙減差”為12；而拋物線y＝x2上所有點(diǎn)的“雙減差”，即該拋物線的“幸福值”為．根據(jù)定義，解答下列問題：
（1）已知函數(shù)圖象上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1，求點(diǎn)P的“雙減差”y﹣x的值；
（2）若直線y＝kx+11（﹣1≤x≤2）的“幸福值”為k2（k＞1），求k的值；
（3）設(shè)拋物線y＝x2+bx+c頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且該拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝﹣x+9，當(dāng)時(shí)，拋物線y＝x2+bx+c的“幸福值”是5，求該拋物線的解析式．
2024-2025學(xué)年北京市第五實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)、錢學(xué)森中學(xué)教育集團(tuán)聯(lián)合九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。
1．（2分）“二十四節(jié)氣”是中華農(nóng)耕文明的結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五大發(fā)明”．下列圖案分別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形的定義可得答案．
【解答】解：由各選項(xiàng)圖形可知，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的A選項(xiàng)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形，熟練掌握中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2分）將拋物線y＝2x2向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的拋物線，其解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x﹣3）2﹣1
C．y＝2（x+3）2﹣1D．y＝2（x﹣3）2+1
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，進(jìn)而得出平移后拋物線的解析式即可．
【解答】解：拋物線y＝2x2先向左平移3個(gè)單位得到解析式：y＝2（x+3）2，再向上平移1個(gè)單位得到拋物線的解析式為：y＝2（x+3）2+1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．
3．（2分）把如圖中的三角形A（ ）可以得到三角形B．
A．．先向右平移5格，再向上平移2格
B．．先向右平移7格，再以直角頂點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向上平移1格
C．．先以直角頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移5格
D．．先向右平移5格，再以直角頂點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°
【分析】把直角頂點(diǎn)當(dāng)作關(guān)鍵點(diǎn)，可以借助直角頂點(diǎn)的移動(dòng)位置判斷移動(dòng)后是否重合．
【解答】解：先向右平移7格，再以直角頂點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向上平移1格，三角形A可以得到三角形B．故選項(xiàng)B符合題意；
其他三個(gè)選項(xiàng)，都向右只平移5格，三角形A不能得到三角形B．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)后的圖形是否能夠重合是解題關(guān)鍵．
4．（2分）方程x2+4x+3＝0的兩個(gè)根為（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BCD＝110°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圓周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，⊙O的半徑為9，AB是弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D，若OD＝DC，則弦AB的長為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)翻折變換求出OD＝CD＝3，OC＝6，根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC，根據(jù)勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵⊙O的半徑為9，將劣弧AB沿弦AB折疊交于OC的中點(diǎn)D，
∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，
∵OC⊥AB，OC過圓心O，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，
連接OA，
由勾股定理得：AC＝，
即AC＝BC＝3，
∴AB＝AC+BC＝6．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，翻折變換，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出AC＝BC是解此題的關(guān)鍵．
7．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△ADE，AB，CE相交于點(diǎn)F，若AD∥CE時(shí)，則∠BAE的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE＝∠AEC＝50°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACE＝∠AEC＝50°，可求出∠EAC＝80°，則可求出答案．
【解答】解：∵將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEC＝50°，
∴∠ACE＝∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAE＝∠EAC﹣∠BAC＝80°﹣50°＝30°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝，經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．以下結(jié)論：
①﹣＞0；
②b2﹣4ac＝0；
③abc＜0；
④a+b+c＜0；
⑤若（，y1），（﹣，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則y1＞y2．
其中結(jié)論正確的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．①④⑤
【分析】由拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣可判斷①，由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷②，由拋物線開口方向，對(duì)稱軸及拋物線與y軸交點(diǎn)位置可判斷③，由拋物線經(jīng)過（2，0）及拋物線的對(duì)稱性可判斷④，由拋物線開口方向及對(duì)稱軸可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝，
∴①正確，
由圖象可得拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②不正確．
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，③正確．
∵拋物線經(jīng)過（2，0），拋物線對(duì)稱軸為直線x＝，
∴拋物線經(jīng)過（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，④不正確．
由圖象可得（，y1）為拋物線頂點(diǎn)，
∴y1為函數(shù)最大值，
∴y1＞y2，⑤正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。
9．（2分）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m＝ ﹣2 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式法則，叫一元二次方程．
10．（2分）拋物線y＝3（x+2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （﹣2，1） ．
【分析】利用拋物線頂點(diǎn)式的特點(diǎn)即可求得答案．
【解答】解：∵拋物線解析式為y＝3（x+2）2+1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），
故答案為：（﹣2，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握頂點(diǎn)式解析式與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則2023﹣6m2+9m的值為 2020 ．
【分析】利用一元二次方程的解的定義得到2m2﹣3m＝1，再把2023﹣6m2+9m變形為2023﹣3（2m2﹣3m），然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴2023﹣6m2+9m＝2023﹣3（2m2﹣3m）＝2023﹣3×1＝2020．
故答案為：2020．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
12．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 k≠0且k≤1 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案為：k≠0且k≤1；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
13．（2分）如圖，仁和橋有一段拋物線形狀的拱梁，拋物線的解析式為y＝ax2+bx．小輝騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小輝騎自行車行駛7秒時(shí)和13秒時(shí)拱梁的高度相同，則小輝騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需 20 秒．
【分析】根據(jù)題意可以求得拋物線的對(duì)稱軸，從而可以得到a與b的關(guān)系，然后令y＝0，即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)，從而可以得到OC的長，本題得以解決．
【解答】解：∵當(dāng)小明騎自行車行駛8秒時(shí)和12秒時(shí)拱梁的高度相同，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝＝10，
∴﹣＝10，得b＝﹣20a，
令y＝0，則0＝ax2+bx，
代入b＝﹣20a，得：0＝ax2﹣20ax
解得，x1＝0，x2＝20，
∴小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需：20﹣0＝20（秒），
故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、拋物線與x軸的交點(diǎn)，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
14．（2分）如圖，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE＝8cm，EB＝4cm，則OG＝ 2 cm．
【分析】根據(jù)垂徑定理求解．
【解答】解：∵AB⊥CD，OF⊥AB，OG⊥CD，
∴AF＝FB＝AB＝6，
∴OG＝EF＝BF﹣BE＝6﹣4＝2（cm）．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了垂徑定理的運(yùn)用．
15．（2分）已知函數(shù)y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m為實(shí)數(shù)）若該方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 m＞4或m＝0． ．
【分析】方程|x2﹣4|＝m（m為實(shí)數(shù)）有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由此結(jié)合圖象即可求解．
【解答】解：∵方程|x2﹣4|＝m（m為實(shí)數(shù)）有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
觀察圖象，函數(shù)y＝|x2﹣4|與y軸的交點(diǎn)為（0，4），則函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m＞4或m＝0．
故答案為：m＞4或m＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握如何根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況．
16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC繞AC邊的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后得△DEF，若直角頂點(diǎn)F恰好落在AB邊上，且DE邊交AB邊于點(diǎn)G，若AC＝12，BC＝5，則AG的長為 ．
【分析】根據(jù)勾股定理得到AB＝5，得到CM＝AM＝AC＝6，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CM＝FM＝6，∠D＝∠A，∠C＝∠DFE，AB＝DE，求得AM＝MF，求得FG＝DE＝，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∵點(diǎn)M是AC邊的中點(diǎn)，
∴CM＝AM＝AC＝6，
∵把△ABC繞AC邊的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后得△DEF，若直角頂點(diǎn)F恰好落在AB邊上，
∴CM＝FM＝6，∠D＝∠A，∠ACB＝∠DFE，AB＝DE，
∴AM＝MF，
∴∠A＝∠AFM，
∴∠D＝∠AFD，
∴DG＝FG，
∵∠D+∠E＝∠DFG+∠GFE＝90°，
∴∠E＝∠EFG，
∴EG＝FG，
∴FG＝DE＝，
∵AM＝CM＝FM＝AC，
∴∠AFC＝90°，
∴CF＝，
∴AF＝，
∴AG＝AF﹣FG＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定和性質(zhì)，綜合應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．解方程：（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．
【分析】把原方程看作關(guān)于（x+2）的一元二次方程，則利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為（x+2）﹣3＝0或（x+2）+1＝0，然后解兩個(gè)一次方程．
【解答】解：[（x+2）﹣3][（x+2）+1]＝0，
（x+2）﹣3＝0或（x+2）+1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍．
（2）設(shè)x1，x2是方程的兩個(gè)根且，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)題意可得Δ＞0，再代入相應(yīng)數(shù)值解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，代入所求的式子可得關(guān)于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
故m的取值范圍是m＞﹣；
（2）x+x+x1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0，
解得m1＝，m2＝﹣2，
∵m＞﹣，
∴m的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系．
19．如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BOC＝150°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADC，連接OD，OA．
（1）求∠ODC的度數(shù)；
（2）若OB＝3，OC＝2，求AO的長．
【分析】（1）證明△COD是等邊三角形，進(jìn)而可求∠ODC的度數(shù)；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝3，CD＝OC＝2，由（1）可知，△COD是等邊三角形，∠ODC＝60°，則OD＝OC＝2，∠ADO＝90°，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CO＝CD，
∵∠ACB＝60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠ODC＝60°；
（2）∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝3，CD＝OC＝2，
由（1）可知，△COD是等邊三角形，∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝2，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∴，
∴AO的長為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，某校進(jìn)行校園改造，準(zhǔn)備將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊減少了4m，另一邊減少了5m，剩余部分面積為650m2，求原正方形空地的邊長．
【分析】設(shè)原正方形空地的邊長為x m，則剩余部分長（x﹣4）m，寬（x﹣5）m，根據(jù)剩余部分面積為650m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)原正方形空地的邊長為x m，則剩余部分長（x﹣4）m，寬（x﹣5）m，
依題意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650
整理得：x2﹣9x﹣630＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合題意，舍去）．
答：原正方形空地的邊長為30m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（5，2），B（5，5），C（1，1）．
（1）△ABC向左平移3個(gè)單位得到的△A1B1C1，則點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)分別為A1（ 2，2 ），B1（ 2，5 ），C1（ ﹣2，1 ）．
（2）畫出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C．
（3）請(qǐng)計(jì)算四邊形ACA2B2的面積．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得答案．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．
（3）利用割補(bǔ)法求四邊形的面積即可．
【解答】解：（1）∵△ABC向左平移3個(gè)單位得到的△A1B1C1，A（5，2），B（5，5），C（1，1），
∴A1（2，2），B1（2，5），C1（﹣2，1）．
故答案為：2，2；2，5；﹣2，1．
（2）如圖，△A2B2C即為所求．
（3）四邊形ACA2B2的面積為＝6+10＝16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、作圖﹣平移變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
23．我市某公司在直播中推出的一款“忘憂”產(chǎn)品禮盒，每盒的成本為100元，若按每盒150元銷售，則同時(shí)段每小時(shí)可售出40盒．為了讓利全國網(wǎng)友，公司決定降價(jià)銷售，經(jīng)核算，發(fā)現(xiàn)銷售價(jià)每降低1元，同時(shí)段每小時(shí)的銷量就增加2盒．設(shè)該禮盒售價(jià)為每盒x元（x≥100），每小時(shí)的銷售利潤為w元．
（1）求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）直播間在讓利顧客的前提下，要使一小時(shí)的銷售利潤達(dá)到2400元，銷售價(jià)應(yīng)定為每盒多少元？
（3）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)每小時(shí)的利潤最大？并求出最大利潤．
【分析】（1）根據(jù)銷售價(jià)每降低1元，同時(shí)段每小時(shí)的銷量就增加2盒，根據(jù)利潤＝（售價(jià)﹣成本）×銷售量列出w關(guān)于x的關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)利潤＝（售價(jià)﹣成本）×銷售量列出方程求解即可；
（3）根據(jù)（1）所求w與x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）由題意得，y＝40+2（150﹣x）即y＝340﹣2x（100≤x＜150），
∴w＝（x﹣100）（340﹣2x）即w＝﹣2x2+540x﹣3400（100≤x＜150）
（2）由題意得，（x﹣100）（340﹣2x）＝2400，
整理得x2﹣270x+18200＝0，
解得x1＝140，x2＝130，
∵要讓利顧客，
∴x＝130，
答：銷售價(jià)應(yīng)定為每件130元；
（3）w＝（x﹣100）（340﹣2x）
＝340x﹣34000﹣2x2+200x
＝﹣2x2+540x﹣34000
＝﹣2（x﹣135）2+2450（100≤x＜150）
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝135時(shí)，w有最大值，w最大＝2450，
答：銷售價(jià)定為每件135元時(shí)，利潤最大，最大利潤為2450元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確列出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式和方程是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
【分析】（1）由垂徑定理可得＝；
（2）先根據(jù)垂徑定理求出BC＝8，圓周角定理得∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理得到AB，得到半徑OD＝OB＝5，由勾股定理求出OE＝3，由DE＝OD﹣OE求解即可．
【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，OD⊥BC，
∴＝，
即點(diǎn)D為的中點(diǎn)；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，OD⊥BC，
∴BE＝EC＝4，
∴BC＝8，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝6，
∴，
∴OD＝OB＝5，
∴，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．
25．如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長為16m，寬為6m，拋物線的最高點(diǎn)C離地面AA1的距離為8m．
（1）按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）一大型汽車裝載某大型設(shè)備后，高為7m，寬為4m，如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
【分析】（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系中的特殊位置，可以設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+6，再有條件求出a的值即可；
（2）隧道內(nèi)設(shè)雙行道后，求出縱坐標(biāo)與7m作比較即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入
64a+8＝6
解得：a＝﹣．
拋物線的解析式為y＝﹣x2+8．
（2）根據(jù)題意，把x＝4代入解析式，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴貨運(yùn)卡車能通過．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求拋物線解析式可以使用一般式，頂點(diǎn)式或者交點(diǎn)式，因條件而定．運(yùn)用二次函數(shù)解題時(shí)，可以給自變量（或者函數(shù)）一個(gè)特殊值，求函數(shù)（自變量）的值，解答題目的問題．
26．已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，4）．
（1）用含a的代數(shù)式表示b為 1﹣4a ；
（2）當(dāng)拋物線與x軸交于點(diǎn)B（2，0）時(shí)，求此時(shí)a的值；
（3）設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為d．當(dāng)d＜2時(shí)，求a的取值范圍．
【分析】（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx，變形即可得答案；
（2）根據(jù)題意將點(diǎn)A和B坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）即可求a；
（3）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）可得b＝1﹣4a．再令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．可得x1＝0，．根據(jù)d＜2，即可求a的取值范圍．
【解答】解：（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx得，
16a+4b＝4，
∴b＝1﹣4a．
（2）由題意得，，
∴．
（3）∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，4），
∴16a+4b＝4．
∴b＝1﹣4a．
令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴x[ax﹣（4a﹣1）]＝0．
∵a≠0，
∴x1＝0，．
∵d＜2，
∴4﹣＜2，或4﹣＞﹣2．
∴＞2或＜6．
∴＜a＜且a．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的知識(shí)．
27．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F．
（1）如圖1，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)，易證S△DEF+S△CEF與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為 S△DEF+S△CEF＝S△ABC ；
（2）如圖2，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；
（3）如圖3，這種情況下，請(qǐng)猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的數(shù)量關(guān)系，不需證明．
【分析】（1）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC時(shí)，四邊形CEDF是正方形，邊長是AC的一半，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，則∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，證明△DME≌△DNF（ASA），得出S△DME＝S△DNF，即可得出結(jié)論；
（3）同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五邊形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC．
【解答】解：（1）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC時(shí)，四邊形CEDF是正方形．
設(shè)△ABC的邊長AC＝BC＝a，則正方形CEDF的邊長為a．
∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2
即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；
故答案為：S△DEF+S△CEF＝S△ABC；
（2）（1）中的結(jié)論成立；
證明：過點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，則∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D為AB邊的中點(diǎn)，
由中位線定理可知：DN＝AC，MD＝BC，
∵AC＝BC，
∴MD＝ND，
∵∠EDF＝90°，
∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△DME與△DNF中，
，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME＝S△DNF，
∴S四邊形DMCN＝S四邊形DECF＝S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四邊形DMCN＝S△ABC，
∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC．
（3）連接DC，
證明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，
＝S△CFE+S△DBC，
＝S△CFE+，
∴S△DEF﹣S△CFE＝．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了平行線的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
28．定義：函數(shù)圖象G上的點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差y﹣x叫做點(diǎn)P的“雙減差”，圖象G上所有點(diǎn)的“雙減差”中最小值稱為函數(shù)圖象G的“幸福值”如：拋物線y＝x2上有點(diǎn)P（4，16），則點(diǎn)P的“雙減差”為12；而拋物線y＝x2上所有點(diǎn)的“雙減差”，即該拋物線的“幸福值”為．根據(jù)定義，解答下列問題：
（1）已知函數(shù)圖象上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1，求點(diǎn)P的“雙減差”y﹣x的值；
（2）若直線y＝kx+11（﹣1≤x≤2）的“幸福值”為k2（k＞1），求k的值；
（3）設(shè)拋物線y＝x2+bx+c頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且該拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝﹣x+9，當(dāng)時(shí)，拋物線y＝x2+bx+c的“幸福值”是5，求該拋物線的解析式．
【分析】（1）根據(jù)題目對(duì)于“雙減差”的定義即可代數(shù)求解．
（2）根據(jù)題目對(duì)于“幸福值”的定義即可求解．
（3）此時(shí)根據(jù)給出的拋物線頂點(diǎn)在直線上的條件可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)“幸福值”的定義進(jìn)行求解m的值，此時(shí)需注意m有取值范圍，排除不符合題意的即可得到拋物線方程．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，
∴y﹣x＝3，
即點(diǎn)P的“雙減差”為3．
（2）y＝kx+11可得：y﹣x＝（k﹣1）x+11，
令W＝y(tǒng)﹣x，則W＝（k﹣1）x+11，
∵k＞1，
∴W隨x的增大而增大，
∵﹣1≤x≤2，
∴x＝﹣1時(shí)，W取最小值﹣（k﹣1）+11，
∴k2＝﹣（k﹣1）+11，
∴k＝3或k＝﹣4，
∵k＞1，
∴k＝3．
（3）∵拋物線y＝x2+bx+c頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且該拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝﹣x+9上，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m+9），
∴拋物線為y＝（x﹣m）2﹣m+9＝x2﹣2mx+m2﹣m+9，
令w＝y(tǒng)﹣x＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣m+9，對(duì)稱軸是直線，
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，即m＞5，不合題意舍去；
當(dāng)，即，
此時(shí)當(dāng)x＝2m﹣1，w取最小值5，
∴（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）+m2﹣m+9＝5，
解得m＝2或m＝3，
∵，
∴m＝2，
∴y＝x2﹣4x+11．
當(dāng)，即，
此時(shí)當(dāng)，w取最小值5，
∴，
解得，與矛盾，舍去．
綜上所述，該拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+11．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵需要先理解題文給出的新定義“雙減差”以及“幸福值”的概念，進(jìn)而根據(jù)題意要求去求解問題，在求值時(shí)要注意取值范圍的問題．

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