浙江強(qiáng)基聯(lián)盟研究院 命制
考生注意：
1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.若集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.如果橢圓的方程是，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
3.已知點(diǎn)，若，則（ ）
A.1 B. C.1或 D.或5
4.已知圓和圓，則與的位置關(guān)系是（ ）
A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離
5.在正方體中，以下說法正確的是（ ）
A.若為的中點(diǎn)，則平面
B.若為的中點(diǎn)，則平面
C.若為的中點(diǎn)，則
D.若為的中點(diǎn)，則
6.已知，則函數(shù)的最小值是（ ）
A. B. C.3 D.2
7.在平行六面體中，若直線與的交點(diǎn)為.設(shè)，則下列向量中與共線的向量是（ ）
A. B.
C. D.
8.如果函數(shù)那么（ ）
A.2020 B.2021 C.2023 D.2025
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知復(fù)數(shù)，以下說法正確的是（ ）
A.的實(shí)部是3
B.
C.
D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
10.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為”，其中，則以下說法正確的是（ ）
A.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則與互斥
B.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則
C.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)不大于2”，則與對(duì)立
D.若隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與相互獨(dú)立
11.棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球球心為，點(diǎn)是該內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則以下說法正確的是（ ）
A.記直線與直線的夾角是，則
B.記直線與平面的夾角是，則
C.記的最小值為，則
D.記在上的投影向量為，則
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.點(diǎn)到直線的距離是__________.
13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐的體積是__________.
14.設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，若，則該橢圓的離心率是__________.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
15.（13分）
已知圓，點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn).
（1）若與相切，求的方程；
（2）若的傾斜角為，求被圓截得的弦長(zhǎng).
16.（15分）
在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，記的面積為，已知.
（1）若，求外接圓的半徑；
（2）求的值.
17.（15分）
如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形為等腰梯形，且有分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上.
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值.
18.（17分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.記點(diǎn)的軌跡是曲線，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）若，直線過點(diǎn)與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最大值；
（3）過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，且，證明：為定值.
19.（17分）
在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以采用公式（其中為常數(shù)），將點(diǎn)變換成點(diǎn)，我們稱該變換為線性變換，上式為坐標(biāo)變換公式.常見的線性變換有平移變換和旋轉(zhuǎn)變換.
（1）將點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)，求該變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得新橢圓的方程；
（2）將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn)，求上述變換的坐標(biāo)變換公式，并求將橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得新橢圓的方程；
（3）若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)的軌跡是橢圓.
浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考
數(shù)學(xué)卷參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
1.D ，故選D.
2.C 由，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選C.
3.C 由兩點(diǎn)間的距離公式可得，解得或，選C.
4.A 由，可得與的圓心距是5，又，所以與外切，故選A.
5.A 如圖所示，，則有平面，故選A.
6.B 令，則在單調(diào)遞增，所以的最小值是，故選B.
7.C 由空間向量的線性運(yùn)算可得.選項(xiàng)D中，，與共線，故選D.
8.B 記，根據(jù)定義可得，考慮，，所以（2022）=，所以周期為5，取值分別是，故選B.
9.ABC ，則的實(shí)部是3，故A正確；，B正確；正確，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，在第四象限，故D錯(cuò)誤.故選ABC.
10.BD “點(diǎn)數(shù)為”，“點(diǎn)數(shù)為1”，則，則與不互斥，A錯(cuò)誤；“點(diǎn)數(shù)為，”點(diǎn)數(shù)為2“，則，B正確；”點(diǎn)數(shù)為“點(diǎn)數(shù)為3”，“點(diǎn)數(shù)為”，不是全集，故C錯(cuò)誤；“點(diǎn)數(shù)為”，“點(diǎn)數(shù)為3，4”，則.，故D正確.故選BD.
11.ACD 如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，易得正確；直線與平面的夾角是，則，B錯(cuò)誤；令，則是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，即球面上的點(diǎn)到平面上點(diǎn)之間的距離，最小值表示球面上的點(diǎn)到平面的距離，，即，C正確；點(diǎn)在線段上的投影為線段的中心，點(diǎn)在線段上的投影點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)，且的最大值等于，則，D選項(xiàng)正確.故選ACD.
12. 由點(diǎn)到直線的距離公式.
13. ，則圓錐的母線長(zhǎng)是，由，得圓錐底面半徑，則，由圓錐的體積公式可得.
14. 由，
可得.
【法一】則由橢圓的定義不妨設(shè)，
由余弦定理和中線長(zhǎng)公式得
即
得，則，
【法二】設(shè)，
即
化簡(jiǎn)得，
即，得.
15.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，
則直線的斜率為，
則直線的斜率是，
可得直線的方程是，即.
（2）由于直線的傾斜角是，則直線的斜率是，
可得，
則圓心到直線的距離是，
則直線被圓截得的弦長(zhǎng)是.
16.解：（1）由，得，由，可得，
的外接圓半徑是.
（2）
.
17.解：（1）因?yàn)樗倪呅蔚妊菪危謩e為的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋云矫妫?br>而平面，所以平面平面.
（2）當(dāng)時(shí).
假設(shè)，所以，
得到，所以.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
.
則
取得.
設(shè)平面的一個(gè)法向量
取得.
設(shè)平面與平面所成角為，
則，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
18.解：（1）設(shè)點(diǎn)，所以直線的斜率為，
同理直線的斜率為，由已知可得，
化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程是.
（2）計(jì)算得，則直線，
當(dāng)直線且與相切，切點(diǎn)為，此時(shí)的面積取最大值，
設(shè)直線，聯(lián)立方程組得，
，解得，
直線與之間的距離，
所以.
（2）由題知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立方程組
得，則
所以，
因?yàn)椋瑒t直線，聯(lián)立方程組得，
所以，得，
所以，為定值.
19.解：（1）由平移可得，所以此即為坐標(biāo)變換公式.
設(shè)上任一點(diǎn)，向左平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位.
得到的新的橢圓上一點(diǎn)，則
所以
所以.
所以新橢圓的方程為.
（2）設(shè)將軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到的角為點(diǎn)，點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)
由三角函數(shù)可得
當(dāng)時(shí)，此即為坐標(biāo)變換式.
設(shè)將上任一點(diǎn)，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的新的橢圓上一點(diǎn).
則得
所以，即.
所以新的橢圓方程為.
（3）利用待定系數(shù)法或者猜測(cè)均可，得到.
先把點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，此時(shí)
所以
化簡(jiǎn)得.
利用配方法或者猜測(cè)均可，得到左右平移的單位.
把點(diǎn)向右平移，向上平移，得到點(diǎn)，則
所以.
化簡(jiǎn)得，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓.
所以點(diǎn)的軌跡是橢圓.

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